Глава 5. Теория на капиталовите пазари

 

5.1. Постановка  

Теорията на капиталовите пазари е eдно упражнение в позитивна икономика [1]. Теорията прави следните допускания

1. 
   Всеки инвеститор действува на базата на предвиждането за бъдещата производителност и доходност на различните активи, ценни книги. Тези предвиждания се изразяват в термините на средна стойност на очакван доход E_i, дисперсия или стандартно отклонение на дохода _i, корелационни коефициенти между нормите на възвращаемост _ij.
   
2. 
   Всеки инвеститор избира портфейл съгласно досега приетата теория.
   
3. 
   Всеки инвеститор може да взема и дава заем по основната пазарна лихва в размери без ограничения.
   

Теорията на капиталовите пазари се развива за условия на равновесие. Една ситуация на равновесие веднъж достигната може да бъде поддържана. При неравновесие се появяват допълнителни въздействия за промяна на пазара и характеристиките на ценните книги се променят. При равновесие няма изменение на характеристиките на ценните книги.

Промените в капиталовия пазар се изразяват в промяната на собствеността на активите, ценни книги и техните цени. При равновесие няма натиск и въздействие за последващи промени. Равновесните цени са резултат от субективните преференции, желания, предвиждания, богатства на инвеститорите. В по общ смисъл, равновесните цени са определени от човешкото богатство, предпочитания, предвиждания.

Теорията на капиталовите пазари се стреми да предскаже зависимости между важни параметри и характеристики на финансовите инструменти при равновесие на пазара. В теорията на капиталовите пазари се разглеждат два основни проблема.

1. 
   Каква е зависимостта между средната възвращаемост и риска за различните портфейли.
   
2. 
   Каква е зависимостта между средната възвращаемост и риска за активите и ценните книги участващи в съставянето на портфейли.
   

Двата вида активи може и да не са зависими. Например: ако лицето А посади дръвче, той ще притежава капиталов актив. Неговият бъдещ доход ще зависи от продуктивността на дървото, както и от бъдещото търсене на продукта.

Лицето A може да се договори с лицето В да плати в бъдеще някаква сума. Това обещание представлява финансов актив. Размерът на плащането може да зависи от продуктивността на дървото на лицето A. Лицето A може да договори да плати на лицето B целия приход от дървото. Във всички практически случаи, тогава лицето B може да стане собственик на дървото. Лицето A просто действува като посредник. Това е обща, но не универсална ситуация.

Разглеждаме нов случай, при който лицето Y договаря да плати на лицето Z сума равна на това, което лицето A плаща на лицето B. Лицето Y също прави финансов актив. Но той не е собственик на финансов актив. Това е само доказателство за финансова транзакция между двама инвеститори.

Защо хората емитират (издават) финансови активи?

Това е с цел да получат преимущества за собствените си икономически програми и решения. Може да е по ефикасно да се планират и управляват хиляди дървета, но да няма единствен собственик на всички тях. Лицето A, действащ като предприемач, може да посади дървета и след това да емитира стотици или хиляди ценни книги (акции), всяка представляваща обещание да се плати пропорционален дял от евентуален приход. Лицето B може да закупи една, лицето C няколко, и т.н. Лицето A може да избере също да има акции. Във всеки случай капиталовия актив от 1000 дървета може да бъде лесно и евтино разделен. Корпоративната форма на собственост, всъщност, е легален начин за уреждане на това разделение. Ако нямаше ефективен и евтин метод за разделяне на собствеността, допускането за перфектно разделяне щеше да представлява едно екстремно опростяване. За целите на анализа на модерните капиталови пазари, обаче това допускане е достатъчно приемливо.

В реалността, предприемача се надява да получи определена компенсация за своите усилия, но тези доходи не са цел на теория на капиталовите пазари. За целите на опростяването тук се приема първоначално, че разходите за транзакция на финансовите активи са нулеви и безплатни.

