С т у д е н т и. Линейна алгебра. Скалари и вектори
Изтегляне 491.75 Kb.
|
|
Решете задачите: 1.Векторите 4. Вектор 5. Дадени са векторите 6. Да се представи векторът 7. Дадени са четири вектора 8. Да се провери колинеарни ли са векторите 9. Определете при какви стойности на 10. Да се установи дали векторите Пример № 1: Даден е четириъгълник с върхове Решение: остатъчно е да намерим координатите на векторите Действително, Пример № 2: Да се определи при каква стойност на Решение: Векторите Да изразим тяхното скаларно произведение Пример № 3: Да се изчисли проекцията на вектора Решение: Ще използваме представянето Пример № 4: Векторите Решение: Според формулата Пример № 5: Векторът Решение: От колинеарността на Решете сами: 1.Да се изчисли скаларното произведение на векторите а) 2. Даден е четириъгълник с върхове точките а) 3. Намерете вътрешните ъгли на триъгълник с върхове точките 4. Дадени са векторите 5. Дадени са три вектора: 6. Намерете вектор 7. Дадени са два вектора: 8. Дадени са три вектора: 9. Дадени са векторите 10. Дадени са векторите: а) В Е К Т О Р Н О П Р О И З В Е Д Е Н И Е
Забележка: При намиране на вектора  , т.е.
Лицето на успоредника е: Пример № 2: Да се изчисли синусът на ъгъла, заключен между векторите Решение: От формулата Пресмятаме Тогава Пример № 3: За вкторите  и  са дадени  и  . Да се пресметне  .
Решение: Намираме Пример № 4: Векторът  е перпендикулярен на векторите  и  и образува с оста  тъп ъгъл. Да се намерят координатите на , ако  .
Решение: От условието следва, че СКАЛАРНО ПРОИЗВЕДЕНИЕ—ОТГОВОРИ: 1.а) Понеже Пример № 5: Дадени се векторите Решение: а) Решете сами: 1.Векторите 2. Дадени са 3. Векторите 4. Векторите 5. Дадени са точките 6. Да се пресметне синусът на ъгъла, образуван от векторите 7. Изчислете лицето на успоредника, три последователни върха на който се намират в точките 8. Даден е триъгълник с върхове точките 9. Намерете разстоянието от точка 10. Да се намери вектор ОТГОВОРИ: 1.  ; 2.  ; 3.а)  ; б)  . 4.а)  ; б)  . 5.  . 6.  ; 7.  ; 8.  ; 9. ; 10.  .
Смесено произведение: Пример № 1:Да се докаже, че точките  и  лежат в една равнина.
Решение: Да разгледаме например трите вектора с общо начало точката По формулата Тъй като е изпълнено условието Пример № 2: Векторите и сключват ъгъл  , а  и  . Да се пресметне  , ако  и  .
Решение: Смесеното произведение на векторите  където  е ъгълът заключен между векторите  и . Но по условие векторът е перпендикулярен на векторите и , следователно колинеарен с вектора и  . Тогава  .
Пример № 3: Да се докаже, че Решение: Прилагаме дистрибутивния закон при скаларното произведение и получаваме:
Пример № 4: Построен е паралелепипед върху векторите а) Обемът б) Лицето в) Височината Решение: а) б) в) 5. Да се намери дължината на височината през върха Решение: Смесеното произведение на три вектора Следователно Решете сами: Каталог: online-baza -> src src -> В Х о д н о н и в о з а ш е с т и src -> „СВ. Климент охридски src -> На комплексна променлива общи бележки. Аналитични функции. Условия на Коши-Риман src -> Св климент охридски src -> Задача№1: Дадена е функцията, където е реален е реален параметър src -> Тест за подготовка за държавен зрелостен изпит. Най-голямото от числата е src -> За зрелостен изпит src -> 1. Стойността на числовия израз : е: а 24; б 416; в 1500; г друг отговор src -> К о м б и н а т о р и к а в е р о я т н о с т и- подготовка за Изтегляне 491.75 Kb. Сподели с приятели:
|
. Намерете 
и 
.3. Векторите 
. Намерете 
и 
.
със зададена ос. Намерете проекцията му върху тази ос във всеки от следните случаи: а) 
б) 
; в) 
.
и 
. Намерете векторите: 
.
като линейна комбинация на векторите 
и 
.
и 
. Представете всеки от тях като линейна комбинация на останалите три вектора.
и 
.Да се установи кой от тях има по-голяма дължина и еднопосочни ли са или не.
и 
векторите 
и 
са колинеарни.
и 
са линейно зависими. Ако са линейно зависими, да се представи векторът 
и 
. Да се докаже, че диагоналите му са взаимно перпендикулярни.
и 
, да изразим чрез тях скаларното им произведение и да се убедим, че то е нула.
, а 
. Тъй като 
, то 
.
, векторите 
и 
са взаимно перпендикулярни.
и 
.
. Тези стойности на 
, са търсените, т.е.
.
върху директрисата на вектора 
.
. Оттук 
.
, като 
и 
. Да се пресметне косинусът на 
и 
.
, а 
. Аналогично намираме, че 
. Изчислявяме скаларното произведение 
.
и сключва остър ъгъл с оста 
.
и 
слезва, че съществува 
така, че 
, т.е. 
. От 
или 
, откъдето намираме 
. От двата противоположни вектора 
и 
с дължина 
и колинеарни на 
, където 
е единичният вектор по оста 
. От 
следва, че скаларното произведение 
има знака на 
, тъй като знаменателят в дясната страна е положителен. Но 
, т.е.
, така, че 
.
. б) 
. в) 
.
и 
. Намерете скаларните произведения::
. б) 
. в) 
.
и 
.
и 
. Изчислете проекциите на всеки от тях върху директрисата на другия вектор.
, 
и 
. Изчислете 
.
и удовлетворяващ условието 
.
и 
. Намерете вектор 
и удовлетворява условията 
и 
.
и 
. Намерете вектор 
, 
и 
.
и 
. Да се пресметнат: а) 
; б) 
; в) 
.
и 
. Да се намерят:
; б) 
; в) 
.
и 
. Намерете дължината на височината през върха 
към страната 
.
и 
.
използваме формулата:
. Тъй като 
, а 
, то 
.
и 
.
определяме 
, където 
.
, откъдето 
и 
.
..
; б) 
; в) 
; 2.а) 
; б) 
; в) 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
; 6. 
; 7. 
; 8. 
; 9.а) 
; б) 
; в) 
; 10.а) 
; б) 
; в) 
.
, откъдето намиреме, че 
и 
. Тъй като ъгълът между 
или 
, следователно 
. Тогава 
.
и 
. Да се пресметнат координатите на: а) 
; б) 
.
. б) 
.
и 
. Да се пресметне 
и 
. Да се пресметне 
.
и 
. Да се пресметнат: а) 
; б) 
.
и 
. Да се пресметне: а) 
; б) 
и 
. Да се определи лицето на
.
и 
.
и 
.
и 
. Намерете дължината на височината, спусната от върха 
към страната 
.
до правата, 
и 
.
и е перпендикулярен на векторите 
и 
.
и краища съответно точките 
и 
: 
.
.
, то векторите 
и 
са компланарни. Следователно точките 
и 
и 
, където 
Смесените произведения 
и 
имат стойност нула, защото векторите 
. Да се намерят:
на паралелепипеда.
на стената, образувана от векторите 
към същата стена.
ед
.
ед
.
.
и 
.
, където 
част от 
, то 
, т.е. обемът на паралелепипеда е 
, а обемът на тетраедъра с върхове точките 
.
.