1. Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота. Нека J2 = { 0, 1}. Всяка функция f : J2n  J

x е точка  x_i за i = 1, 2, …, n. Нека * =   { x}. Тогава

1. s (*)  s ().

2. S (*)  S ().

3. Ако M = , то S () – S(*)  2.M.d (), s (*) – s ()  2.M.d ().

Доказателство: Нека x  (x_i-1, x_i) (такова i има единствено).

Нека m =, m =. Ясно е, че m  m_i, m  m_i.

Получаваме:

s (*) – s () = m.(x - x_i-1) + m.(x_i - x) – m_i.(x_i – x_i-1) =

= (m - m_i).(x - x_i-1) + (m - m_i).(x_i - x)  0.

Тъй като m - m_i  2.M, m - m_i  2.M, x - x_i-1 < x_i – x_i-1  d (),

x_i - x < x_i – x_i-1  d ()  s (*) – s ()  2.M.d ().

Аналогично, нека M =, M =.

Ясно е, че M  M_i, M  M_i. Получаваме:

S () – S (*) = M_i.(x_i – x_i-1) – M.(x - x_i-1) – M.(x_i - x) =

= (M_i - M).(x - x_i-1) + (M_i - M).(x_i - x)  0.

Тъй като M_i - M  2.M, M_i - M  2.M, x - x_i-1 < x_i – x_i-1  d (),

x_i - x < x_i – x_i-1  d ()  S () – S (*)  2.M.d ().

0  S () – S (*)  2.k.M.d () и 0  s (*) – s ()  2.k.M.d (), което лесно следва от твърдението като се изпозва факта, че при добавяне на нови точки в разбиването, неговият диаметър не нараства.

Доказателство: Нека s ({ x_i}) е малка сума на Дарбу, определена от разбиването { x_i}. Нека S ({ y_j}) е голяма сума на Дарбу, определена от разбиването { y_j}. Нека  е обединението на двете разбивания

{ x_i} и { y_j}. Тогава  се получава от { x_i} с добавяне на точки 

s ({ x_i})  s (). Също,  се получава от { y_j} с добавяне на точки 

S ()  S ({ y_j}). От друга страна е изпълнено неравенството

s ()  S ()  s ({ x_i})  s ()  S ()  S ({ y_j}).

Аналогично, от горното твърдение получаваме, че множеството от всички малки суми на Дарбу за f е ограничено отгоре (от коя да е голяма сума на Дарбу за f), освен това е непразно, така че то има точна горна граница. Точната горна граница на малките суми на Дарбу за f се нарича долен интеграл на функцията f в интервала [a, b] и се означава с .

Казваме, че f е интегруема в смисъл на Дарбу, ако горният интеграл на f е равен на долния, т.е. = .

Ще отбележим, че за произволна ограничена функция f е в сила неравенството  . Действително, нека s е малка сума на

Дарбу за f. Тогава s е долна граница на големите суми на Дарбу

за f  s  и това е за всяка малка сума на Дарбу s за f, т.е. е горна граница на малките суми на Дарбу за f   .

[a, b] с d () <  имаме S () – < .

Доказателство: Фиксираме  > 0. Тогава + вече не е точна долна граница на големите суми на Дарбу  съществува

разбиване ₀ на [a, b], такова че S (₀) < +.

Нека ₀ има k делящи точки. Да изберем числото  така, че

0 <  < , където M = . Нека  е разбиване, такова че d () < . Като използваме бележката след по-предното твърдение получаваме: S () - S (  ₀)  2.M.k.d () < 2.M.k. < .

Освен това, S (  ₀)  S (₀) < +  S (  ₀) – < .

Kато съберем двете неравенства получаваме:

S () – < + = .
Твърдение: Нека f е дефинирана и ограничена в интервала [a, b]. Тогава долният интеграл на f в интервала [a, b] е равен на границата на малките суми на Дарбу, когато диаметърът на разбиването на интервала [a, b] клони към 0, т.е. за всяко  > 0, съществува  > 0, такова че за всяко разбиване  на интервала

[a, b] с d () <  имаме – s () < .

Доказателство: Аналогично на горното твърдение.
Твърдение: Нека f е дефинирана и ограничена в интервала [a, b]. Тогава f е интегруема в смисъл на Дарбу  за всяко  > 0 съществува разбиване , такова че S () – s () < .

