1. Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота. Нека J2 = { 0, 1}. Всяка функция f : J2n  J

Да означим A = , B = . Тогава

1. 
   g₁ и g₂ се пресичат  r (A) = r (B) = 2.
   
2. 
   g₁ и g₂ са успоредни  r (A) = 1 и r (B) = 2.
   
3. 
   g₁ и g₂ съвпадат  r (A) = r (B) = 1.
   

Правите g₁ и g₂ се пресичат  системата има единствено решение  r (A) = r (B) = 2  detA = A₁.B₂ – A₂.B₁  0.

Правите g₁ и g₂ са успоредни  системата няма решение 

 r (A) = 1 и r (B) = 2.

Правите g₁ и g₂ съвпадат  системата има безброй много решения  r (A) = r (B) = 1  съществува реално число   0, такова че

A₁ = .A₂, B₁ = .B₂, C₁ = .C₂.

(A, B)  (0, 0), то всичките нейни общи уравнения имат вида

.А.x + .B.y + .C = 0, където  е реално ненулево число.
Нека в равнината е фиксирана ортонормирана координатна система K = O. Нека g е права в равнината с общо уравнение A.x + B.y + C = 0, (A, B)  (0, 0). Векторът (- B, A) е колинеарен с g.

Разглеждаме векторът (A, B). Имаме . = -B.A + A.B = 0 и тъй като и са ненулеви,    g. Ненулевите вектори, които са перпендикулярни на g наричаме нормални вектори на правата g. Така коефициентите пред x и y във всяко общо уравнение на правата g са координати на нормален вектор на g.

Онова общо уравнение на правата g, в което коефициентите пред x и y са координати на единичен нормален вектор на g, се нарича нормално уравнение на правата g. С други думи, уравнението

A.x + B.y + C = 0 на правата g е нормално  A² + B² = 1.

Нека .А.x + .B.y + .C = 0,   0 е произволно уравнение на правата g. Тогава то е нормално  (.А)² + (.B)² = 1  ² =   = . Така правата g има точно две нормални уравнения: .x + .y + = 0 и

.x .y = 0.
Нека правата g е зададена с нормалното си уравнение

.x + .y + = 0, векторът

(, ) е единичен нормален вектор на g.

Нека P (x₀, y₀) е произволна точка. Нека P₁ (x₁, y₁) е ортогоналната проекция на P върху правата g. Тогава разстоянието  от P до g е точно числото ||.

Имаме . = ||.||.cos∢(, ) = ||.

От друга страна, . = .(x₀ – x₁) + .(y₀ – y₁).

При това, P₁ лежи на g  –.x₁ –.y₁ = 

 . = .x₀ + .y₀ + .

Така разстоянието от точката P до правата g е

 = |.| = .

Разглеждаме произволни прави g₁ и g₂, зададени чрез произволни техни общи уравнения g₁ : A₁.x + B₁.y + C₁ = 0 и

g₂ : A₂.x + B₂.y + C₂ = 0. Векторът (, ) е единичен нормален вектор на g₁. Векторът

Ясно е, че ∢(g₁, g₂) = ∢(, )  cos∢(g₁, g₂) =

= cos∢(, ) = = . = .
Пренасяме се в пространството. Нека е фиксирана афинна координатна система K = O.
Теорема: Нека  е произволна равнина в пространството. Съществуват реални числа A, B, C, D, такива че (A, B, C)  (0, 0, 0) и една точка M (x, y, z) лежи в   A.x + B.y + C.z + D = 0.

Доказателство: Нека да изберем една точка M₀ (x₀, y₀, z₀) в  и два ненулеви, неколинеарни вектора (a₁, b₁, c₁) и (a₂, b₂, c₂), компланарни с . Точката M (x, y, z) лежи в   векторите ,

A = b₁.c₂ – b₂.c₁, B = a₂.c₁ – a₁.c₂, C = a₁.b₂ – a₂.b₁ и

D = - . При това, (A, B, C)  (0, 0, 0), тъй като и не са колинеарни, т.е. координатите им не са пропорционални.
Теорема: Нека A, B, C, D са четири реални числа, такива че

(A, B, C)  (0, 0, 0). Съществува единствена равнина , такава че точката M (x, y, z) лежи в   A.x + B.y + C.z + D = 0.

Доказателство: Тъй като (A, B, C)  (0, 0, 0), уравнението

A.x + B.y + C.z + D = 0 има поне едно решение (x₀, y₀, z₀).

Да вземем точката M₀ (x₀, y₀, z₀). Без ограничение на общността можем да считаме, че B  0. Разглеждаме векторите (-B, A, 0) и

(0, , 1), които очевидно са ненулеви и неколинеарни.

Съществува единствена равнина , в която лежи точката M₀ и която е компланарна с и . От предната теорема, точката

М (x, y, z) лежи в   = 0 

 A.(x – x₀) + B.(y – y₀) + C.(z – z₀) = 0 

 A.x + B.y + C.z – A.x₀ – B.y₀ – C.z₀ = 0  A.x + B.y + C.z + D = 0, тъй като (x₀, y₀, z₀) е решение на горното уравнение. Да допуснем, че  е равнина, такава че М (x, y, z) лежи в  

 A.x + B.y + C.z + D = 0. Тогава M (x, y, z) лежи в   M (x, y, z) лежи в     .

