Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

Изтегляне 2.43 Mb.

страница	6/24
Дата	25.07.2016
Размер	2.43 Mb.
	#6192
Тип	Лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24

3. Адюнгирани количества и поддетерминанти.

22 октомври

Забележка: Свойствата от 1 до 8 важат ако навсякъде заменим “ред” със “стълб”; това е в сила поради факта, че транспонираната детерминанта съвпада с оригиналната (detA^t= detA)

3. Адюнгирани количества и поддетерминанти.

Цел: Изразяване на детерминанта от ред n чрез детерминанта от ред n-1;

Нека  = |a_ij| ( a_ij  F – поле ). Фиксираме p и q (1  p  n, 1  q  n). В  разглеждаме всички членове, които съдържат a_pq.
Това са (-1)^[ⁱ¹^{, …,}^q^,…ⁱⁿ^] . а₁_i₁. a₂_i₂... a_pq... a_ni_n ( i_p = q; i₁, …, i_p_-1, i_p₊₁, … i_nе пермутация на числата 1, …, q-1, q+1, …, n );

от всички тези членове извеждаме a_pq пред скоба; изразът в скобите се означава с A_pq – адюнгирано количество на a_pq от .

A_pq =  (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,…, i}^p-1^{, q, i}^p+1^,^…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... a_p-1i_p-1 . a_p+1i_p+1 … a_ni_n – сума от

(n-1)! събираеми;

A_pq не съдържа елементи от ред p и стълб q на детерминантата .
Пример при n=3:

a₁₁a₁₂а₁₃

a₂₁a₂₂а₂₃

a₃₁a₃₂а₃₃ = (а₁₁.а₂₂.а₃₃– а₁₁.а₂₃.а₃₂– а₁₂.а₂₁.а₃₃+ а₁₃.а₂₁.а₃₂ +

a₁₂.а₂₃.а₃₁– а₁₃.а₂₂.а₃₁)

Нека p=3, q=1; тогава A₃₁ = a₁₂.a₂₃ – a₂₂.a₁₃

a_pq.A_pq изчерпва всички членове от детерминантата , които съдържат a_pq (по определение)  за всяко i (1  i  n) имаме:

a
k=1
_i1.A_i1 + a_i2.A_i2 + … + a_in.A_in = ; т.е.  a_ikA_ik = 
Аналогично, за всяко j (1  j  n) имаме:

a
k=1
_1j.A_1j + a_2j.A_2j + … + a_nj.A_nj = ; т.е.  a_kjA_kj = 
Тези изрази наричаме развитие на детерминантата  по адюнгираните количества на i-ти ред (j-ти стълб);
Нека разгледаме . Задраскваме ред p и стълб q. Получаваме детерминанта от ред n-1:

а₁₁а₁₂…a₁_q_-1 a₁_q₊₁….…………а_1n

а₂₁а₂₂…a₂_q_-1 a₂_q₊₁….…………а_2n

…………………….…………………

а_p-11а_p_-12…a_p_-1_q_-1 a_p_-1_q₊₁…… а_p-1n

_pq = а_p+11а_p₊₁₂…a_p₊₁_q_-1 a_p₊₁_q₊₁……а_p_+1n

……………………….………………

a_n₁ a_n2…a_nq_-1 a_nq₊₁………….…a_nn
_pq се нарича поддетерминанта от ред n-1 на a_pq от .

Развитието на _pq:

_pq =  (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…,ⁱ^p^-1^,ⁱ^p⁺¹^{, …}ⁱⁿ^] . а₁_i₁. a₂_i₂... a_p_-1_i_p_-1 . a_p₊₁_i_p₊₁ … a_ni_n – сумата е по всички пермутации i₁, …, i_p_-1, i_p₊₁, …, i_n на числата

