Чист опън и чист натиск напрежения и деформации при чист опън и чист натиск

На фиг. 4.23а е показана колона с постоянно напречно сечение А. Колоната е натоварена на чист натиск с концентрирана сила F. Обемното тегло на материала от който е изградена колоната е . Първо ще разгледаме как се отчита влиянието на собственото тегло при оразмеряване на колоната и при определяне на скъсяването й l. Не е трудно да се съобрази, че собственото тегло на колоната поражда равномерно разпределен осов товар с интензивност t=A (фиг. 4.23б). От фиг. 4.23в за надлъжната сила N(x) имаме

Фиг. 4. 23

Фиг. 4. 24

Диаграмата на надлъжната сила е начертана на фиг. 4.23г. Застрашено е запънатото сечение, където надлъжната сила е максимална по абсолютна стойност. Предполагаме, че надлъжната сила е получена за изчислителни товари. Колоната е изградена от жилав материал. Ето защо използваме оразмерителното неравенство

, (4.66)

което дава

Вижда се, че отчитането на натоварването от собствено тегло води до увеличаване на лицето на напречното сечение на колоната. Скъсяването l на колоната определяме по формула (4.14). Резултатът е

Да преминем към изследване на влиянието на натоварването от собствено тегло върху разпределението на нормалното напрежение _х по дължина на колоната.

Прилагаме формула (4.4) за да получим _х във функция на абсцисата х, т.е.

. (4.69)

Вижда се, че при отчитане на натоварването от собствено тегло стойността на _х нараства по линеен закон от в горния край на колоната до в запъването. Осовата деформация на колоната получаваме във функция на абсцисата х като приложим простия закон на Хук

Може да се обобщи, че при отчитане на натоварването от собствено тегло стойностите на и се изменят по линеен закон по дължина на колоната. Ако собственото тегло не се отчита, и имат постоянни стойности.

Както вече отбелязахме, колоната от фиг. 4.23а има постоянно напречно сечение. В такъв случай якостта на материала, от който е изградена колоната, се използва пълноценно само в запънатото сечение, където надлъжната сила е максимална по абсолютна стойност. В останалите сечения надлъжната сила е по-малка от носимоспособността. Ясно е, че решението с постоянно напречно сечение е неикономично, тъй като води до преразход на материал. Логично е да се постави следният въпрос: не може ли колоната да се изпълни с променливо напречно сечение, така че във всяко сечение надлъжната сила да е равна на носимоспособността? Отговорът на този въпрос е положителен. Това означава, че лицето на напречното сечение може да се определи във функция на абсцисата х, т.е. А=А(х), като се използва условието за достигане на равенство между надлъжната сила и носимоспособността във всяко сечение на колоната. Формата на колоната, определена по този начин, се нарича форма на еднаква якост. Всъщност определянето на форми на еднаква якост представлява оптимизиране на конструкциите от гледна точка на разход на материал. Ще разгледаме как се определя функцията А=А(х) за примера от фиг. 4.24а. Показаната колона е натоварена на чист натиск със сила F. Освен това се отчита и натоварването от собствено тегло. В случая собственото тегло поражда разпределен осов товар с променлива интензивност по дължина на колоната, т.е. t=t(x), защото лицето на напречното сечение също се променя. От фиг. 4.24б за надлъжната сила получаваме

където G(x) е теглото на частта от колоната, намираща се над сечението с абсциса х. За да намерим G(x) разглеждаме един безкрайно малък елемент от колоната, определен от две напречни сечения, намиращи се на разстояния и от горния край на колоната (фиг. 4.24б). Теглото на този елемент е . Тогава за G(x) имаме

След заместване на (4.72) в (4.71) получаваме

Записваме условието за равенство между надлъжната сила (взета по абсолютна стойност) и носимоспособността, т.е.

или

Трябва да се уточни, че в (4.74) се предполага, че надлъжната сила е получена от изчислителни товари. Диференцираме (4.75) по х и получаваме

Отделяме променливите и след интегриране намираме

Интеграционната константа С₁ определяме от граничното условие

Резултатът е

След заместване на (4.79) в (4.77) получаваме

откъдето окончателно намираме

или

Формула (4.82) показва, че лицето на напречното сечение нараства по експоненциален закон по дължина на колоната. Ясно е, че изпълнението на колона с експоненциална форма е много трудоемко и скъпо. Ето защо в практиката се използват конструкции с по-проста форма, близка до получената по теоретичен път. Например колоната с очертание по експоненциален закон може да се замени с конструкциите от фиг. 4.25а,б.

Фиг. 4. 25

Интерес представлява определянето на скъсяването на колоната от фиг. 4.24а. Осовата деформация намираме по простия закон на Хук

. (4.83)

При получаване на формула (4.83) е взето предвид, че в колоната с очертание по експоненциален закон нормалното напрежение _х има една и съща стойност във всяко сечение, а именно . Надлъжното преместване и определяме чрез интегриране на (4.83)

Интеграционната константа С₁ намираме от граничното условие в сечение В (фиг. 4.24а)

След заместване на и в (4.84) за С₁ получаваме

Окончателния вид на израза за намираме като заместим (4.86) в (4.84), т.е.

Скъсяването на колоната е равно на преместването на сечение С (фиг. 4.24а)

Фиг. 4.26

На фиг. 4.26 е показан комбиниран прът, съставен от n броя отделни пръти, свързани неподвижно помежду им, така че деформацията им е еднаква. Отделните пръти са с различни лица и са изпълнени от различни материали, т.е. имат различни модули на линейна деформация . Приема се, че за комбинирания прът е валидна хипотезата на Бернули за равнинните сечения.