Следователно финансовите активи представляват, пропорциите на собственост на капиталовите активи. Освен това тяхната роля е да отчита разликите в преференциите и желанията на инвеститора и от разликата в отделните предвиждания. По долу са представени следните сценарии.

• 
  Двама инвеститора може да имат различни преференции и желания. Вследствие от тази разлика и двамата може да печелят чрез търгуване на средства “сега” за “бъдещи активи”. Това може да стане като се емитират безрискови финансови ценни книги. Вземащият заем ще емитира акции, като обещава да плати на даващия заем определена сума в бъдеще. Съответно даващият заем купува акциите.
  
• 
  Двама инвеститори могат да не постигнат съгласие за бъдещите приходи и перспективи. Тогава, единият може да пожелае да емитира рискови финансови ценни книги и да ги продаде на другия на цена под максимума , за който вторият желае да плати. Дори преференциите на двамата инвеститора да са еднакви, цената на определените полици, която те определят може да е различна, ако инвеститорите не са съгласни за вероятните бъдещи приходи.
  

За целите на теорията, тук не е необходимо да се прави разлика между финансови активи и капиталови активи. Активът или ценната книга представлява предпоставка, проспект за бъдещи доходи. Давайки и текуща днешна цена, всяка ценна книга може да се характеризира със средна стойност на доходността, стандартно отклонение на доходността и множеството от корелационни коефициенти между доходността на отделните ценни книги. Източникът на доход може да бъде и от друг инвеститор или от останалия свят. В първия случай доходът е от ценни книги, а при втория може да е от капиталов актив.

Индексът 1 на ценна книга 1 (актив 1) обикновено обозначава безрисков финансов актив. Инвеститорите, които притежават положително количество от този актив (ценна книга), може да го предлагат на пазара. Тогава тези инвеститори дават на заем. Други инвеститори ще държат отрицателно количество от тези ценни книги. Тогава тези инвеститори ще вземат заем.

При равновесие на пазара общият размер на средствата на тези инвеститори вземащи заем ще бъде равен на общия размер на средствата на инвеститори даващи заем. Следователно общата стойност на емитирани ценни книги. ще е равна на общата стойност на купени ценни книги, т.е общата им сума трябва да е равна на нула.

Рисковите активи може да бъдат както капиталови, така и финансови ресурси. Собственик на фирма може да притежава всичките и активи. Той може също да емитира ценни книги с финансови характеристики, каквито има неговата фирма или ценна книга с различни и други характеристики (облигации ).

Ако емитирането е представено със знак минус, а купуването със знак плюс, сумата за финансови активи ще бъде по-голяма или равна на нула X, а за капиталовите активи сумата трябва да бъде по-голяма от нула X>0.

К
акво трябва да бъде поведението на инвеститора? Чрез оценяване и предвиждане на характеристиките на рисковите ценни книги, при зададен пазарен лихвен процент и дадена възможност за вземане или даване на заеми, инвеститорът ще бъде представен в ситуация подобна на фиг.5.1 за избор на инвестиционно решение.

Фиг. 5.1. Избор на инвестиционно решение 

Съгласно фиг.5.1 всички ефективни портфейли са разположени на правата pR^*Z. Всяка точка от тази линия може да се получи чрез:

а) даване или вземане на заем;

б) инвестиране в рисковият портфейл R^*, съставен изцяло от рискови активи.

Портфейлът R^* e оптимална комбинация на рисковите ценни книги. При тази ситуация инвеститорите ще се влияят от своите предвиждания и от възможностите си да вземат и дават заеми.

Тук е прието, че всеки инвеститор прави едни и същи предвиждания и може да взема и дава заем при обща еднаква лихва p. Следователно оптималната комбинация R^* за всички инвеститори е еднаква за всички. Това не означава, че всеки инвеститор ще избере един и същи портфейл. Някой ще вземе заем, друг ще даде, трети нищо не ще направи. Но всеки ще разпредели своите средства и ресурси в рисково решение по един и същи начин. Композицията, съставът на R^* ще покаже пропорциите , в които средствата на инвеститорите ще бъдат включени в рискови активи. В равновесие, размерът на взетите заеми трябва да е еднакъв с размера на дадените. Общият обем средства инвестирани в безрискови ценни книги, i=1 трябва да е нула.

