Глава 6. Пазар в неравновесие

 

6.1. Особености на пазарите в неравновесие 

Допусканията в теорията на капиталовите пазари са обосновани от реалните процеси на финансовите пазари, но те не винаги се изпълняват на практика. Например броят на активите в един реален портфейл никога не е толкова голям, колкото броя на активите в пазарния портфейл, а нормално съдържа ограничен брой акции.

Допускането на теорията, че има съгласие за бъдещия размер на дивиденти и приходи е силно идеализиране на реалните пазарни процеси. Всички допускания и зависимости на гл. V са изведени при изискването за равновесие на пазара. При неравновесие съществуват други зависимости, които в частност може да определят, че инвеститорът притежава различни портфейли и те да се окажат “ефективни”.

Условията на функциониране на пазара при неравновесие включва допусканията:

1. 
   Всеки инвеститор действа съгласно “собствени” предвиждания за бъдещите приходи от активите. Тези предвиждания се изразяват в термина на средна доходност, стандартно отклонение на доходността, и корелационните коефициенти от доходностите.
   
2. 
   Всеки инвеститор избира портфейл съгласно правилата за съставяне на ефективен портфейл.
   
3. 
   Всеки инвеститор може да взема и дава заеми толкова големи или малки, колкото желае при основна лихва, еднаква за вземане и даване. Лихвата е еднаква за всички инвеститори.
   

При възможност за вземане и даване на заем при еднаква лихва, всички ефективни комбинации ще лежат на линията на капиталовия пазар CML, фиг.6.1. Всеки инвеститор ще действа съгласно фиг.6.1. Портфейлът R^* е оптималната комбинация на всички рискови активи, а р е основната лихва на пазара.

Съгласно теорията на портфейла двама инвеститори няма да изберат един и същи портфейл по линията CML. Оптимистът може да предвиди по-висок приход Е_р и по-малко риск _p за своя портфейл отколкото един песимист. Хората може да оценяват и различно корелационните коефициенти между доходността на отделните ценни книги.

Следователно точките, представляващи отделните активи може да се различават, както и множеството на ефективни комбинации Е_р и _p за портфейлите на различните инвеститори.

Но всички инвеститори ще отчитат еднаква лихва р, която е известна и общоприета за целия пазар. Оптималната комбинация за инвеститорските портфейли от рискови активи ще зависи от субективните преференции на инвеститорите. Следователно за някой инвеститор оптималната комбинация, ще се окаже неефективен портфейл. Съответно пазарният портфейл може да е различен за друг инвеститор, за някои или за всички инвеститори.

Следователно всеки инвеститор ще има самостоятелна линия на капиталовия пазар CML. Всеки ще определи избора си в термините на :

1. 
   избор на оптимална комбинация на рискови активи;
   
2. 
   определяне размера на безрисковия заем.
   

При различни допускания за цените на рисковите активи и лихви, всеки инвеститор ще получи множество от алтернативи изразени подобно на фиг.6.1. В зависимост от своите преференции, инвеститорът ще избира някоя точка от своята линия на капиталовия пазар CML. Всеки инвеститор ще направи подобен анализ и ще избере свой собствен, портфейл. Резултатите за различните инвеститори ще бъдат различни, тъй като и предпоставките, прогнозите, желанията и преференциите са различни между инвеститорите.

Във всички случай ще има директна връзка между зависимостите между основната лихва, цената на активите и избираните портфейли от инвеститорите. Основната лихва и цените на активите ще доведе до равновесие ако:

• 
  размера на средствата, който инвеститорите желаещи да вземат заем е еднакъв с размера на средствата от инвеститорите даващи заеми;
  
• 
  разликата между количеството на всеки рисков актив, което инвеститорите желаят да купят и количеството на активите, които инвеститорите продават е равно на размера на капиталовите активи в действителност.
  

Едно нарастване на основната лихва ще окуражи даването на заем и ограничи вземането. Докато намаляването на основната лихва ще има обратния ефект.

Така един дисбаланс между количеството на търсени активи и количеството на предлаганите ще доведе до промяна на техните цени. Тези промени ще доведат до възстановяване на съответния баланс.

 

6.2. Активите, в условия на неравновесие 

Ако всеки инвеститор приеме характеристиките за бъдещата доходност, активът (ценни книги), може да се дефинира в термините на средна възвращаемост, стандартно отклонение и корелационни коефициенти между отделните доходности.