₂ : A₂.x + B₂.y + C₂.z + D₂ = 0. Да означим A = ,

B = . Тогава

1. ₁ и ₂ се пресичат  r (A) = r (B) = 2.

2. ₁ и ₂ са успоредни  r (A) = 1 и r (B) = 2.

3. ₁ и ₂ съвпадат  r (A) = r (B) = 1.

Доказателство: Определянето на общите точки на ₁ и ₂ е еквивалентно на решаването на системата .

Равнините ₁ и ₂ се пресичат (имат единствена обща права)  пространството на решенията на системата е едномерно 

r (A) = r (B) = 2.

Равнините ₁ и ₂ са успоредни  системата няма решения 

r (A) = 1 и r (B) = 2.

Равнините ₁ и ₂ съвпадат  пространството от решенията на системата е двумерно  r (A) = r (B) = 1.

A.x + B.y + C.z + D = 0, то всичките нейни общи уравнения имат вида .A.x + .B.y + .C.z + .D = 0, където  е реално, ненулево число.

A.x + B.y + C.z + D = 0. Векторът (a, b, c) е компланарен с  

 A.a + B.b + C.c = 0.

Доказателство: Да фиксираме точка M₀ (x₀, y₀, z₀) върху . Съществува единствен представител на вектора с начало M₀ – нека той е , M₁ (x₁, y₁, z₁). Тъй като =  x₁ – x₀ = a,

y₁ – y₀ = b, z₁ – z₀ = c  x₀ = x₁ – a, y₀ = y₁ – b, z₀ = z₁ – c.

Тъй като M₀ лежи в , то A.x₀ + B.y₀ + C.z₀ + D = 0 

 A.(x₁ – a) + B.(y₁ – b) + C.(z₁ – c) + D = 0  A.x₁ + B.y₁ + C.z₁ + D =

= A.a + B.b + C.c. Така е компланарен с   M₁ лежи в  

 A.x₁ + B.y₁ + C.z₁ + D = 0  A.a + B.b + C.c = 0.
Нека в пространството е фиксирана ортонормирана координатна система K = O. Нека  е равнина в пространството с общо уравнение A.x + B.y + C.z + D = 0, (A, B, C)  (0, 0, 0). Разглеждаме векторът (A, B, C). От горното твърдение, за всеки вектор

(a, b, c), който е компланарен с  имаме A.a + B.b + C.c = 0, т.е.

. = 0   за всеки вектор , компланарен с  и тъй като е ненулев   . Ненулевите вектори, които са перпендикулярни на  наричаме нормални вектори на равнината . Така коефициентите пред x, y и z във всяко общо уравнение на равнината  са координати на нормален

вектор на . Онова общо уравнение на равнината , в което коефициентите пред x, y и z са координати на единичен нормален вектор на , се нарича нормално уравнение на равнината .

С други думи, уравнението A.x + B.y + C.z + D = 0 на равнината  е нормално  A² + B² + C² = 1.

Нека .А.x + .B.y + .C.z + .D = 0,   0 е произволно уравнение на равнината . Тогава то е нормално  (.А)² + (.B)² + (.C)² = 1 

 ² =   = . Така равнината  има точно две нормални уравнения:

.x +.y +.z + = 0 и

.x .y .z = 0.
Нека равнината  е зададена с нормалното си уравнение

.x +.y +.z + = 0, векторът (, , ) е единичен нормален вектор на .

Нека P (x₀, y₀, z₀) е произволна точка. Нека P₁ (x₁, y₁, z₁) е ортогоналната проекция на P върху равнината . Тогава разстоянието  от P до  е точно числото ||.

Имаме . = ||.||.cos∢(, ) = ||. От друга страна, . = .(x₀ – x₁) + .(y₀ – y₁) +

+ .(z₀ – z₁). При това, P₁ лежи в  

–.x₁ –.y₁ –.z₁ = 

 . = .x₀ +.y₀ +.z₀ + +.

 = |.| = .

където функциите a₁ (x), …, a_n (x), f (x) са дефинирани и непрекъснати в интервал I   и приемат комплексни стойности. Това уравнение наричаме линейно обикновено диференциално уравнение от n-ти ред.

Под решение на уравнението разбираме комплекснозначна функция  (x), дефинирана в целия интервал I и притежаваща непрекъснати производни до n-ти ред включително и такава, че

за всяко x  I.

Уравнението се нарича хомогенно, ако f (x) = 0 за всяко x  I и нехомогенно, в противен случай.

Нека x₀  I. Ако освен уравнението са зададени и n начални условия (n е редът на уравнението): , където y_i са комплексни числа, казваме че е зададена задача на Коши.

Под решение на задачата на Коши ще разбираме решение на уравнението, което удоволетворява началните условия.