Какъв е съставът на R^*?

При равновесие, оптималната комбинация на рисковите активи трябва да включва всички активи (ценни книги). Освен това пропорцията на всеки актив в R^* е пропорционална на стойността на актива към стойността на активите в целия пазар. Този извод се доказва по следния начин:

Допуска се, че съществува случай когато R^* съдържа отрицателна стойност на някой актив, например Х₅. Това означава, че инвеститорът е емитирал актив i=5. Но всички инвеститори оценяват еднакво характеристиките на ценните книги. Следователно тези инвеститори, които ще вложат средства в рисковите активи също ще искат да емитират Х_5. Очевидно не всички инвеститори могат да емитират и продават защото няма да има кой да купува. Следователно допускането, че R^* съдържа отрицателна компонента не е допустимо.

Така се доказа че отрицателна стойност за пропорция в R^* не е допустима при равновесие на капиталовия пазар.

Какъв е случая при положителна стойност Х₈, но която не е пропорционална по стойност на пазара като цяло. Допуска се, че Х₈ представлява 2% от общата пазарна стойност на всички рискови активи, но в R^* тя е Х₈=0,015. Това означава, че всеки инвеститор , влагащ средства в рискови активи ще инвестира 1,5% от своите средства в ценни книги i=8. Така 1,5% от всички средства ще бъдат инвестирани в ценни книги i=8. Но стойността на ценни книги i=8 съставя 2% от общата стойност на рисковите активи на пазара. Очевидна е разликата от 1,5% и 2% което е недопустимо за първоначалното допускане. Следователно пропорцията на ценна книга i=8 трябва да бъде еднаква с тази която съществува в портфейла R^*.

Извод: при приетите допускания при равновесие на капиталовия пазар, оптималната комбинация на рискови ценни книги (активи) е тази пропорция, която съществува на пазара. Съответно портфейл R^* е пазарен портфейл.

Нека Р_i е цената за i – та акция;

Q_i e броя на i –та акция .

Определянето на акция i е произволно. Ако актив i= 23 е General Motors, естествена единица е акция от стоковия пазар. Количеството и цената трябва да се изразяват в еднакви единици. Пазарният портфейл се отбелязва с индекс m. Нека X_i^m е пропорцията, инвестирана в актив i в пазарния портфейл.

Следователно, j=2,3…N, брой активи, i=1, N

Трябва да се отбележи, че актив i=1 е безрисков и не участва в пазарния портфейл. Последният по определение включва само рискови активи. Освен това е необходимо да се спази условието за цялост на инвестицията

 

X₂^m + X₃^m + … + X_N^m = 1 .

Обикновените зависимости между характеристиките на активите и характеристиките на портфейла са валидни и сега. Реалната възвращаемост на портфейла се означава с R_m и ще бъде сума от претеглените компоненти на активите R_i.

Средната стойност на възвращаемостта на портфейла Е_m е аналогично определена.

Стандартното отклонение на възвращаемостта на пазарния портфейл, _м е

При равновесие инвеститорът ще избере някоя точка от линията pМZ, фиг.5.2

Ф
иг. 5.2.

По консервативните инвеститори ще дават заем, т.е инвестират в безрискови активи. Останалата част от инвестицията ще бъде вложена в пазарния портфейл R_m.

По малко консервативните ще вземат заем, за да закупят повече рискови активи от пазарния портфейл. Техният портфейл ще се намира в частта на отсечката MZ.

Но и в двата случая всички инвеститори ще избират точки от линията p – M – Z . Тази линия се нарича линия на капиталовия пазар (CML).

• 
  при равновесие на капиталовия пазар, съществува линейна зависимост между риска (_p) и средната стойност на очаквания доход (Е_р) за ефективните портфейли.
  
• 
  само ефективните портфейли лежат върху линия на капиталовия пазар CML. Останалите допустими портфейли се намират под нея.
  