В условията на неравновесие е по сложно дефинирането на характеристиките на активите. Съгласно прогнозата на инвеститор 1, две доходности може да изглеждат еднакви. Но съгласно предвижданията на инвеститор 2, те може да са различни. Формално, всеки финансов инструмент и актив трябва да се разглежда като самостоятелен и единствен актив, освен ако инвеститора не приравнява по свое мнение някои активи. По този начин активът може да се оцени като единствен, различаващ се от всеки друг в очите на инвеститора.

В този анализ не се направи разлика между капиталов актив и финансов актив. Актив е просто средство за бъдещи доходи. Притежателят на активи е инвеститор. Ако активът се стимулира от друг инвеститор, това е финансов актив. Ако активът е “естествен” това е капиталов актив.Тези понятия водят до нови изрази за равновесието.

Нека Q_ij е количеството (броя на акциите) на актив i, който се владее от инвеститор j. Отрицателна стойност на Q_ij означава,че инвеститор j е емитирал и продавал акции i. С Q_ij>0 се означава броя на акциите, които инвеститор j има. Нека Q_i^A е размера на капиталовите активи от тип i достъпни за купуване и те са първоначално емитирани акции. Равновесие се постига при равенство

където

М е броят на инвеститорите.

При условие на равновесие се счита, че Q_i^A = 0.

Но и при допускането Q_i^A > 0, основните теоретични резултати не се променят. Съответно няма разлика между условията за равновесие, определени в условията на неравновесие или равновесие на пазара.

Всеки инвеститор анализира бъдещето, проверява цените и активите (ценните книги) и на основната лихва, и след това достига до състоянието на пазара, представена на фиг.6.1. Оптималната комбинация от рискови активи за отделния инвеститор е точката R^*. Този портфейл може да включва положителни количества на някои активи (ценни книги), отрицателни за други и нулеви за трети. Във всички случай инвеститорът ще комбинира такъв портфейл със вземане или даване на заеми, което е безрисков актив, за да достигне определена избрана точка на линията на капиталовия пазар CML. В условията на равновесие, всеки инвеститор достига до същия извод, съгласно оптималната комбинация на рисковите и безрискови активи. За всеки инвеститор, точката R^* трябва да бъде точка на пазарния портфейл.

Нека R_j^*представлява оптималната комбинация на рисков портфейл за инвеститор j от рискови активи. Изводите от случая на равновесие може да се пренесат и за случая на неравновесие чрез заместване на индексите М (за единствен пазарен портфейл) с R_j^* на индивидуалните инвеститори. Съответната характеристика на риска RISC е ковариацията, което е корелацията между нормите на възвращаемост (печалба) на отделните активи (или портфейли) с индивидуално оптималния пазарен портфейл R_j^*.

Алтернативно, рискът може да се изрази не като корелация, а като дисперсия

където b_ij е дисперсията на актив i , оценена от инвеститор j,

Полага се E_ij за средната стойност на възвращаемостта на актив i , определена от инвеститор j. Всеки инвеститор може да избира вида и броя на своите активи, докато всеки негов портфейл се разположи върху линията на капиталовия актив SML, както е дадено на фиг.6.2. Точка R_j^* показва дисперсията и средната доходност на оптималната комбинация на рисковите активи за инвеститор j. Това означава,че в пространството E_pi(_pi), линията на капиталовия пазар CML ще е допирателна на кривата на ефективните портфейли.

 Докато всеки инвеститор може да купува или да емитира (продава) активи и ценни книги без ограничения, всеки инвеститор j ще има своя собствена линия на капиталовия пазар CMLj и своя линия на капиталовия актив SMLj. Всички ефективни портфейли ще се намират върху линия на капиталовия актив SMLj.

По определение, всеки инвеститор отчита еднаква основна лихва. Но инвеститорите за много други неща да се различават и в частност по отношението си към оценката за риска, начинът на измерването му, размера на прихода който се”плаща” за намаляване на риска, т.е всеки инвеститор определя свои характеристики за своите портфейли при условията на неравновесие на пазара.

  

6.3. Ограничения на Портфейла 

Прието е, че всеки инвеститор е в състояние да купи толкова много или малко от всеки атрактивен актив и да продаде толкова много/малко от всеки неатрактивен актив, колкото пожелае, съгласно ограниченията на бюджета му. Това означава, че характеристиките на активите и ценните книги не се променят от количеството купувано или продадено от тях.

