С т у д е н т и. Линейна алгебра. Скалари и вектори

1.Изчислете смесеното произведение на векторите:

а) и ; б) и .

в) и .
2. Компланарни ли са векторите:

а) ; б) ?

3. Изчислете обема на паралелепипеда, построен върху векторите:

а) ;

б) ;

в) .

4. Изчислете обема на тетраедъра :

а) ; б) .

5. Докажете, че точките и лежат в една равнина.

6. Векторите и са взаимно перпендикулярни и . Да се пресметне .

7. Да се докаже, че .

8. Върховете на тетраедър са точките и . Изчислете дължината на височината, прекарана през върха .

9. Тетраедърът има обем , а три негови върха са точките и . Намерете координатите на четвъртия връх , ако е известно, че той лежи на апликатната ос.

10. Тетраедърът има обем , а три негови върха са точките и . Намерете координатите на четвъртия връх , ако е известно, че той лежи на абсцисната ос.

1.а) ; б) ; в) ; 2.а) да; б) не; 3.а) ; б) ; в) ; 4.а) ; б) ; 5. за доказване; 6. ; 7. за доказване; 8. ; 9. ; 10. .

Криви от втора степен.

Криви от втора степен в равнината се наричат линии, които аналитично се определят с уравнение от втора степен спрямо текущите координати и .
І. ОКРЪЖНОСТ.
Окръжността е геометрично място на точки в равнината, равноотдалечени от дадена точка от същата равнина.( фиг. № 2.17 ).

Точката се нарича център, а разстоянието от центъра до произволна точка от окръжността- радиус на окръжността.

Ако в равнината е зададена декартовата координатна система , то окръжността с център и радиус има следното уравнение:

. Това уравнение се нарича нормално уравнение на окръжността. То е от втора степен спрямо текущите координати и .

Общото уравнение от втора степен спрямо текущите координати и е:

Частни случаи:

Окръжност с център върху абсцисната ос има уравнение , т.е. .

Окръжност с център върху ординатната ос има уравнение , т.е. .

Окръжност, която се допира да двете координатни оси има уравнение:

.

Окръжност, която минава през координатното начало има уравнение:

Окръжност с център в координатното начало има уравнение: .

Това уравнение на окръжност се нарича централно или канонично.

Ако в равнината е зададена полярна координатна система и са полярните координати на центъра , а са текущите координати на точка от окръжността, то уравнението на окръжността е: , където е нейният радиус.

В частност, окръжност с център в полюса, има уравнение .

Взаимните положения на дадена точка и дадена окръжност се определят от разстоянието между точката и центъра на окръжността.

Ако , точката лежи вътре в окръжността.

Ако , точката лежи на окръжността.

Ако , точката лежи вън от окръжността.

Взаимните положения на права и окръжност с център и радиус се определя от от разстоянието: от центъра до правата.

Ако , правата е секуща и има две общи точки с окръжността.

Ако , правата е допирателна и има една обща точка с окръжностт

Ако , правата минава вън от окръжността и няма обща точка с нея.

Общите точки на права и окръжност се намират чрез решаване на система от уравненията на правата и окръжностт

Уравнението на допирателната в дадена точка към окръжността е: .
Пример№ 1: Да се напише уравнение на окръжност с център точката и радиус .

Решение: По формулата при и се получава или .

Пример № 2: Да се напише уравнение на окръжност, минаваща през началото на координатната система и с център точката .

Решение: Радиуса на окръжността намираме като използваме разстоянието между точка и координатното начало: . Тогава уравнението на окръжността е .

Пример № 3: Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до правата и центърът и е координатното начало.

Решение: Радиусът на търсената окръжност намираме като разстояние от центъра до дадената права: . Уравнението на окръжността е .

Пример № 4: Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до координатните оси и до правата .

Решение: Означаваме с център на търсената окръжност. От условието за допиране до координатните оси следва, че или или ( центърът е върху ъглополовящите на квадрантите ). Ще разгледаме само случая, когато е в първи квадрант, т.е. . Изразяваме условието за допиране ( разстоянието от центъра на окръжността до правата е равно на ):

Пример № 5: дДа се напише уравнението на окръжност, която минава през точките и , с център върху абсцисната ос.

Решение: Центърът на търсената окръжност лежи на абсцисната ос и следователно , т.е. . Точка лежи на симетралата на отсечката . Уравнението на симетралата търсим във вида . Понеже средата на отсечката е с координати , а ъгловият коефициент на правата е , то ъгловият коефициент на симетралата е . Уравнението на симетралата е . Като заместим текущите координати и съответно с координатите на центъра , получаваме , т.е. . Радиусът на търсената окръжност е дължината на отсечката ( или ). Оттук намираме . Следователно е уравнението на търсената окръжност.