• 
  пресечната точка на CML с ординатната ос е пазарната лихва р. Това е цената за да се консумира “сега”. Инвеститорът трябва да се откаже от приход от 5%, фиг.5.2, ако реши да консумира “сега”. Съответно наградата е 5% доход ако се консумира “по късно”. Лихвата често се счита и като “цената на времето”;
  
• 
  наклонът на линия на капиталовия пазар CML определя съотношението между очакван доход и риск. За да получи по-голям доход инвеститорът трябва да поеме по-голям риск. Наклонът може да се разглежда като цената, която се плаща за намаляване на дохода Е_р при намаляване на риска (_p). Често това се нарича “цената на риска”.
  

В равновесие капиталовия пазар се характеризира с линия, показваща зависимостта между очаквания доход Е_р и риска на ефективните портфейли, като риска се измерва със стандартно отклонение _р. Тази зависимост може да се опише с две стойности:

• 
  цената на потреблението “сега”, като основна ,чиста лихва р;
  

• 
  цената за намаляване на риска, което е наклона на линията на капиталовия пазар.
  

където р – основна лихва;

re – цената за намаляване на риска при ефективни портфейли.

Всички ефективни портфейли на инвеститора ще лежат на линията на капиталовия пазар CML. Пазарният портфейл (Е_м, _м) също е ефективен и лежи на линия на капиталовия пазар CML като удовлетворява равенството:

При известни характеристики на пазарния портфейл и лихвата р, то наклонът на линията re е:

re= .

Числителят определя допълнителна съставка на очаквания доход над пазарната лихва. Знаменателя е риска на пазарния портфейл.

Няма основание да се счита, че линия на капиталовия пазар CML остава постоянна във времето. Линията определя зависимостта между среден доход и риск, предсказани за определен период от време. Цената за потреблението “сега” и цената за намаляване на риска ще се определят от силите на търсене и предлагане. Ако търсенето и предлагането се променят това ще променя във времето и цените, и съответно линия на капиталовия пазар CML.

Теорията на капиталовите пазари моделира поведението на икономическите процеси. Но реалното състояние на пазара може да се различава от моделът. Параметрите и характеристиките на теорията на капиталовите пазари са определени преди факта (ex. Ante), т.е те са предсказани. А наблюдаваните резултати се появяват след факта (ex. Past) и може да се отклоняват от предварителните очаквания. Съответно ефективните портфейли, след факта може да не са ефективни. Ако бъдещето може да се предскаже с увереност, инвеститорите ще отбягнат диверсификацията и оптималният портфейл ще съдържа активи само с най – добра възвращаемост. Но бъдещето не може да се предвиди с точност и затова оценки “ex. Ante” (преди факта) трябва да се правят. Отсъствието на сигурност мотивира прилагането на теорията на портфейла и теорията на капиталовите пазари.

 

5.2. Линия на пазарните активи 

П
о определение, рискът (несигурността) се измерва със стандартното отклонение на нормата на възвращаемост. При равновесие съществува единствена зависимост между средната възвращаемост и риска, който се отнася за ефективните портфейли. За неефективните портфейли тази зависимост не е в сила и затова се използват други параметри на риска.

 На фиг.5.3 е показана типична равновесна ситуация на пазара. Линията pMZ е линия на капиталовия пазар CML. В т. М е отбелязан пазарният портфейл. В т.i е отбелязано мястото на произволен актив (ценни книги), който лежи по линия на капиталовия пазар CML, като се отчита факта, че инвестицията само в i – та ценна книга е неефективна. Анализът освен за i ще се отнася и за всеки друг актив.

Разглежда се случая на разделяне на средствата за инвестиция между:

1. 
   портфейл съдържащ само i -ти активи;
   
2. 
   пазарният портфейл М.
   