В реалността оценката на купувача за финансовите активи зависи от активите на продавача и неговата отговорност. Цената получена за някакъв актив (ценна книга) ще бъде типично по-висока, колкото по-малко от този актив се продава. Но цената, получена за този актив влияе на неговите характеристики, например на нормата на печалбата на съответния портфейл. Така характеристиките на активът зависят от по-големия или по-малкия обем на търгувани количества.

При отчитане на тези реални зависимости, резултатите от чистата теория може да са незадоволителни. Това най-силно се вижда при вземане на заем при безрискови активи. На практика заемането е по-скъпо от даването на заем.

Точното определяне на линията на капиталовия пазар CML се влияе от допускането, че инвеститорът може да дава и взема заем без ограничения при еднаква лихва. В реалността, това не е така и някой обикновено плаща повече, колкото по-голям заем взема.

 На фиг.6.3 е показан опростен случай при, който инвеститорът може да даде заем при лихва р₁, но трябва да вземе заем при по-голяма лихва р₂. Ефективната комбинация от Е_р (_p) се намира върху кривата р₁R_e^*R_b^*х. Портфейл R_e^* е оптималната комбинация на рискови активи и ако инвеститорските преференции (избор) го карат да дава заеми, то инвеститорският портфейл ще се избира от портфейлите по линията p₁R_e^*. Портфейл R_e^* е оптималната комбинация ако преференциите на инвеститора го карат да взема заеми. Съответно инвеститорския портфейл ще се избира по линията R_b^*х. Ако обаче изборът на инвеститора е да не работи със заеми, оптималната крива е R_e^*R_b^*.

По-голяма правдоподобност може да се получи чрез ограничаване размера на получавания заем като той може да се отпусне за по голяма лихва р₂. Ако се изисква по-голям заем, лихвата р₂ ще нараства. Следователно промяната на допускането за еднаква лихва за заемите променя картината на ефективните портфейли. Линията на капиталовия пазар CML вече не съществува като права линия. Тя става крива линия съставена от определени отсечки. С нарастването на риска_p тя става все по полегата (хоризонтална). Въпреки това, не съществува единствена оптимална комбинация от рискови активи. Преференциалната комбинация за отделния инвеститор зависи от инвеститорския избор и субективни решения.

Промяната на линията на капиталовите пазари CML води до промяна и на съответната линия на капиталовите активи SML. Следователно в условията на неравновесие, теорията на портфейла става по “неточна” и се влияе от характеристиките на отделния инвеститор.

 

6.4. Изводи

Като правило в теорията, колкото по реалистичен е модела, толкова по общи са допусканията. Но колкото повече теорията обяснява, толкова по-малка е практическата ценност от общите обяснения.

Теорията за равновесното състояние е достатъчно мощна. Но някои от допусканията не съответстват напълно на действителността. Обратно в условията на неравновесие, много неща се обясняват, но нямат практическа приложимост.

Следователно допускането за еднаквата лихва за взет и получен заем е значимо, тъй като позволява да се изведе точен модел. Допускането може да не е напълно реалистично, но може да се оцени реалната действителност по този, апроксимиращ модел.

Следователно практическите приложения на теорията може да се посочат в две посоки;

• 
  използуването на “неправилното” допускане за равенство на лихвата при вземане и даване на заем позволява да се получат приблизителни решения;
  
• 
  неизползването на това допускане ще предпази инвеститора от грешни решения.
  

При допускането за равновесие на пазара, всеки инвеститор прилага една обща линия CML и една и съща линия SML. Има общо измерване на риска и цената на риска. Пазарният портфейл е оптимална комбинация от рискови активи, общи за всички инвеститори. Дисперсията е общо дефинирана в термините на пазарния портфейл.

При неравновесие на пазара, само основната лихва е обща за инвеститорите. Всичко друго е субективно определено. Инвеститорите нямат единно мнение за бъдещето. Но много хора инвестират индиректно в пенсионните фондове, взаимни фондове, социални фондове. Това са институции, които избират високо диверсифицирани портфейли с доходи силно корелирани с пазара като цяло. Активите на много инвеститори са съставени съгласно допусканията и препоръките на теорията на капиталовите пазари в условията на равновесие.

Независимо от силните ограничения, моделът на пазара при равновесие обяснява много от явленията в реалния свят.

