С т у д е н т и. Линейна алгебра. Скалари и вектори

Решение: От каноничното уравнение на елипсата намираме и . Уравнението на допирателната търсим във вида . От условието за успоредност между допирателната и дадената права, намираме . За да определим , използваме намереното в предходната задача условие за допиране: . След заместване на и намираме . Има две допирателни, чиито уравнения са: .

Пример № 5: Да се напише уравнението на права, допираща се до елипсата в точка .

Решение: Точка лежи на елипсата, защото координатите и удовлетворяват уравнението на елипсата. Следователно уравнението на търсената допирателна е от вида . След заместване в него на и на , получаваме: .
Решете сами:
1.Да се напише каноничното уравнение на елипса, ако:

а) полуосите са равни съответно на и ;

б) разстоянието между фокусите е , а голямата полуос е ;

в) голямата ос е и ексцентрицитета е ;

г) малката ос е и ексцентрицитетът е ;

2. Да се определят полуосите на всяка от следните елипси:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Дадено е уравнението на елипсата . Да се изчислят дължините на осите, координатите на фокусите и ексцентрицитетът на елипсата..

4. Разстоянията от единия фокус на елипсата до краищата на голямата и ос са съответно равни на и . Да се напише уравнението на елипсата.

5. Да се намери ексцентрицитетът на елипсата, ако се знае, че:

а) малката ос се вижда от фокусите под прав ъгъл; б) разстоянието между фокесите е равно на разстоянието между върховете на малката и голямата ос.

6. Намерете точка от елипсата , която се намира на разстояние от малката и ос.

7. Елипсата минава през точките и . Да се напише уравнението на елипсата, ако осите и на симетрия са координатните оси.

8. Намерете допирателните към елипсата , които са успоредни на правата .

9. Намерете допирателните към елипсата , които са перпендикулярни на на правата .

10. Намерете общите допирателни към елипсите: и .

ОТГОВОРИ: 1.а) ; б) ; в) ; г) ; 2 а) ; б) ; в) ; г) . 3) ; 4) ; 5.а) ; б) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
ІІІ. ХИПЕРБОЛА.

Хиперболата е геометрична място на точки в равнината, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията им до две фиксирани точки и отсъщата равнина, наречени фокуси, е постоянна величина, която се означава с . Разстоянието между и се приема за и се нарича фокусно разстояние. По определение , т.е. .

Спрямо подходящо избрана декартова координатна система с абсцисна ос през фокусите, а ординатна ос, разполовяваща фокусното разстояние, хиперболата има уравнение: , където и . Това уравнение се нарича канонично уравнение на хиперболата.

Хиперболата е симетрична спрямо осите и координатното начало. Тя пресича абсцисната ос в точките и , които се наричат реални върхове, а отсечката с дължина - реална ос на хиперболата. Точките и се наричат имагинерни върхове , а отсечката с дължина -имагинерна ос на хиперболата ( фиг.2.18 ).

Правоъгълникът със страни и , разположен симетрично спрямо координатните оси и допиращ се до върховете на хиперболата, се нарича основен правоъгълник.

Ако фокусите на хиперболата лежат на оста , т.е. са точките и , уравнението и е . В този случай разликата от разстоянията от произволна точка, лежаща на хиперболата, до фокусите е , като . Хиперболи с уравнения и се наричат спрегнати.

Хипербола с равни полуоси, т.е. се нарича равнораменна и има канонично уравнение . Отношението се нарича ексцентрицитет на хиперболата и характеризира формата и.

Правите върху които лежат диагоналите на основния правоъгълник, се наричат асимптоти на хиперболата и са с уравнения и .

Допирателната към хиперболата с канонично уравнение в точка от хиперболата е .
ПРИМЕРИ:
Пример № 1: Да се определят полуосите, координатите на фокусите и уравненията на асимптотите на всяка от хиперболите: а) ; б) .

Решение: а) Преобразуваме уравнението на хиперболата в каноничен вид , откъдето си вижда, че реалната ос е абсцисната ос. За хиперболата и . Оттук намираме фокусите и . Уравненията на асимптотите получаваме след заместване в и . Те са ;

б) Уравнението може да се запише така: , откъдето правим заключение, че оста е реалната ос за хиперболата. Сега . Фокусите и . Уравненията на асимптотите са .

Пример № 2: Да се намери уравнението на хиперболата с ексцентрицитет , ако фокусите и съвпадат с тези на елипсата .

Решение: Нека са елементите на дадената елипса. От каноничното и уравнение намираме , а . Тъй ката дадената елипса и търсената хипербола имат общи фокуси, то фокусите на хиперболата са и . От формулите и намираме и . Уравнението на търсената хипербола е .

Пример № 3: Да се намери условието за допиране на правата и хиперболата .

Упътване: По начина, използван в един от примерите за елипсата, се намира следното условие: . Извършете решението самостоятелно.

Решете сами:

1.Да се напише каноничното уравнение на хипербола, ако:

а) разстоянието между върховете и е , а разстоянието между фокусите е ;

б) реалната и полуос е и върховете и делят разстоянието между координатното начало и фокусите на две равни части;

в) реалната и ос е и хиперболата минава през точка ;

г) хиперболата минава през точките и .

2. Да се напише уравнение на хипербола, ако са известни фокусите и и и точката , лежаща на хиперболата.

3. Да се напише уравнението на хиперболата, минаваща през фокусите на елипсата и имаща фокуси във върховете на тази елипса.

4. Дадена е хиперболата .