Условието за пълнота на инвестицията изисква да се изпълнява равенството

Новият портфейл е означен с Z. Характеристиките му са

 

E_z = X_iE₁ +X_ME_M; _z²= X_i²_i²+X_M²_M²+2X_iX_MiMIM,

където E_i – средна стойност на дохода от актив i,

В зависимост от пропорциите, инвестирани в i и М, портфейл Z ще се намира по кривата свързваща i и М или кривата iМ. Наклонът на кривата ще зависи от корелационния коефициент _iM между R_i и R_M. Наклонът на тази крива в т.М представлява интерес в теорията на капиталовите пазари и е равна на:

S_M = ,

където С_iM е ковариацията

По долу се доказва, че в т.М кривата iM трябва да е допирателна (тангираща) на линия на капиталовия пазар CML.

Ф
иг. 5.4. Линията на капиталовия пазар е допирателна на кривата iM в т. М

 При анализ на случая фиг.5.4 а) кривата iM в точка М има по-малък ъглов коефициент и кривата е по полегата. Следователно поне една комбинация от портфейлите i и М, например Z^* e по-добра и съответно Z^* е по-добър портфейл поне от един ефективен портфейл, лежащ на линия на капиталовия пазар CML, например портфейл Y^*. Но за всички ефективни портфейли се изисква да лежат на линията на капиталовия пазар CML. Следователно в случая на фиг. 5.4 а) не отразява равновесно състояние на пазара.

За случая на фиг.4.5 б), кривата iM е по наклонена от линия на капиталовия пазар CML. В т.М се изпълнява X_i=0, X_M=1 и следователно т.М е ефективния портфейл. Но ако се разрешат отрицателни стойности на Xi, тогава отново поне един портфейл Z^*, ще е по-добър от някой ефективен портфейл Y^*. Но този резултат не е в съответствие с условията за равновесие и повтаря противоречието за случая на фиг.5.4 а).

Само ситуацията на фиг.5.4в) може да се получи в равновесие. Кривата iM трябва да бъде тангираща към линия на капиталовия пазар CML в т.М. Съответно наклоните на линия на капиталовите пазари и наклонът на допирателната в т.М към кривата iМ трябва да са еднакви. Следователно отношенията между дохода и риска за i-ти портфейл и за пазарния портфейл трябва да са еднакви, т.е коефициентите на двете линии трябва да са еднакви.

Следователно SM = re.

Уравнението на линия на капиталовия пазар СML е

където re=.

Следователно трябва да се изпълни равенството

След обработка се получава

Тази зависимост определя връзката между характеристиките на пазарния портфейл и характеристиките на произволен актив i. Изразът определя уравнението на линията на пазарните активи SML в равнината E_I ( C_iM ). В лявата страна на уравнението на линията изразът E_i – p е добавката за поемане на риск. От дясната страна на израза участват само характеристики на пазара в доходността на портфейла и корелацията между актив i и пазара М.

При равновесие, всички индивидуални активи ще се намират върху правата на линията на пазарните актив SML. Това е права линия в пространството E_i=(C_iM), фиг.5.5

Ф

Еi

ЕM

p

M2

CiM

M

1

2

иг. 5.5. Линия на пазарните активи SML

 Уравнението на линия на пазарните активи SML може да се запише

Коефициентът rs има съдържание на цената за намаляване на риска на актив i . Анализът на разликите в наклоните на линия на капиталовия пазар CML и линия на пазарните активи SML е следният.

Уравнението на CML е:

, където .

Уравнението на SML е:

Двата коефициента re и rs са свързани, но се различават по вид. Зависимостта на линията на пазарните активи, фиг.5.5 се отнася за отделните активи i и за всеки актив i се чертае отделна графика. Това се отнася и за всяка комбинация от активи, съставящи ефективни или не портфейли. За случая на активи 1 и 2, чиито характеристики са показани на фиг.5.5 съставяме портфейл Z. Следователно неговата средна доходност е:

Доказва се, че ковариацията между възвращаемостта на портфейл Z и тази на пазара се определя от израза:

В зависимост от избраните пропорции Х₁ и Х₂, доходът на портфейл Z ще се намира по линията между 1 и 2, т.е. той ще лежи на линия на пазарните активи SML. Следователно при равновесие, всеки портфейл и актив ще се намират върху линия на пазарните активи SML.