Алтернативата, модели основани на неравновесие имат малка практическа стойност. Но те дават мотивация за усложнения на нормативните модели за да се прилагат по-сложни портфейли и анализиращи методи.

Приложението на сложни математически методи не винаги е оправдано, освен ако не се “гарантира” и оправдава висока бъдеща доходност. Затова “простите” методи с успех може да се прилагат и в условията на неравновесие.

За да се моделира капиталовия пазар в цялост и да се определи чувствителността на портфейлните процедури, за потребител без достатъчно информация е препоръчително прилагането на моделите на пазара при равновесие. В противен случай, той може да вложи много труд и средства и да не получи задоволителни резултати.

Инвеститор, който не може да определи неефективните ценни книги трябва да диверсифицира силно портфейла си.

В заключение, икономисти, интересуващи се от състоянието на капиталовия пазар може да предпочетат предположението за равновесие, заради по бързите резултати, които се получават при анализа на портфейла.

Инвеститори, надяващи се да печелят от удачни предвиждания, могат да не използват моделите в равновесие, а да развиват сложни динамични модели отразяващи динамиката на пазара на ценни книги.

 

Глава 7. Индексни модели 

 

7.1. Необходимост от индексните модели 

Опростени модели на зависимостите между нормите на възвращаемостите на ценните книги може да доведе до значително намаляване на усилията, необходими за подготовка и обработка на данните за портфейлния анализ. За да се избере ефективен портфейл от множеството на N ценни книги е необходимо да се направи следното.

Първо: да се определи средната норма на възвращаемост на всяка ценна книга;

Второ: да се определи стандартното отклонение (рискът) на всяка ценна книга.

Това води до определянето на 2N броя характеристики (числа). Допълнително се изисква да се определят корелационните зависимостите между нормите на възвращаемост на различните ценни книги. Това е корелационната матрица ,

Тази матрица има N.N=N² компоненти. Всички стойности по диагонала са 1. Следователно остават за определяне N² – N коефициенти. Но матрицата е симетрична и. Следователно само половината от N² – N на брой коефициенти трябва да се определят или

При 100 броя ценни книги корелационната матрица има коефициенти, които трябва да се изчислят. При 500 броя ценни книги, то коефициентите на корелационната матрица са . Малко икономически анализатори биха били в състояние да определят толкова много различни коефициенти. Практически финансовия анализатор на портфейл разглеждат около 50 или 60 ценни книги.

Следователно необходимостта от намиране на някаква по проста зависимост между характеристиките на ценните книги е очевидна и целесъобразна. Такъв подход е удачен при портфейлен анализ защото ще намали обема на изчисленията.

 

7.2. Единичен индексен модел (ЕИМ)  

Приема се, че доходността зависи по-силно или по-слабо от стойностите на един или повече индекси. Тогава зависимостите между характеристиките на ценните книги се изразяват чрез тези индекси. Относително прости, но практически приложими модели използват различни индекси, които отразяват нивата на:

• 
  Брутния вътрешен продукт;
  

• 
  Dow Jones Index за цените на 30 индустриални компании;
  

• 
  NASDAQUE индекс за състоянието на 500 компании;
  

• 
  Индексът на стокова борса в New York .
  

където R_i е текущия доход от актив i ;

Нито I нито C_i може да се предскажат със сигурност. Средната стойност и стандартното отклонение служат за оценка на прогнозната доходност. Приема се, че средната стойност на променливата C_i е нула, C_i=0, така че само рискът на C_i се прогнозира и се определя стандартното отклонение, _ci на C_i. Разглеждат се следните случаи:

Текущата стойност на C_i е разликата между реалната стойност R_i и най-добрата оценка получена с индекса I.

 На фиг.7.1 е показана зависимостта

Другата интерпретация на коефициента C_i е представена на фиг.7.2. Линейната зависимост дава най-добрата оценка на R_i при зададено I. Стойността на _ci показва рискът, свързан с ценните книги, дължащ се на непредсказуемостта на стойността на индекса.

Средната стойност на дохода е стойността, определена от линейната зависимост

,

когато индексът I има своята средна стойност E_I .