Доказателство: . Нека f е интегруема в смисъл на Дарбу и

I = =. Избираме  > 0. От дефиницията за горен и долен интеграл съществува разбиване , такова че S () – I < /2 и разбиване , такова че I – s () < /2. Нека  =   . Тогава:

S ()  S ()  S () – I < /2 и

s ()  s ()  I - s () < /2  S () – s () < .

. Нека  > 0 и да вземем разбиване , такова че S () – s () < .

Изпълнени са неравенствата: s ()    S () 

 –  S () – s () < . Последното неравенство е изпълнено за всяко  > 0  =  f е интегруема в смисъл на Дарбу.
Теорема: Нека f е дефинирана в интервала [a, b].

Тогава f е интегруема в Риманов смисъл  f е ограничена и

f е интегруема в смисъл на Дарбу.

Доказателство:

Нека I ==. В сила са неравенствата:

s ({ x_i})   ({ x_i}, t_i)  S ({ x_i}) за всяко разбиване { x_i}. В тях извършваме граничен преход при d ({ x_i})  0, използваме двете дуални твърдения от по-горе и получаваме, че

s ({ x_i})  I, S ({ x_i})  I   ({ x_i}, t_i)  I  f е интегруема по Риман.

Избираме  > 0, такова че за всяко разбиване { x_i} с d ({ x_i}) <  да имаме | ({ x_i}, t_i) - I| < /6  I - <  ({ x_i}, t_i) < I + за всеки избор на междинните точки t_i.

Нека  = > 0. Тъй като M_i е супремумът на f (x) в интервала

[x_i-1, x_i], тогава M_i -  не е супремум  съществуват междинни точки t_i, такива че f (t_i) > M_i -  за всяко i. Oбразуваме съответната риманова сума със същото разбиване { x_i} и междинните точки t_i.

Имаме:  ({ x_i}, t_i) > S ({ x_i}) - .(b – a) = S ({ x_i}) - 

S ({ x_i}) - < I +  S ({ x_i}) < I + . Aналогично, тъй като m_i е инфимум на f (x) в интервала [x_i-1, x_i], тогава m_i +  не е инфимум  съществуват междинни точки t_i, такива че f (t_i) < m_i +  за всяко i. Образуваме съответната риманова сума със същото разбиване { x_i} и междинните точки t_i.Имаме:

 ({ x_i}, t_i) < s ({ x_i}) + .(b – a) = s ({ x_i}) +  s ({ x_i}) + > I – 

 s ({ x_i}) > I –  – s ({ x_i}) < – I. Като съберем това неравенство с полученото неравенство по-горе получаваме

S ({ x_i}) – s ({ x_i}) < I + + – I = . Oт горното твърдение 

f е интегруема в смисъл на Дарбу.

1. 
   f е интегруема в Риманов смисъл.
   
2. 
   f е ограничена и е интегруема в смисъл на Дарбу.
   
3. 
   f е ограничена и за всяко  > 0 съществува разбиване , такова че S () – s () < .
   

Доказателство: Преди всичко от теоремата на Вайерщрас f е ограничена, така че е достатъчно да покажем, че за всяко  > 0 съществува разбиване , такова че S () – s () < .

От теорема на Кантор  f (x) е равномерно непрекъсната в [a, b]. Фиксираме  > 0. Да изберем  > 0, така че

от x, x  [a, b] и |x - x|<  да следва |f (x) – f (x)| < .

Образуваме разбиване { x_i} на [a, b], така че d ({ x_i]) < .

Разглеждаме интервалът [x_i-1, x_i]. От теоремата на Вайерщрас,

M_i = f (x), m_i = f (x) за някои x, x  [x_i-1, x_i].

Тъй като x, x  [x_i-1, x_i], то |x - x| <   f (x) – f (x) < 

 M_i – m_i < . В такъв случай, S ({ x_i}) – s ({ x_i}) =

= < = .

Така f е интегруема в Риманов смисъл.
Ще изброим без доказателство основните свойства на Римановия интеграл.

Свойство 1.: = C.(b – a).