1, 2, …, q-1, q+1, …n

Пример при n=3;

a₁₁a₁₂а₁₃

 = a₂₁a₂₂а₂₃

a₃₁a₃₂а₃₃

ека p=3, q=1; ₃₁ = a₁₂а₁₃ = a₁₂.a₂₃ – a₂₂.a₁₃

a₂₂а₂₃

(забелязваме, че в този случай A_pq = _pq)
В сила е следната теорема: A_pq = (-1)^p⁺^q. _pq
Доказателство:
A_pq и _pq се състоят от едни и същи събираеми като се абстрахираме от знаците. Нека a е едно такова събираемо:
a = а₁_i₁. a₂_i₂... a_p_-1_i_p_-1 . a_p₊₁_i_p₊₁ … a_ni_n , където i₁, …, i_p_-1, i_p₊₁, …, i_n е пермутация на числата 1, 2, …, q-1, q+1, …n;
a участва в A_pq със знак (-1)^[^^], където  = i₁, i₂,…, i_p_-1, q, i_p₊₁, …i_n;

a участва в _pq със знак (-1)^[^^], където  = i₁, i₂,…, i_p_-1, i_p₊₁, …i_n;

Всяка инверсия в  я има и в .
Разглеждаме ; нека k на брой от числата i₁, i₂,…, i_p_-1са по-големи от q (образуват инверсия с q), 0  k  p-1; имаме k инверсии на q с числата преди него; от числата i₁, i₂,…, i_p_-1 p-1-k на брой са по-малки от q; броят на естествените числа, които са по-малки от q е q-1  измежду числата i_p₊₁, …, i_n броят на по-малките от q е

( q – 1 ) - ( p – 1 – k ) = q - p + k; точно толкова от тези числа образуват инверсия с q; тогава:

Новите инверсии в  в сравнение с  са k + q – p + k = q – p + 2.k
[] = [] + q – p + 2.k = [] + p + q + 2. ( k – p) 

(-1)^[^^] = (-1)^[^^]+^p⁺^q = (-1)^[^^].(-1)^p⁺^q

a участва в A_pq със знак (-1)^[^^] = (-1)^[^^].(-1)^p⁺^q;

a участва в _pq със знак (-1)^[^^];

 почленно A_pq = (-1)^p⁺^q . _pq
Следствие 1: Избираме i, (1  i  n);

В
n

сила е:  = (-1)ⁱ⁺¹.a_i1._i1 + (-1)ⁱ⁺².a_i2._i2 + … + (-1)ⁱ⁺ⁿ.a_in._in;

т
k=1

.е.  (-1)^i+k.a_ik._ik = 
Избираме j, (1  j  n);

В сила е

(
n
-1)¹⁺^j.a₁_j.₁_j + (-1)²⁺^j.a₂_j.₂_j + … + (-1)ⁿ⁺^j.a_nj._nj= ;

т
k=1

.е.  (-1)^k⁺^j.a_k_j._kj = 

Следствие 2: Нека имаме i, j (1  i  n, 1  j  n );

, ако i = j

a
0, ако i  j

_i1.A_j1 + a_i2.A_j2 + … + a_in.A_jn =

1, ако i = j

0, ако i  j

Символ на Кронекер: _ij =
Със символа на Кронекер следствие 2 изглежда по следния начин:

k=1
 a_ik.A_jk = _ij. 

А
k=1
налогично  a_k_i.A_kj = _ij. 

Доказателство: Нека ₁ е детерминанта от ред n, получена от  като заменим j-тият ред на  с i-тия ред на , а останалите си останат същите. Оттук следва, че ₁ = 0, тъй като в нея има два съвпадащи реда (ред i и ред j); развиваме ₁ по адюнгираните количества на

ред j; тези адюнгирани количества са същите като на елементите от

j-тия ред на , тъй като те не съдържат елементите от ред j, а останалите редове на ₁ и  съвпадат; т.е тези адюнгирани количества са A_j₁, A_j₂,…, A_jn; като вземем предвид, че в ₁ а_jk = a_ik за всяко k (1  k  n) получаваме:

0 = ₁ = a_i1.A_j1 + a_i2.A_j2 + … + a_in.A_jn

Каталог: 1kurs
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
1kurs -> Лекции по увод в програмирането
1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
1kurs -> Седмичен разпис

Изтегляне 2.43 Mb.

Сподели с приятели:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24