Пазарния портфейл има ковариация към самият себе си както следва: . На фиг.5.5 е показано място на пазарният портфейл т.М. Съответно наклонът на линия на пазарните активи SML в т.М е:

Изводи:

1. 
   За ефективните портфейли, рискът се измерва със стандартното отклонение _p, и всички такива портфейли ще лежат на линия на капиталовите пазари СML, съответстваща на параметрите Е_р и _p.
   
2. 
   За индивидуални активи, съответната характеристика на риска е корелацията C_iM и ефективните портфейли ще лежат на линия на пазарните активи SML, която зависи от параметрите Е_i и C_iM.
   

Тази линия е наречена характеристична линия (НL), на актив i . HL=R_i(R_M). Характеристичната линия трябва да отчита, че когато R_M приеме своята средна стойност Е_М, то и R_i трябва да приеме своята средна стойност E_i,

aко R_M = E_M, то R_I = E_i.

При Е_М=0, то Е_i=p, т.е инвестицията се състои в даване на безрисков заем при пазарна лихва р. Следователно това дава една точка от линията НL. Необходимо е да се определи наклонът на HL.

Ако се разглеждат само точките върху линията, то ковариацията ще е

,

където P_r(R_M) е вероятността пазарният портфейл да има стойност R_M. Търси се, линейна зависимост между R_i и R_M или

където a_i и b_i трябва да се определят.

Тъй като за стойност Е_м, търсената зависимост трябва да определя Е_i., то в сила е равенството

.

След заместване на Е_i и R_i в C_iM се получава

където

Следователно зависимостта между C_iM, bi и _М е

Коефициента b_i определя наклонът на характеристичната линия HL на i-ти актив. Той измерва отношението между корелационната зависимост C_iM между i -ти актив и пазарния портфейл към дисперсията на пазара. Различните стойности на b_i дават различни наклони на характеристичната линия HL, фиг.5.7.

 

Фиг. 5.7. Наклони на характеристичната линия НL 

Актив или ценна книга със стойност b_i <1 се нарича “дефанзивна”. Нарастък с 1% на пазарната доходност R_M води до увеличаване на R_i с по-малко от 1%. Обратно, 1% намаление на пазарната доходност R_M вероятно ще доведе до по-малко от 1% намаление доходността R_i на ценна книга i. Така инвеститорът е “запазен” срещу влошаването на пазара.

Актив или ценни книги със b_i >1 e “агресивен”. Намаляването с 1% на пазарната доходност R_M намалява повече доходността Ri на актив i. Обратно, увеличението на пазара R_M ще доведе до по-силно увеличение на доходността Ri на актив i.

В случай на два актива, портфейл Z, съставен от тях ще има ковариационна стойност спрямо пазара, както следва.

C_ZM = X₁C_1M + X₂C_2M

или в термините на стандартното отклонение и b

или

След делене на се получава

Следователно дисперсията b_z на портфейла Z е сума от относителните

дисперсии b₁ и b₂ на съставящите активи, съгласно тяхната тежест и

участие Х₁ и Х₂. Съответно, ако има N активи за портфейл Z дисперсията е

Tъй като и линия на пазарните активи SML представя зависимостите в равнината Е_i(C_iM) то линия на пазарните активи SML може да се изрази в равнината E_i(b_i)

Графиката на фиг.5.8, показва линия на пазарните активи SML в равнината E_i(b_i). Аналитичното представяне на линията SML е следното

Ако актив i не е корелиран с пазара, то C_iM=0 и b_i=0. Тогава се получава точка E_I = p, което е началната точка върху ординатната ос.

Ако доходността от i-ти актив или портфейл е равен на доходността на пазара, то E_i = E_M, и следователно и b_i=1. Това е втората точка, М, на линията на пазарните активи в равнината E_i(b_i).

Следователно уравнението на линия на пазарните активи SML в термините на E_i(b_i) изразено чрез точки р и М става

SML

или .

