Глава І Същност на стохастични модели

Предложен е оригинален стохастичен модел за пресмятане на преместванията в скалния масив и на земната повърхност при изземане на наклонени пластови залежи /въглища/. Методът се основава на стохастична среда на Й. Литвинишин и се прилага принципът на минимална потенциална енергия.

Коефициентите в основното уравнение, описващо мулдообразуването са получени като функция на ъгъла на залягане на изземания пласт полезно изкопаемо. Решена е подходяща начално гранична задача за определяне на преместванията.

§.8. Стохастичен модел, отчитащ приплъзването между частиците на средата

Създаден е стохастичен модел на подработения скален масив , който е приложим при изземане на наклонено залягащи пластове полезно изкопаемо и дава възможност да се отчита приплъзването между отделните скални блокове.

Въз основа на механизма на случайните процеси и като е прието, че определящ за разпределението на вероятностите е принципът за минималната потенциална енергия , е получено частно диференциално уравнение за определяне на вертикалните премествания. Неговите коефициенти са функция както на ъгъла на залягане на пласта изземано полезно изкопаемо , така и на коефициента на приплъзване на отделните блокове на средата.

Формулирана е и подходящата гранична задача за определяне на слягането за изучаваната ситуация.

Въз основа на класическата стохастична теория на Й.Литвинишин е определено уравнението на минната мулда и са намерени преместванията в скалния масив при изземане на лещовидни рудни тела. Коефициентът в основното уравнение е приет в съответствие с предложението на В. Димова. Уравнението на депресията е намерено като решение на пространствената задача на Коши за уравнението на Фурие. Зависимостите за преместванията са сведени до квадратури.

Въз основа на класическата стохастична теория на Й.Литвинишин е определено уравнението на минната мулда и са намерени преместванията в скалния масив при изземане на обеми с осева симетрия. Уравнението на депресията е намерено като решение на пространствената задача на Коши за уравнението на Фурие. Поради наличието на осева симетрия основното уравнение е записано в цилиндрични координати. Приложен е методът на Б.С. Радовски.

Като са използвани резултатите от предходните два параграфа тук е определено уравнението на минната мулда при изземване на обеми с осева симетрия и начални премествания, разпределени по параболичен закон.

Изведено е и уравнение за пресмятане на хоризонталните премествания, предизвикани от подземните минни работи. То е в потвърждение на емпиричната зависимост на С.Г.Авершин.

Резултатите от изследванията в този параграф раширяват взможностите на сохастичната теория.

За по-прецизно задаване на граничните условия непосредственото горнище на иззетото пространство е разгледано като тънка плоча на еластична основа. Уточнени са предпоставките за наличие на цилиндрично огъване. Задачата от механика на мулдата е сведена до решаване на проблема на Дирихле за уравнението на Лаплас. Получени са зависимости за определяне на слягането над иззетото пространство и над неиззетия пласт. Интегралите в получените релации са пресметнати като е приложена формулата на Боне.

Предложен е метод за уточнено задаване на граничните условия в класическата стохастична теория на механика на мулдата. За целта непосредственото горнище е разгледано като тънка плоча на еластична основа.

В съответствие с предположенията на А. Салустович задачата е сведена до равнинна и са определени преместванията на непосредственото горнище. Те са зададени като гранични условия на задачата на Коши за уравнението на Фурие, следващо от стохастичния модел за мулдобразуването.

Получени са аналитични зависимости за определяне на сляганията над отработеното пространство и над неиззетата част от пласта.

Намерените зависимости дават възможност за по-прецизно пресмятане на появяващите се премествания, предизвикани от подземното изземане на полезни изкопаеми.

§.14. Информационно технологичен подход за модел І.

В този параграф са показани възможностите за решаване на сложни задачи от механика на мулдата с помощта на математически софтуерни продукти с общо предназначение - в случая с "Mathematika 4.0".

С помощта на този продукт сложните зависимости, получени в предходния §13 са сведени до квадратури. Направен е анализ на получените зависимости.
Глава ІV Нелинейни модели, базирани върху среда на Литвинишин
§.15. Модел на Литвинишин

Представен е класическият стохастичен модел на Й. Литвинишин и неговият делинеаризиран вариант. Параграфът дава основа за съпоставка на съществуващите с новопредложените модели.