Прътът от фиг. 4.26 е натоварен на чист опън със сила F. Търсят се усилията в отделните пръти. Разполагаме с едно условие за равновесие, а именно

където е усилието в -я прът. Ясно е, че задачата е пъти статически неопределима. Уравненията на геометрията се съставят от условието, че деформациите на отделните пръти са равни, т.е.

където е деформацията на -я прът. За определяне наприлагаме закона на Хук

където l е дължината на комбинирания прът. Усилията в отделните пръти получаваме от съвместното решение на (4.89), (4.90) и (4.91).

Същата задача може да се реши и ако за неизвестна се приеме деформацията на комбинирания прът . Като се вземе предвид, че , където , от (4.91) се получава

. (4.92)

Заместваме (4.92) в (4.89) и решаваме полученото уравнение спрямо . Резултатът е

За определяне на усилията прилагаме формула (4.92). Напреженията в отделните пръти намираме по закона на Хук

Понеже модулите са различни, напреженията в отделните пръти също са бъдат различни, т.е. в диаграмата на нормалните напрежения в комбинирания прът има скокове.

Друг метод за решаване на задачата е чрез използване на приведено напречно сечение. Идеята на метода е сечението на комбинирания прът да бъде приведено към един материал, като се запазят съотношенията между коравините на отделните пръти. За основен материал приемаме този с модул . Отношението на коравините на прътите с модули и записваме по следния начин:

, (4.95)

където

По аналогичен начин за останалите пръти имаме

Лицето на приведеното сечение получаваме чрез сумиране

Нормалното напрежение в пръта с модул определяме по формулата

Напреженията в останалите пръти намираме от условието, че деформациите са равни

откъдето след прилагане на закона на Хук имаме

или

Усилията в прътите намираме по формулата

Задачата може да се реши и ако се използва приведен модул на линейна деформация на комбинирания прът. За определяне на приведения модул се прилага следната формула:

където

Тук е лицето на комбинирания прът. Деформацията намираме по закона на Хук

Забелязваме, че (4.106) съвпада с (4.93). По-нататък за получаване на и прилагаме съответно формули (4.94) и (4.103).

Формула (4.104) може да се използва и за определяне на модула на линейна деформация на еднопосочно армирани композитни материали. На фиг. 4.27 е показан композитен прът, натоварен на чист опън. Материалът представлява композиция от матрица и непрекъснати армировъчни влакна (фибри). Последните са ориентирани успоредно на оста на пръта (затова се казва, че материалът е еднопосочно армиран). За да определим модула на линейна деформация на композита по оста х, записваме формула (4.104) по следния начин:

, (4.107)

където и са модулите на линейна деформация съответно на влакната и матрицата. Обемните съдържания на влакната и на матрицата се намират по формулите

където и са лицата на напречните сечения съответно на влакната и матрицата, А е лицето на напречното сечение на пръта. Очевидно е, че . Формула (4.107) е известна като правило на смесите. Графиката на правилото на смесите е показана на фиг. 4.28. Вижда се, че модулът на композитанараства по линеен закон от до при изменение на от 0 до 1.

Фиг. 4.28

Фиг. 4.29

където и са надлъжните сили в двете части. Прилагаме закона на Хук

където е удължението на комбинирания прът. От (4.110) имаме

Записваме закона на Хук за комбинирания прът

където

От (4.112) получаваме

Заместваме (4.111) и (4.114) в (4.109)

откъдето получаваме

или

Преминаваме към определяне на коефициента на линейно температурно разширение на комбинирания прът . Удължението на пръта при температурна разлика се намира по формулата

Понеже коефициентите на линейно температурно разширение на двете части на комбинирания прът са различни, удълженията им би трябвало също да са различни, т.е.

В действителност обаче удълженията им са еднакви (двете части са свързани неподвижно), което води до възникване на температурни усилия и . Удълженията от и определяме по закона на Хук

Удължението на част 1 от температурната разлика и от усилието получаваме чрез сумиране на (4.119) и (4.121)

По аналогичен начин за имаме

Вече посочихме, че удълженията на двете части на комбинирания прът са равни, т.е. . Тогава от (4.123) и (4.124) получаваме следното уравнение:

Температурните усилия в комбинираният прът образуват самоуравновесена система, т.е.

От (4.125) и (4.126) получаваме

Формула (4.127) потвърждава известния факт, че ако коефициентите на линейно температурно разширение са еднакви, температурни усилия в комбинирания прът не възникват. В това отношение може да се отбележи, че стоманата и бетонът имат почти еднакви коефициенти на линейно температурно разширение, което е важна предпоставка за съвместната работа на тези материали в стоманобетонните конструкции.

Приравняваме (4.118) и (4.123), т.е.

. (4.128)

Заместваме (4.127) в (4.128). Полученото уравнение решаваме по отношение на . Резултатът е

или

Формула (4.129) може да се използва и за определяне на коефициента на линейно температурно разширение на еднопосочно армирания композит от фиг. 4.27. За целта полагаме

където и са коефициентите на линейно температурно разширение съответно на влакната и на матрицата. Освен това

Заместваме (4.131) и (4.132) в (4.129). В резултат получаваме коефициента на линейно температурно разширение на композита , т.е.