Извод: “надбавката” (Е_i – p) за поемане на риск е пропорционална на риска изразен чрез дисперсията b_i. Линия на пазарните активи SML показва зависимостта между средната стойност на дохода Е_i и дисперсията b_i .

Особеностите на линия на пазарните активи SML и характеристичната линия HL са следните.

Линия на пазарните активи SML се представя в равнините

а) E_I (C_iM)

или

б) E_i(b_i).

Следователно HL може да се опише в термините на Е_i и b_i. или

където .

Линията SML има уравнение

.

Замества се SML в HL или

След преобразуване се получава:

Тази зависимост показва, че когато доходът от пазара е равен на основната лихва, доходът R_i от актив i ще е равен също на основната пазарна лихва, R_i = p. Това е валидно за всеки актив или портфейл, тъй като i е избрано произволно.

На фиг.5.9 е показано, че всеки актив или портфейл i, може да се изрази с характеристичната линия HL. Тези линии ще преминават през точката (р,р). Колкото по-голяма е дисперсията b_i, толкова по-стръмна е линията.

Случаят с b = -0,5 е особен. Линията показва, че доходът от нея е под основната лихва. Кой инвеститор ще иска такъв актив? Разбира се никой. Полезността от нея обаче се установява в рамките на цял портфейл. Чрез добавянето и в общия портфейл, вследствие на малкото стойност на b_i се намалява общия риск на портфейла.

 

Фиг. 5.9. Пространство на характеристичната линия HL 

Характеристичната линия HL е една апроксимизация между истинската зависимост R_i и R_M. Точките извън тази линия също са възможни. Две са основните източници на неизвестност за реалния доход R_I:

а) актуалната стойност на дохода от пазара R_M е несигурна и неизвестна стойност;

б) разликата между R_i и линията HL също е неизвестен, което определя дали реалната R_i ще лежи върху линията HL;

Условието а) се нарича систематичен риск.

Условието б) се нарича несистематичен риск.

Ако са достъпни само точките от линията HL, то единствено систематичния риск ще определя неопределеността. Ковариацията C_iM ще бъде

Следователно систематичния риск на актив i е

Той се определя от разликата между общия риск и систематичния, като се използува дисперсията

където

Този израз важи не само за актив i, но и за портфейл р.

Всички ефективни портфейли се нанасят на линията на капиталовия пазар CML. Това означава, че нормите им на възвращаемост са корелирани помежду си. Тъй като пазарния портфейл е ефективен, то и всички ефективни портфейли са корелирани с пазарния портфейл, т.е с R_M. Но ако R_i е корелирано с R_M, то характеристичната линия HL на този портфейл напълно ще представлява и линията на капиталовия пазар.

Следователно систематичният риск: е източник на неизвестност само за нормата на възвращаемост на неефективен портфейл или

ефективният портфейл няма несистематичен риск

и обратното

  

Фиг. 5.10. Линия на капиталовия пазар

На фиг.5.10 е показана линия на капиталовия пазар CML като е добавена и абсцисна ос за b_р . По протежение на СМL портфейлите са ефективни. За неефективните портфейли ще има по-малко стойност на b_р , тъй като се включва и несистематичния риск, който увеличава общия риск в цялост.

Линията на капиталовия пазар CML и линията на пазарните активи SML отразяват условията на равновесие на пазара. Ако равновесие няма, ще се появят въздействия за да се постигне такова равновесие. Но ако има постигнато равновесие възниква въпроса дали то е единствено.

Икономистите искат да се докаже, че:

• 
  равновесие съществува;
  
• 
  то е единствено;
  
• 
  то е стабилно така, че всяко отклонение от него предизвиква връщане обратно в равновесно състояние.
  

където

P_i е цената на актива.