За пръв път в механика на мулдата е въведен нелинеен стохастичен модел като са отчетени еластичните свойства на частиците на средата. Изведено е основното уравнение, описващо процеса на мулдообразуване. Уравнението е опростено и му е придаден квазилинеен вид. От полученото уравнение при приемане на частиците на средата за абсолютно твърди следва модела на Й. Литвинишин, т.е. то обобщава класическото уравнение на стохастичната геомеханика.

Опитите със стохастична среда показват наличието на области от зоната на влияние на подземните добивни работи, в които процесът на мулдообразуването се подчинява на хиперболични уравнения с частни производни. В параграфа е даден метод за извеждане на основното уравнение като хиперболично.

За решаване на основните задачи в кинематика на минната мулда се предлага използването на нелинеен стохастичен модел, при който основното уравнение за определяне на сляганията е изведено като квазилинейно параболично. Във връзка с промяната на свойствата на подработения скален масив в трите основни зони, формиращи се над иззетото пространство, е предложено основните задачи на кинематика на мулдата да бъдат формулирани като задачи с прекъсване в коефициентите. Въз основа на анализ на мулдообразуването са предложени аргументи за определяне на вида на коефициентите на основното уравнение в трите зони на извадения от равновесие скален масив.

В параграфа за пръв път е въведена нов тип стохастична среда, който разширява многократно възможностите на стохастичните модели. Подработеният скален масив се моделира с вертикални стълбове с щахматно разположени клетки, които съдържат частиците на стохастичната среда. В първо приближение, последните са разгледани като абсолютно твърди тела. Полученото уравнение, описващо формирането на мулдата може да сменя своя от хиперболично през параболично до елиптично в зависимост от минно-геоложките условия и от други фактори.

Резултатите, получени в предходния параграф, са доразвити като частиците на нововъведената стохастична среда са разгледани като еластични тела. Изведеното диференциално уравнение в такава постановка е нелинейно и обобщава всички стохастични модели, както за среда на Литвинишин така и за нововъведената стохастична среда. То позволява да се обогати инструментариумът от модели и решения в стохастичната механика на мулдата.

Параграфът е посветен на решаване на задачи от кинематика на минната мулда чрез изведеното в предходния §.20 обобщено уравнение. Беше установено, че основното уравнение, описващо формирането на мулдата в тази постановка, е израждащо се. Направен е анализ на промените на функционалните коефициенти на основното уравнение във връзка с промените на свойствата на скалния масив в трите характерни области на зоната на влияние на подземните минни работи и свързаните с това промени във вида му. Анализът е подкрепен с резултати от числени симулации и натурни измервания.

Приет е нелинеен стохастичен модел за подработения скален масив. Изложени са съображения за промяната на вида на уравнението, определящо мулдообразуването в различните зони на скалния масив над добивното пространство. Предложено е решение на хиперболичното уравнение за определяне на мулдата, което е в сила за нивата непосредствено над добивното пространство. Това решение се трансформира в решение на параболичното уравнение на мулдообразуването, което е в сила за зоната на скалния масив, която се намира в близост до земната повърхност.

Постигнатото доказва възможността в механика на мулдата да се използват израждащи се уравнения и дава теоретично обяснение на резултатите от натурни измервания и от лабораторни опити, проведени със сипеща се среда.
Глава VІ. Класификация на стохастичните геомеханични модели, ползвани в кинематика на мулдата. Основни задачи
§.23. Класификация

Направена е подробна класификация на стохастичните модели, приложими в механика на мулдата.

Формулирани са основните задачи на стохастичната геомеханика при решаване на задачи от кинематика на мулдата. Очертан е приносът на българската школа.

Изходна точка за класификацията е обобщеното нелинейно уравнение, описващо формирането на минната мулда над иззетото пространство. Класификацията е извършена по основните признаци за разграничаване на получените решения.

Даден е конкретният вид на решения за определяне на минната мулда за редица важните за минната практика случаи. Наред със съществуващите са представени и оригинални нови решения за въведените нелинейни модели.

Основен проблем при използването на стохастични модели е определянето на коефициентите в уравненията, описващи изучавания процес. На тяхното намиране са посветени следващите три параграфа.