Свойство 2.: Акоисъществуват, то съществува

и е изпълнено: = + .
Свойство 3: Акои съществуват, то съществува

и е изпълнено: = + .

Свойство 4: Акосъществува, то съществува и е изпълнено: = ..

Свойство 5: Нека f и g са интегруеми функции. Ако f (x)  g (x) за всяко x  [a, b], то е изпълнено:  .

Теорема: Нека f e дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]. Тогава съществува t  [a, b], такова че

= f (t).(b – a).

Доказателство: По теоремата на Вайерщрас  f е ограничена.

Нека m = , M = . За всяко x  [a, b] имаме:

m  f (x)  M    

 m.(b – a)   M.(b – a)  m   M.

По теоремата на Вайерщрас m = f (x₁), M = f (x₂) за някои

x₁, x₂  [a, b] и по теоремата за междинните стойности съществува t  [x₁, x₂], такова че f (t) =  = f (t).(b – a).
Теорема (Лайбниц – Нютон): Нека f : [a, b]   е непрекъсната функция. Тогава функцията F (x) = е диференцируема и нейната производна е f (x) за всяко x  [a, b].

Доказателство: Нека x  [a, b]. Записваме диференчното частно на F (x): (x+h  [a, b]) = = .

Съгласно горната теорема съществува точка

u_h  [x, x+h], такава че = f (u_h).

Сега като извършим граничен преход при h  0, получаваме че

u_h  x  f (u_h)  f (x), тъй като функцията f е непрекъсната 

  f (x)  F е диференцируема и F (x) = f (x) за всяко x  [a, b].
Да предположим, че трябва да пресметнем интегралът , където f (x) е непрекъсната функция. Образуваме функцията

F (x) = . Тогава очевидно търсеното число е F (b).

Нека  (x) е примитивна на f (x) в [a, b]. От теоремата на

Лайбниц-Нютон F (x) също е примитивна на f (x) в [a, b]  съществува константа C, така че F (x) = Ф (x) + C за всяко x в [a, b].

При x = a получаваме F (a) = Ф (a) + C, т.е. 0 = Ф (a) + C 

 C = - Ф (a). Така F (x) = Ф (x) - Ф (a) за всяко x в [a, b] 

 F (b) = Ф (b) - Ф (a). Окончателно, = , където Ф е произволна примитивна на f в [a, b].
22. Диференцируеми функции на много променливи. Диференциране на съставни функции.
Нека е дадена функцията f (x, y) с дефиниционна област M  ² и нека (x₀, y₀) е вътрешна точка за M, т.е. съществува число , такова че околността { (x, y) | |x – x₀|< , |y – y₀|<  }  M.

За стойности на x, такива че |x – x₀|< , точките (x, y₀)

попадат в M. Нека разглеждаме функцията f (x, y) за такива точки – получаваме някаква функция  (x) зависеща само от x, т.е.

 (x) = f (x, y₀), |x – x₀|< . Ако съществува производната на  (x) в точката x₀, казваме че функцията f (x, y) е диференцируема частно относно x в точката (x₀, y₀), а самата производна  (x₀) се нарича частна производна на f относно x в точката (x₀, y₀) и се означава с или f_x (x₀, y₀). Аналогично, при фиксиране на втората променлива, т.е. изхождайки от функцията  (y) = f (x₀, y),

|y – y₀|< , получаваме дефиниция на частна производна на f относно y в точката (x₀, y₀) – това е числото  (y₀), ако то съществува и се бележи с или f_y (x₀, y₀).

Дефиницията може да се префразира и по следния начин:

f_x (x₀, y₀) = и

f_y (x₀, y₀) = .

Ясно е как се обобщава дефиницията за частна производна на произволна функция f (x₁, x₂, …, x_n) на n променливи. Именно, частната производна на f относно променливата x_i в точката е , ако тази граница съществува.
Нека f (x, y) е дефинирана в някаква околност на точката (x₀, y₀).

Казваме, че f е диференцируема в точката (x₀, y₀), ако при

(x, y)  (x₀, y₀) е в сила представянето

f (x, y) = f (x₀, y₀) + a.(x – x₀) + b.(y – y₀) + o (), където

a, b   са числа, които не зависят от x и y. Еквивалентен запис е

= 0.