1. Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота. Нека J2 = { 0, 1}. Всяка функция f : J2n J
Изтегляне 5.91 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- 23. Уравнения на права и равнина. Формули за разстояния и ъгли.
Теорема: Нека f (x, y) е дефинирана в околност на точката (x0, y0) и е диференцируема в тази точка, т.е. при (x, y) (x0, y0) е в сила горното представяне. Тогава f притежава частни производни относно x и y и a =  , b =  .
Доказателство: В представянето заместваме y = y0 и получаваме f (x, y0) = f (x0, y0) + a.(x – x0) + o ( При x x0 – 0 имаме Теорема: Нека f (x, y) е дефинирана и притежава частни производни относно x и y в някоя околност на точката (x0, y0), които са непрекъснати в тази точка. Тогава f е диференцируема в точката (x0, y0). Доказателство: Имаме f (x, y) – f (x0, y0) - - - (y) = f (x0, y) са непрекъснати и диференцируеми между x и x0 и y и y0, съответно, тъй като f притежава частни производни относно x и y. По теоремата за крайните нараствания на Лагранж съществуват числа x между x и x0 и y между y и y0, такива че (x) - (x0) = (x).(x – x0), т.е. f (x, y) – f (x0, y) = (y) - (y0) = (y).(y – y0), т.е. f (x0, y) – f (x0, y0) = Така горното равенство приема вида f (x, y) – f (x0, y0) – - + = ( Така g (t) = f ( (t), (t)) е дефинирана в околност на t0, диференцируема в точката t0 и Доказателство: Преди всичко, g е дефинирана в околност на t0, тъй като функциите и са диференцируеми непрекъснати в t0 и при стойности на t близки до t0, (t) е близко до x0 и (t) е близко до y0. Разгледаме диференчното частно на g (t) в точката t0, имаме:
Функцията p (y) = f ( (t0 + h), y) е диференцируема (и следователно непрекъсната) в околност на y0, тъй като f (x, y) е диференцируема частно относно y в околност на точката (x0, y0). Прилагаме теоремата за крайните нараствания на Лагранж и получаваме: = = (t0 + h). Така диференчното частно на g в t0 приема вида:
Извършваме граничен преход при h 0. Тъй като функциите (t) и (t) са диференцируеми и следователно непрекъснати в t0, то (t0 + h) (t0), (t0 + h) (t0), така че (t0), (t0). Също така И накрая, частните производни = В такъв случай, границата на диференчното частно при h 0 съществува, т.е. g (t) е диференцируема в точката t0 и  =  .
23. Уравнения на права и равнина. Формули за разстояния и ъгли. Нека в равнината разглеждаме права g и нека M0 е дадена точка от g. Нека  е ненулев вектор, колинеарен с g. Ако някаква
точка M лежи на правата g, то векторите  = .. Обратно, ако за точката M в равнината е изпълнено, че = . за някое реално число , то M лежи на g. Нека
K = O Последното равенство се нарича векторно параметрично уравнение на правата g, определена от точката M0 и вектора Нека сега спрямо K имаме M0 (x0, y0), M (x, y) и M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2), скаларните параметрични уравнения на g имат вида  , тъй като g може да се зададе с точката M1 (x1, y1) и ненулевият вектор  (x2 – x1, y2 – y1).
Нека в пространството е дадена равнина . Тя може да се определи еднозначно с точка M0, която лежи в нея и два ненулеви, неколинеарни вектора  и  , компланарни с нея. Произволна точка M в пространството лежи в точно когато векторът е компланарен с , което е изпълнено тогава и само тогава, когато векторът е линейна комбинация на и , т.е. съществуват реални числа , такива, че = . + .. Ако фиксираме афинна координатна система K = O в пространството, то
=  -  и горното равенство можем да запишем във вида = + . + . или  =  + . + .. Последното равенство се нарича векторно параметрично уравнение на равнината , зададена с точката M0 и векторите и .