В този параграф е решена задачата за определяне на функционалния коефициент на квазилинейното параболична уравнение, който характеризира свойствата на масива по дадени гранични условия за минната мулда. Зададени са стойности на вертикалните премествания в някои вътрешни точки от зоната на влияние на минните работи. Счита се, че е налице и информация за хоризонталните премествания, получена от измерване в натурни условия. Чрез зависимостта на С.Г.Авершин и подходяща субституция е записано и решено линейно диференциално уравнение за функционалния коефициент.

§.28. Решение чрез субституцията на Болцман

За квазилинейното уравнение на стохастичния модел за формиране на мулдата е решена коефициентната задача. Чрез субституцията на Болцман основното уравнение е трансформирано в нелинейно обикновено диференциално уравнение. Последното е решено спрямо търсения нелинеен коефициент. Полученото уравнение е решено, а появилият се в решението интеграл е пресметнат по формулата на Симпсън.

При прилагане на теорията на Литвинишин - Кайнхорст уравнението на мулдата се получава като решение на задачата на Дихихле за уравнението на Лаплас, в което не са включени никакви характеристики на подработения скален масив. В параграфа е предложен метод в този модел да се отчете ъгълът на вътрешно триене на средата. Приложени са функции на комплексни променливи и подходяща конформна трансформация. Получени са аналитични зависимости за хоризонталните и за вертикалните премествания на точките от зоната на влияние на минните работи.

Разгледан е методът на крайните разлики при решаване на задачи от кинематика на мулдата чрез квазилинейното параболично уравнение. Предпочетени са чисто неявните схеми. Сравнени са зависимости за пресмятате на нелинейния коефициент. Направен е обоснован избор. Съставен е алгоритъм за реализиране на изчислителния процес.

В параграфа са представени четири схеми за реализиране на метода на крайните разлики при решаване на задачи за определяне на мулдата при изземане на:

• 
  хоризонтален пласт полезно изкопаемо и хоризонтална земна повърхност;
  
• 
  наклонен пласт полезно изкопаемо и хоризонтална земна повърхност;
  
• 
  хоризонтален пласт полезно изкопаемо и наклонена земна повърхност;
  
• 
  наклонен пласт полезно изкопаемо и наклонена земна повърхност.
  

Приложен е методът на правите за решаване на задачи от механика на мулдата.

Използван е линейният стохастичен модел на Й. Литвинишин. Диференциалното уравнение с частни производни, получено за определяне на минната мулда според тази теория, е заменено по две схеми със системи от обикновени диференциални уравнения. Получено е решение на задача от минната геомеханика.

§.33. Метод на крайните елементи за линейния параболичен и за квазилинейния параболичен модел

При решаване на задачи от кинематика на мулдата по метода на крайните елементи, за изброените в заглавието на параграфа модели, е приложен полудискретният метод на Гальоркин, разработен именно за решаване на параболични уравнения с частни производни. За квазилинейното уравнение допълнително е използвана апроксимацията на Кранк-Никълсън-Гальоркин. Тя свежда правата задача от механика на мулдата до система от нелинейни обикновени диференциални уравнения.

В този параграф е систематизирана информацията за видо­вете моделиране, ползвани при решаване на геомеханични задачи.

Разгледани са двата основни модела на скалния масив – тези на механика на непрекъснатите среди и на механика на дискретните среди.

Дадени са основните уравнения в двата случая и е разкрита най-съществената разлика между тях, а именно, че в моделите, базирани върху механика на непрекъснатите среди се използват детерминистични зависимости, а в тези базирани върху механика на дискретни среди се работи със стохастични релации. Материалът представлява инфраструктура на разглеж­данията в следващите глави. Адаптиран е за минни инженери

I.3. Основни положения на теория на подобието

Изложени са основите на теория на подобието. Дефинирани са основните понятия. Формулирани са трите теореми за подобие – на Ж. Бертран, на Федерман-Бъкингам и на Кирпичев. Представени са критериите за динамично подобие, израз на закона на Нютон.

Изложени са подробно трите най-широко използвани за геомеханични цели физически метода на моделиране - методът на еквивалентните материали, методът на центробежното моде­лиране и методът на поляризационно-оптическото моделиране. Изложени са теоретичните основи на трите метода. Предложен е оригинален алгоритъм за фотоеластициметрично моделиране като получените резултати са подложени на последваща цифрова обработка. Измерванията също се провеждат по електронен път. Ползват се достъпни и широко разпространени софтуерни продукти като графичната програма Microsoft Office Picture Manager и продуктът Ey dropper.