Очевидно E_i ще стане известно ако a_i b_i E_i са известни. Алтернативно a_i може да се определи ако другите величини са известни. Обикновено е по-важно да се знае , отколкото . Следователно пълното и полезното описание на свойствата на ценните книги ще включва:

1. 
   - средната стойност на доходността на ценна книга i ;
   
2. 
   - чувствителността на доходността към промяната на индекса I ;
   
3. 
   _ci - рискът свързан с индекса.
   

• 
  Счита се, че стойността на I не изменя стойността на _ci;
  

• 
  корелацията между I и C_i е нула;
  

• 
  нормите на възвращаемост на два актива помежду си са зависими само от стойността на индекса I;
  

• 
  корелацията между Ci и Cj за два различни актива е равна на нула.
  

Разбира се реалната доходност на портфейла е също такава сума

Тъй като е прието при едноиндексните модели линейна зависимост между реалната доходност Ri и стойността на индекса I

то

или

За определяне на стандартното отклонение на R_p се вземат компонентите, които са вероятностни, т.е. само I и C_i . Тъй като коефициентите , i=1,N са детерминирани те не влияят на стандартното отклонение. След пренареждане изразът за доходността на портфейла е:

Изразът в скобите става известен, когато портфейла е определен и величините са избрани. Тази зависимост показва промяната на доходността на портфейла R_p спрямо промените на индексът I.

Полага се Следователно вероятностните компоненти в R_p са:

За да се намери дисперсията на доходността R_p на портфейла трябва да се сумират отделните дисперсии плюс два пъти влиянието на корелационните зависимости умножени по съответните двойки стандартни отклонения. За този опростен модел се приема, че:

Интерпретацията на този израз е следната. Последните N компоненти представляват характеристиките на N-те ценни книги (активи). Първата компонента отразяват риска поради зависимостта на активите от индекса I.

Този подход се използва за опростяване на задачата за намиране на ефективните портфейли. Приема се, че изразът e една променлива добавена допълнително. Съответно в изразът за дисперсията има само N+1 компоненти, което е по малко от класическото изчисление на риска. Това може да позволи значително намаляване на изчисленията при анализиране на портфейла.

 

7.3. Многоиндексен модел (МИМ) 

В много случаи за инвеститора може да не е допустимо приемането, че активите са свързани чрез общ индекс. Затова трябва да се оценят корелационните коефициенти. Компромис може да се постигне с използуването на модел с повече индекси. Допуска се, че съществуват М индекса: , които влияят на доходността от актив i. Реалният доход от актив i се приема, че е линейна комбинация от индексите:

където е средна стойност на индекс I_j.

Ако се определя директно, то Е_I1 не могат да се използват директно при портфейлния анализ. Анализът за определяне на минималното множество от стойности, необходимо за портфейлен анализ, базиран на модел с М индекси показва следното.

1. За всеки oт М броя индекси j=1, М, трябва да се определи

2. За всеки от N-те актива, i=1, N, трябва да се определи

Доходът от портфейла е претеглената сума

След заместване на се получава .

След обработване на израза се получава:



+

. . .

Полага се

Тъй като компонентите X₁a₁ са детерминирани, те не оказват влияние на изчислението на _p.

Допуска се частният случай, че тези компоненти не са корелирани или

• 
  корелацията между C_i и C_j е 0 за всяка двойка активи, i,j=1,N,
  

• 
  корелацията между I_j и C_i е 0 за всяка двойка индекс j=1,M и активи i=1,N,
  

• 
  корелацията между индекси I_k и Ij е 0 за всяка двойка индекси, k, j=1,M
  

Изразите отразяват рискът свързан със актив i. Първите компоненти на израза b²² отразяват риска, свързан между активите i=1,N и индексите j=1,M.

Многоиндексният модел може лесно да се прилага чрез добавяне на М променливи и М ограничения към задачата на портфейлния анализ. Ограниченията са от вида:

Големия брой индекси М повишава размерността на задачата. Полезността на многоиндексния модел произтича от прилагането на изведения аналитичен израз за дисперсията _p.

При допусканията за липса на корелация между I и C_i , дисперсията съдържа N+M изрази. Това позволява да се намали обема на изчисленията при оценяване на _p. Допускането че C_i са некорелирани помежду си е реалистично и допустимо за практиката. Аналогично в практиката се изпълнява и условието за некорелираност между C_i и I. Но допускането за некорелираност на отделните индекси по между си I не изглежда допустимо. Например някой индекс отчита достигнато ниво на икономиката, докато друг вид индекс отчита някоя част от икономиката. Обикновено секторите в икономиката си влияят и са взаимосвързани. Затова съществува обективна зависимост и корелация между стойностите на отделните индекси на I.