Ако спрямо K имаме M0 (x0, y0, z0), M (x, y, x), (a2, b2, c2) горното равенство можем да запишем във вида  - скаларни параметрични уравнения на равнината , зададена с точката M0 и векторите и .
Ако равнината е зададена с три неколинеарни точки M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) и M3 (x3, y3, z3), скаларните параметрични уравнения на имат вида A, B, C, такива че (A, B) (0, 0) и точката M (x, y) лежи на g A.x + B.y + C = 0. Доказателство: Върху правата g избираме точка M0 (x0, y0) и ненулев вектор x = x0 + .a, y = y0 + .b b.x = b.x0 + .a.b, a.y = a.y0 + .a.b b.x – a.y – b.x0 + a.y0 = 0. Сега полагаме A = b, B = -a, C = - b.x0 + a.y0. Естествено, (A, B) (0, 0), тъй като Нека M (x, y) е такава, че A.x + B.y + C = 0, т.е. b.x – a.y – b.x0 + a.y0 = 0. Нека за определеност b 0 x – x0 = = = ( Така M лежи на g. Теорема: Нека A, B, C са три реални числа, такива че (A, B) (0, 0). Съществува единствена права g, такава че точката M (x, y) лежи на g A.x + B.y + C = 0. Доказателство: Тъй като (A, B) (0, 0), то уравнението A.x + B.y + C = 0 има решения, нека (x0, y0) е едно такова решение, т.е. A.x0 + B.y0 + C = 0. Да означим точката M0 (x0, y0) и векторът
A.x + B.y – A.x0 – B.y0 = 0 A.x + B.y + C = 0. Да допуснем, че правата h е такава, че M (x, y) лежи на h A.x + B.y + C = 0. Тогава M (x, y) лежи на h M (x, y) лежи на g h g.
(A, B) (0, 0) и векторът Нека сега правата g пресича ординатната ос, т.е. векторът  не е колинеарен с g. Нека (a, b) е ненулев вектор, колинеарен с g.
Тъй като вектора k = tg , където е мярката на ориентирания ъгъл между абсцисната ос и правата g. Нека сега g пресича ординатната ос в точката P (0, n). Произволна точка M (x, y) лежи на g векторът
Последното уравнение се нарича декартово уравнение на правата g с ъглов коефициент k и вертикален отрез n. Ако g е зададена с общото си уравнение A.x + B.y + C = 0, то B 0, тъй като g пресича ординатната ос уравнението може да се запише във вида y = k = Каталог: fmi fmi -> Софтуерни технологии fmi -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия fmi -> 3d-алгоритъм на Chaikin fmi -> Лекции по увод в програмирането fmi -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра fmi -> Конкурентно Програмиране fmi -> Лекции по компютърни мрежи и комуникации fmi -> Ще предпочетеш да наблюдаваш света отстрани или ще се присъединиш към най-голяма студентска организация? fmi -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране Изтегляне 5.91 Mb. Сподели с приятели:
|
) при x x0. С други думи,
= 0. При x x0 + 0 имаме
= 0, т.е. 
= a.
= 0, т.е. a = 
. С други думи, лявата и дясната граница на диференчното частно 
при x x0 съществуват и са равни на a f е диференцируема частно относно x в точката (x0, y0) и 
.(x – x0) и
.(y – y0).
.(x – x0) + 
.(y – y0) - 
.
и 
са непрекъснати в (x0, y0), то 
0 и 
0, освен това 
, 
са ограничени последният израз клони към 0, т.е. 
= 0, което доказва диференцируемост на f в точката (x0, y0).
= 
, където е число между (t0) и
=
, където е число между (t0) и 
.
(t0), 
(t0).
=
и 
= 
.
е афинна координатна система в равнината. Имаме 
и наричаме скаларни 
, тъй като може да се зададе с точката M1 (x1, y1, z1) и ненулевите, неколинеарни вектори
(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1).
.(y – y0). Тогава имаме 
.(a, b) = .
. Това число k не зависи от избора на 
. 
(x, y – n) е колинеарен с g 
= k y = k.x + n.
.x 
, т.е. g има ъглов коефициент