Друго възможно решение е да се определят и от системата:

1.Приведете в нормален вид уравнението на следните окръжности:

а) ; б) ; в)

2. Да се изследва кои от следните уравнения задават окръжност:

а) ; б) ; в) .

3. Как се преобразува уравнението на окръжността , ако координатното начало се премести в центъра и.

4. Намерете пресечната точка на всяка от окръжностите:

а) ; б) ; в) с координатните оси.

5.Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до абсцисната ос в координатното начало и пресича ординатната ос в точка .

6. Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до ординатната ос в точка и има радиус.

7. Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до координатните оси и минава през точка .

8. Да се напише уравнение на окръжност, която се допира до абсцисната ос в точката и отсича от ординатната ос хорда с дължина .

9. Да се намери центърът на окръжност с радиус , ако окръжността отсича от абсцисната ос хорда с дължина и минава през точка .

10. Намерете уравнението на общата хорда на окръжностите и .

ОТГОВОРИ: 1.а) ; б) ; в) ; 2.а) не; б) окръжност с нулев радиус, с една реална точка ; в) не; 3. ; 4.а) абсцисната ос пресича окръжността в точките и ; ординатната ос пресича окръжността в точките и ; б) окръжността се допира до абсцисната ос в точките и пресича ординатната ос в точките и ; в) окръжността се допира до абсцисната ос в точка и се допира до ординатната ос в точка ; 5. ; 6). и ; 7) и ; 8) ; 9) или ; 10)

ІІ. ЕЛИПСА.

Елипсата е геометрично място на точки в равнината, за която сумата от разстоянията до две фиксирани точки и от същата равнина наречени фокуси, е постоянна величина, която означаваме с . Разстоянието между и приемаме за . По определение , т.е. .

Спрямо подходящо избрана декартова координатна система с абсцисна ос през фокусите, а ординатната ос, разполовяваща фокусното разстояние, елипсата има уравнение: , където и . Това уравнение се нарича канонично уравнение на елипса.

Елипсата с това уравнение е симетрична спрямо координатните оси и координатното начало. Точките на елипсата и се наричат нейни върхове.

Ако , разстоянието между върховете и лежащи на абсцисната ос, е и се нарича малка ос на елипсата, а половината му-голяма полуос.

Разстоянието между върховете и , лежащи на ординатната ос е и се нарича малка ос на елипсата, а половината му-малка полуос. ( фиг.2.17 )

Ако в каноничното уравнение на елипсата е изпълнено , то е голямата ос на елипсата, а малката ос. Тогава фокусите са фърху ординатната ос.

Всички точки на елипсата са на крайно разстояние и се намират в правоъгълник с дължина ва страните и , разположени симетрично спрямо координатните оси.

Ако положим , ще получим и каноничното уравнение се преобразува в централно уравнение на окръжност .

Отношението на фокусното разстояние към голямата ос се нарича ексцентрицитет и се бележи с . Това е величина, която характеризира формата на елипсата.

Взаимните положения на права и елипса се определят в зависимост от общите им точки.

Уравнението на допирателната към елипсата в точка от елипсата е:.

Примери:
Пример № 1: Да се напише каноничното уравнение на елипса, ако:

а) полуосите са ; б) голямата ос е, а фокусното разстояние е .

в) голямата ос е , а ексцентрицитетът е ; г) малката ос е , а ексцентрицитетът е ; д) сумата от полуосите и разстоянието между фокусите са равни на .

Решение: а) В уравнението на елипсата заместваме с и с , получаваме ; б) От условието и намираме . Уравнението на елипсата е ; в) Ако в равенствата и заместим с и - с получаваме , откъдето . Търсената елипса има уравнение: ;

г) Това подусловие решете самостоятелно подобно на предходния случай. Търсеното уравнение е: ; д) От условието и , т.е. или . От връзката получаваме или . Решаваме системата: , откъдето следва . Уравнението на търсената елипса е: .

Пример № 2: Да се напише каноничното уравнение на елипса, ако точка лежи на елипсата и ексцентрицитетът и е .

Решение: Търсим елипса с канонично уравнение . Тъй като точка лежи на елипсата, то координатите и удовлетворят това уравнение, т.е. или . От формулата намираме или . След решаване на системата: , получаваме . Уравнението на елипсата е .

Пример № 3: Да се намери условието за допиране на правата и елипсата .

Решение: За намиране на общите точки на двете линии решавеме системата:

Пример № 4: Да се намери уравнението на допирателната към елипсата , която е успоредна на правата .