За да се отрази наличието на връзки между отделните индекси в многоиндексния модел може да се допуснат допълнително други ограничения.

Например: I₁ – отразява състоянието в сектор на икономиката;

I₂ – отразява цялата икономика;

Следователно многоиндексния модел ще дефинира зависимостта:

Прави се допускането, че I₁ линейно зависи от I₂ и следователно

,

където са константи,

След заместване в R_i се получава

Първата компонента е константа.

Втората компонента отразява влиянието на индекс I₂ върху R_i, където директното влияние на индекса се определя от b_i2, а индиректното чрез .

Изразът показва ефекта на отклоненията на I₁ от прогнозирана зависимост между I₁ и I₂.

Компонентата C_i отчита риска на самата ценна книга i.

Чрез аналогични замествания, доходът на портфейла е:

Прилагайки означенията

се получава по простия израз:

За определяне на стандартното отклонение на портфейла _p, се вземат в предвид само компонентите на . При допускане за некорелация между тях се получава:

По този начин не се отчита директно влиянието на индекса I₁. Той е представен като компонента на I₂. Отчитането на риска на I₁ става единствено чрез .

Тук бе прието, че индекс I₁ е ниво на индустрията в определена област, която зависи от нивото на общата индустрия I₂. Но I₁ може да се дефинира и като разлика между сектори в икономиката. Например разглежда се модела:

където са константи,

C_i - вероятностна променлива със средна стойност =0.

Приема се, че I₁^* и I₂ са некорелирани. Това е случай на модел с два индекса, които са със следните означения.

Избягването на корелация между индексите става чрез дефинирането и преподреждането им като разлика между две линейни зависимости.

Дадена е зависимостта

където R_i е реалната доходност на ценна книга i ;

При допускането, че C_i, i=1,N са некорелирани помежду си и поотделно с големината на индекса I, рискът на портфейла е:

Разглежда се добре диверсифициран портфейл, например съдържащ n броя ценни книги, с еднаква доларова стойност или

За простота се приема, че портфейл от N акции съдържа първо ненулевите компоненти

Тъй като ценните книги не са включени в портфейлa, то риска е

където .

Анализира се компонентата на риска

Тъй като всички стойности са еднакви то изразът става

Изразът в скобите е средна стойност на дисперсията на портфейл, а като цяло тази стойност е разделена с .

Следователно ако 20 ценни книги се държат в еднакви доларови обеми, т.е. n=20, то тогава портфейлния риск ще бъде , или 5% от съответната средна стойност на дисперсията на неговите съставящи компоненти. Това е известният резултат от диверсификацията, който намаляват риска поради некорелираност на вероятностните величини.

За добре диверсифицируеми портфейли може да се приеме, че сумата

клони към нула и риска на портфейла е

т.е. портфейлният риск зависи само от рисковите характеристики на индекса I.

 

n

Фиг. 7.3. Оценка на риска на портфейла при увеличаване броя на съставящите го акции 

На фиг.7.3 е показана точността на апроксимацията на риска на портфейла. Хоризонталната ос на фиг.7.3 представлява броя на ценните книги в портфейл, при което се приема че количествата за всяка ценна книга са равни помежду си. Ординатата е стандартното отклонение _р на портфейла.

Обикновено риска се измерва в относителни единици спрямо перфектно диверсифициран портфейл , което е портфейл с безкрайно много акции. Вижда се, че ефекта на диверсификация се получава при портфейл с неголям брой акции, при който се намалява риска.

Разбира се може да се сложат допълнителни ограничения за количеството Х_i за i-та ценни книги. Например . Тези ограничения целят да няма преинвестиране в някои условно добри, а в последствие оказали се губещи ценни книги.

Извод: Ако едноиндексния модел изглежда удачен и се заложат строги граници за размера на ценните книги, тогава стойността на коефициента b_p ще отразява влиянието на I и ще служи като мярка за големината на риска на портфейла. Така задачата за анализ на портфейла се опростява до оценки на:

• 
  Е_i - средната доходност на активi;
  
• 
  b_i - чувствителността на доходност i за една единица изменение на индекса I.
  

След като анализът е привършен, някои оценки на дисперсията ще са необходими за да оценяват алтернативните стойности на коефициентите b_p. Но за да се намери множеството на ефективните портфейли са необходими само стойностите на E_i и b_i.