При задаване на множество цени P_i, инвестиционните предвиждания ще се определят в термина на средни стойности, стандартно отклонение, корелационни коефициенти за дохода R_i. Съответно се определят и характеристиките за общия получен доход А_i^s като

средна стойност на сумата платена за актив i, т.е средна стойност на А_i^s;

стандартно отклонение;

корелационен коефициент между А_i^s и А_j^s,

P_i – цената на закупуване на актив i;

Доказва се, че са валидни следните съотношения:

т.е Е_i и _i се отнасят за съответната норма на доходност и риск на актив i.

При зададени множества от предвиждания и цени Р_i, се определят предвижданията за нормата на дохода и риска.

.

 

Фиг. 5.11. Линия на капиталовия пазар в условие на равновесие

При зададени предвиждания на нормата на печалбата и чистата лихва, оптимална комбинация на рискови активи в портфейла може да бъде определена. Всяко множество от цени на активите съответно ще дефинира различна комбинация на рискови активи. Равновесие ще съществува ако цените имат такива стойности, че получената комбинация от активи за потребителския портфейл ще бъдат еднакви на пазарният портфейл.

При допускане, че линия на капиталовия пазар CML е в равновесие, основните взаимовръзки на ефективните портфейли ще се представят съгласно фиг.5.11. Портфейлът М, върху линия на капиталовия пазар CML е пазарният портфейл. Допускаме, че нови активи се включват в пазара. При зададена начална цена, те ще се представят в някоя точка в равнината Е_р(_p), например т. i₁. При тази цена инвеститорът няма да иска i₁, защото портфейлът включващ i₁ е под линията CML на ефективните портфейли. За да може i₁ да стане атрактивна и да се включи в състава на ефективните портфейли то очевидно цената на i₁ ще почне да намалява, като по тоя начин ще се увеличи Е_i и _i. При новата цена точката ще е i ₂. Доказва се, че новата точка i ₂ ще лежи на права АВ, свързваща i₁ и i ₂ ,фиг.5.11. Доказателството става по следния начин. Дадено е

Следователно

Този извод показва, че каквато и да е цената P_i, местонахождението на актив i,ще бъде по лъча с характеристики:

• 
  начало Е = - 1 при =0;
  
• 
  наклон .
  

Всяка цена под тази, съответстваща на i₂ ще доведе до голямо търсене на актив i. Този случай е представен като i₃. Тук i₃ е по на северозапад и е по-добър от всички други комбинации. Ще има стремеж за закупуването на i. Съответно цената ще се повишава докато i₃ започне предвижване надолу по лъча АВ.

Реалният динамичен процес при който неравновесието се превръща в равновесие е вероятно доста сложен. Съответно цените на активите също ще се променят. Процесът може да е бърз или плавен. За целите на анализа тук е достатъчно да се знае, че силите на търсене и предлагане ще действат върху цените на акциите по начин по който се постига равновесие.

Извод:

където

Линията на пазарните активи SML дава зависимостта между средната доходност и риска за отделен актив или портфейл. Линията на пазарните активи SML се определя чрез измерване на риска и се вземе в предвид съществуването и необходимостта от разпределяне и понижаване на риска (диверсификация).

Концепцията със систематичния риск определя смисъла на понятието “неизвестност, която не може да се диверсифицира (намали) повече” или

или

Характеристичната линия HL определя зависимостта между нормата на доходност на активи и портфейли към тези на пазарния портфейл, или

Портфейлът е ефективен ако неговата характеристичната линия HL обобщава всичките неизвестности, по отношение на доходността. Линията не представя точните взаимовръзки между параметрите на един ефективен портфейл. За неефективните портфейли линията HL е една апроксимация.

Съгласно теорията на капиталовите пазари в равновесие всеки инвеститор ще разпределя рисковите активи по същия начин както пазара е съставил пазарния портфейл. Инвеститорският портфейл ще бъде съставен от комбинацията на нерисков актив и пазарния портфейл. Съгласно линията СМL само ефективните портфейли ще бъдат комбинации от пазарния портфейл и безрисков актив, което е вземане или даване на заем.

В равновесие всички ефективни портфейли лежат на линия на капиталовия пазар линията CML и всички са базирани на пропорциите на рисковите активи определени от пазарния портфейл.