а) Да се изчислят координатите на фокуса и; б) Да се намери ексцентрицитетът и; в) Да се напишат уравненията на асимптотите и.

5. Да се определи ъгъла между асимптотите на хиперболата, която има ексцентрицитет .

6. Намерете точка, лежаща на хиперболата , която отстои от едната асимптота на разстояние три пъти по-голямо, отколкото от другата асимптота.

7. Напишете уравнението на права, която се допира до хиперболата в точка .

8. Да се напише уравнението на допирателната към хиперболата , която е:

а) перпендикулярна на правата ;

б) успоредна на правата .

9. Да се напише уравнението на допирателната към хиперболата , която сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл .

10 Хипербола се допира до правата в точка . Напишете уравнението на хиперболата.
ОТГОВОРИ: 1.а) ; б) ; в) ; г) ; 2) ; 3) ; 4) а) ; б) ; в) . 5) ; 6) - четири точки; 7) ; 8) а) ; б) не съществува; 9) ; 10) .
ІV. ПАРАБОЛА.
Параболата е геометрично място на точки в равнината, за които разстоянието до една фиксирана точка в равнината, наречена фокус, е равна на разстоянието до една фиксирана права от същата равнина, наречена директриса. Разстоянието от фокуса до директрисата се означава с .

Ако изберем декартова координатна система така, че абсцисната ос да минава през фокуса на параболата, да бъде перпендикулярна на директрисата и координатното начало да е среда на перпендикуляра от фокуса към директрисата, то каноничното уравнение на параболата е ( фиг.2.19 ) или ( фиг. 2.20 ).

В случая ( 2.61 ) фокусът е с координати , а директрисата е с уравнение . В случая (2.62) фокусът е с координати , а уравнението на директрисата е .

Ако координатнатната система е избрана така, че координатното начало съвпада с върха на параболата, а ординатната ос е оста на параболата, то уравнението и ще бъде (2.63) (фиг.2.21) или (2.64) ( фиг.2.22).

Уравненията и също задават параболи в равнината . С помощта на транслация на координатната система по формулите или те се привеждат в уравнения от вида и .

Уравнението на допирателната в точка от параболата е .

а) фокусът и има координати ;

б) фокусът и има координати ;

в) минава през точка и е симетрична относно оста .

г) минава през точка и е симетрична относно оста .

Решение: а) От абсцисата на фокуса определяме параметъра Уравнението на параболата е ;

б) Фокусът и лежи на на отрицателната полуос , което означава, че каноничното уравнение на тази парабола е от вида . Тъй като , то уравнението на параболата е ;

в) Тъй като , следва, че параболата има уравнение от вида . Като заместим текущите координати на и с координатите на точка , намираме . Уравнението на параболата е ;

г) Каноничното уравнение на параболата е от вида и в зависимост от ординатата на точка определяме знака, както в случая в). Уравнението на параболата е .

Пример № 2: Да се определи параметърът, фокусът и уравнението на директрисата на параболата:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) Като вземем предвид каноничните уравнения на параболите и в този случай получаваме , т.е. ; б) ; в) ; г) .

Пример № 3: Да се определи при какво условие правата се допира до параболата .

Решение: За намиране на общите точки на двете линии решаваме системата . Заместваме от първото уравнение във второто и получаваме . За да се допират двете линии е необходимо дискриминантата на това уравнение да бъде равна на нула,т.е.. Или .

Пример № 4: От точка са прекарани допирателни към параболата . Да се напишат уравненията на тези допирателни.

Решение: От уравнението на параболата намираме, че . Допирателните през точка търсим с уравнения от вида . Точка лежи на допирателните и следователно координатите удовлетворяват уравненията им, т.е. .

Като използваме условието за допиране на права с декартово уравнение и парабола с канонично уравнение , след заместване получаваме .

Решенията на системата са и

Уравненията на допирателните са и .

Пример № 5: Да се намерят координатите на върха, стойностите на параметъра и уравнението на директрисата на параболата:

а) ; б) ; в) .

Решение: а) Дадената парабола е . Правим транслация на координатната система чрез смяната . Уравнението на параболата добива вида , т.е. . Уравнението на директрисата е , т.е. , а спрямо старата координатна система е , т.е. . Координатите на върха на параболата са ;

б) и директрисата има уравнение ;

в) и директрисата има уравнение .

Решете сами:
1.Да се състави канонично уравнение на парабола, ако:

а) разстоянието от фокуса до върха и е ;

б) параболата е симетрична относно , минава през координатното начало и през точка ;

в) параболата е симетрична относно , минава през координатното начало и има за фокус точка .

2. Намерете пресечните точки на параболата с правите:

а) ; б) ; в) .

3. Намерете пресечните точки на параболата с елипсата .

4. Да се напише уравнението на общата хорда на параболата и окръжността .

5. Да се напише уравнението на хордата на параболата , която минава през точка и се дели от точката на две равни части.

6. През точка прекарайте допирателна към параболата .

7. Дадена е параболата и допирателната . Намерете допирната точка.

8. Дадена е параболата . Рекарайте допирателна към нея:

а) в точка с абсциса ;

б) успоредна на правата ;

в) перпендикулярна на правата ;

г) образуваща с правата ъгъл .

9. Намерете общата допирателна на елипсата и параболата .

10. Да се намерят координатите на върха и големината на параметъра на параболата:

а) ; б) .

ОТГОВОРИ: 1.а) ; б) ; в) ; 2. а) ; б) правата е допирателна към параболата в точка ; в) не съществуват.