Представена е теорията на равнинната задача в еластична постановка.

Изложението е пригодено за минни инженери, инженер-геолози и геоинженери.

ІІ.2. Пространствен модел на установилата се мулда

Представено е пространственото решение на Ю. И. Мар­тинов за формиране на мулдата. Параграфът има методически и познавателен характер.

При използване на еластичен модел на скалния масив е решена равнинна задача. Функцията на Ери е избрана като полином от пета степен. От уравнението на Максуел и от гра­ничните условия се определят коефициентите в полинома. След това се намират напреженията в зоната на влияние на подзем­ните минни работи.

Предложеният подход разширява значително възможностите да бъдат решавани трите основни задачи на равнинната теория на еластичността по Н. И. Мусхелишвили, като се отчитат тектонски и повърхностни натоварвания.

II.4. Относно формирането на мулда при разработване на наклонен пласт полезно изкопаемо и при наклонена земна повърхност

Разглежданият геомеханичен проблем е сведен до задачата на Дирихле за уравнението на Лаплас. Задачата се решава в кръгов венец. Получено е аналитично решение.

Представена е интегрална връзка между компонентите на тензора на напреженията и проекциите на вектора на премест­ванията за точките от зоната на влияние на минните работи. Граничните условия могат да се задават в премествания или в напрежения. Това дава възможност да се решават геомеханични проблеми, свеждани до трите основни задачи на равнинна теория на еластичността.

Предложен е метод за използване на данни от натурни измервания за уточняване на решенията.

II.6. Един еласто-пластичен модел в механика на мулдата

Решена е задачата за определяне на полето на премест­ванията в зоната на влияние на подземните минни работи чрез теория на малките еласто-пластични деформации. Предложено е числено решение по метода на крайните разлики, като преди това е уточнен характерът на функцията на пластичност.

Представени са резултатите от някои опити проведени в лабораторията по фотоеластициметрия на МГУ “Св. Иван Рилски”. Изследвано е разпределението на напреженията около минна изработка с квадратно и с правоъгълно сечение. Изучено е полето на напреженията около хоризонтална камера с правоъгълно сечение като функция на нейната ширина.

Представени са и някои учебни задачи, които имат приложение в минното дело, каквито са:

- Напрегнато състояние в клин, към върха на който е приложена съсредоточена сила;

- Напрегнато състояние в еластична полуравнина от съсредоточена сила;

- Напрегнато състояние в пластина с кръгов отвор, подложена на опън-натиск.

Сравнени са аналитичните и фотоеластициметричните решения.

II.8. Граници на приложимост на еластичните модели

В параграфа е изяснена необходимостта от обосновка на използването на модели, базирани върху механика на непрекъс­натите среди във всеки конкретен случай на минната практика. Дискутирано е понятието елементарен обем. Разгледани са до­стойнствата и недостатъците на еластичните модели. Параграфът има методически и дидактически характер.

Представени са основната идея и принципите, върху които се изграждат интегрално-геометричните теории.

Приложен е нов механо-математически модел на процеса мулдообразуване. Въведени са векторна функция, описваща създадената при извземане на част от пласта полезно изкопаемо възможност за преместване и функционал, описващ реакцията на скалния масив в зоната на влияние на така създадената възможност. Определена е векторната функция на влияние и са изказани предположения за характера на реакцията на масива.

За конструирането на новата формула е използван форма­лизмът, предложен в предходния параграф. Направени са необ­ходимите опростявания за случая на изземане на пластови находища (въглища). Изведени са формули за определяне на полето на преместванията в зоната на влияние на минните работи.

В разработката е предложен метод, който позволява реакцията на скалния масив в зоната на влияние на подземните минни работи да бъде определяна по данни от измервания в натурни условия. Това води до съществено подобряване на изчислителните резултати и дава завършеност и пълното на изследванията в предходните два параграфа. Освен това се разкриват възможностите за адаптиране на изчислителния метод към конкретните минно-геоложки условия на дадено находище.