На фиг.7.4 е показана типична крива на областта на допустимите комбинации Е_р и b_р . Ефективните комбинации лежат по горната лява граница на областта. Тази област показват максималната стойност на Е_р за съответно b_р .

При то Z = Е_р и условието maxZ означава, че се търси оптимален портфейл, който носи максимален доход. На фиг.7.5 а) е показан случая на търсене на максимален доход от портфейл а. Колкото линиите E_p(b_p) са по-високо, толкова Z е по-голямо.

При най-дясната точка на кривата E_p(b_p) е решението на задачата за търсене на максимален доход от портфейл.

При Е_р и b_p имат еднакво тегло и Z са линии с наклон. В този случай най-добрата точка е върху границата на областта съгласно фиг.7.5 б.

Случаят на фиг.7.5 в е при стойност . За избора на оптимален портфейл в този случай е важен само рискът b_p. Тъй като се търси max[Z= - b_p ], то задачата за максимизация е еквивалентна на задачата за търсене на минимум min [b_p] заради знака минус. При този случай най-лявата точка е решение на задачата за оптимален портфейл. Смисъла на е, че показва относителната важност на риска спрямо дохода. За да се намери цялото множество на ефективни портфейли трябва да се решава задачата за всички стойности на в диапазона [0,-1].

В тази задача за портфейлна оптимизация ограниченията са линейни и целевата функция Z също е линейна, където е избран компонентата b_p да измерва риска. Това означава, че за някои стойности на параметъра , оптималния портфейл е един и същ, докато за други , може да има множество от различни портфейли. Например за фиг.7.6 при , портфейл а е оптимален. При , портфейл а ще е оптимален. Но при увеличаване на , портфейл а и портфейл b и всички точки между тях са също оптимални решения. С нараства на , оптималното решение е само портфейл b. При нараснало до , отново само портфейл b е оптимален.

Решението на тази оптимална задача може да стане и аналитично. Например при зададена целева функция на избора

се заместват в нея изразите за Е_р и b_p и се получава:

След прегрупиране се получава:

За опростяване на изразите се полага или

За всяка зададена стойност на изразът за ,i=1,N се изчислява за всяка ценна книга. При отсъствие на ограничения за размера на ценната книга , оптималният портфейл ще съдържа само тези ценни книги, чиито е най-голямо. При наличие на ограничения , решението ще включи максимумът от допустими за ценните книги (активи) с най-голямо , след това максимумът от следваща атрактивна ценна книга, която има второ по-големина Z_j и т.н. до изчерпване на общата сума на средствата за инвестиране .

Опростен случай се получава, когато всички активи имат еднаква допустима стойност, например при n=20 ограниченията за задачата за портфейлна оптимизация са

При зададена стойност на , решението на тази задача ще съдържа 20 от най-атрактивните ценни книги от общо N, като всяка има размерност = 0,05 i=1,N, където n<N. В общия случай, за да се максимизира Z при зададено и наличие на ограничения , алгоритъмът за оптимация е :

1. 
   Изчислява се i=1, N.
   
2. 
   Избират се n ценни книги с най-големи Z_i , което определя състава на оптималния портфейл.
   

На фиг.7.7 е илюстриран случая на портфейлна оптимизация при N=5; n=2. Решението се получава с малки изчисления. Ефективната линия за портфейла е тази, която се получава под n-1 от най горната линия. За конкретния случай n-1=1 и следователно всяка втора крива от горе на долу дава съставката на ефективното решение. За фиг.7.7 ефективната линия е представена с по черна линия.

Графичното решаване на големи задачи е практически нецелесъобразно. Решаването става с компютър , като се дефинира и решава задача на линейно програмиране и се отчитат ограничения за долна и горна граница на решенията X_i, i=1,N.

 Изводи: Индексните модели дават резултати близки до тези, получени при пазар в равновесие. Инвеститорите са в състояние да вземат и дават заеми при еднакви условия. При такива условия ефективните портфейли са перфектно корелирани едни с други и съответната мярка за риска е дисперсията на портфейла. Тези изводи са точни за едноиндексните модели. За да се получи ефективен портфейл, инвеститорът трябва да инвестира само в някои пазарни активи, а не във всички, при което се получава ефект на диверсификация (намаляване) на общия риск на портфейла.