Изложена е концепцията на В. Цу за определяне на дина­мичните стадии от развитието на мулдата, които съответстват на напредването на минните работи.

Параграфът има дидактическо значение при обучението на минните инженери.

III.6. Определяне на границите на областта на влияние на подземните минни работи

Като е използвана зависимостта за определяне на премест­ванията в зоната на влияние, базирана на вече изложената концепция за функция на влияние и функция на реакцията на масива, са получени границите на областта на влияние. Те пред­ставляват клонове на хипербола, чието уравнение е определено. Показано е, че по тази граница определящото преместванията уравнение променя своя вид (изражда се).

В този параграф са представени основанията за моделиране на скалния масив с дискретна среда в редица геомеханични задачи. Причините са генезисни и техногенни. Поставени са целите за изследване. Изяснени са особеностите на находищата в нашата страна и изискванията, които се налагат на стохастич­ните модели. Параграфът има методическо значение.

Изложението следва цитираните източници (основно работите на Й. Литвинишин), като последното е пригодено за минни инженери.

Решен е пространственият проблем.

Използван е фактът, че експоненциалната функция е изключително гъвкава. С нейна помощ могат да бъдат моделирани голям набор от рудни тела.

IV.4. Едно обобщение на стохастичните решения при произволна форма на изземания обем

Предложено е решение, което е валидно при най-общ вид на функцията, описваща изземаното тяло.

Показано е как от него могат да бъдат получени решенията, както за най-често използваните случаи на изземане на обеми с правоъгълни (многоъгълни) основи, така и вече получените решения за изземане на тела с осева симетрия.

IV.5. Определяне уравнението на мулдата при сложен релеф и при сложни условия на залягане

Методът е базиран на факта, че в резултат на решаването на начално-гранична задача за определящото мулдообразуването уравнение се получават резултати за полуравнината над иззетия пласт при равнинен и за полупространството над добивната изработка при пространствения проблем.

Чрез многократно решаване на задачата на Коши за линей­ното уравнение на Фурие и сумиране на получените резултати се определя резултатното слягане на точките от скалния масив и от земната повърхност дори при силно пресечен и планински релеф. Предложено е числено решение. Съставен е алгоритъм за провеждане на изчислителните процедури.

Алгоритъмът е приложим освен при стохастичен модел и при всички други модели използващи линейни уравнения, определящи мулдообразуването.

Използвайки решението за полупространството над добив­ната минна изработка, е получено приблизително аналитично решение на разглежданата геомеханична задача. Обемът на рудното тяло, което се иззема се дискретизира. Получени са решения за отделните части. Съставен е алгоритъм за работа. Методът е универсален, тъй като е приложим за рудно тяло с произволна форма при каква да е земна повърхност (хоризон­тална, наклонена, пресечена, планинска).

Въз основа на анализ на особеностите на процеса мулдо­образуване при вторично подработване на скалния масив е предложен нов математически модел. Определящо уравнение в него е уравнението на Фурие при наличието на вътрешни разпределени източници. Дадено е решение на така формулираната геомеханична задача в обща постановка.

Предложен е метод за отчитане на влиянието на границите на добивната изработка върху процеса на мулдообразуването. За функция, моделираща влиянието на граничните зони е използ­вана експотенциална функция. Тя е предпочетена заради нейната висока степен на гъвкавост и адаптивност. Чрез вариране на два параметъра видът й се избира така, че да съответства в макси­мална степен на условията в дадено минно поле.

Уравнението за определяне на минната мулда при използ­ване на стохастичен модел е решено в нелинейна постановка, т.е. решава се задачата на Коши за нелинейното уравнение на Фурие. Чрез подходящо избрана и оригинална субституция редът на определящото частно диференциално уравнение е повишен с единица, обратно на обичайния подход за намаляване реда на диференциалните уравнения. След това е получено при­близително аналитично решение по метода на Б. В. Гальоркин.

Задачата за формиране на минната мулда е разгледана като спрегната. Използва се комбиниран модел-зоната на обрушаване над добивната изработка е моделирана чрез стохастична среда, а зоната на влияние на минните работи извън свода на обрушаване е разгледана като непрекъсната (линейно-еластична) среда. По границата на свода на обрушаване задачата е спрегната като са наложени кинематични гранични условия. Предложено е решение по метода на крайните разлики.