Свети Климент Охридски” факултет по математика и информатика

“Свети Климент Охридски”

В последните години се наблюдава тенденция към увеличаване броя на пластичните операции в света като цяло. Всеки човек желае да корегира част от своето лице и тяло.

Поради тази причина в следващия материал ще поднеса на драгия читател малко повече информация за това що е то „пластична хирургия” и има ли приложение на математиката в това „изкуство” за оформяне на човешкото тяло.
Топологията (от гр. топос - място, логос - наука) е математика на деформациите. Тя изследва начините, по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи.
Първите сериозни трудове по топологията откриваме в работите на немските математици А. Мьобиус и Й. Листинг от средата на 19 век. Листинг пръв въвежда термина топология (около 1847). За истински 'баща' на топологията се смята Анри Поанкаре, който според Мьобиус дава на топологията крила, с основополагащите си трудове от края на 19 век. До това време името топология още не е наложено, използуват се analysis situs(лат. анализ на мястото) или geometria situs (лат. геометрия на мястото). Топологията се дели условно на алгебрична и обща.
Пластичната хирургия обединява естетична и реконструктивна хирургия.

Основна цел на естетичната хирургия е подмладяването и разкрасяването, а на реконструктивната - възстановяването на анатомията и функцията на тъканите на лицето и тялото.

- корекции на лицето (нос, уши, устни, клепачи, белези, лифтинг и други);

- тялото (гърди, пластика на корем, липосукция, белези и други).
Реконструктивна (възстановителна) хирургия се занимава с възстановяване при:

- вродени аномалии (цепнатини на лицето, деформации и липса на лицеви органи и други);

- последствия от мекотъканни и костни травми;

- последствия от туморен процес.

Краниофациална хирургия - създадена от френския хирург Пол Тесие през 60-те години на 20 век. Тя обединява знания на пластични, лицево-челюстни, неврохирурзи, офталмолози, УНГ и цели на един етап да се решат комплексни проблеми, засягащи черепа и лицето.
Интересното тук е, че още древните гърци установяват, че формите в природата отговарят на определена геометрична пропорция. Но едва през Ренесанса Леонардо да Винчи установява, че ключът към красотата е пропорцията 1:1,618. Така например разстоянието от пода до пъпа, после и от пъпа до главата, ако сте съразмерни пропорцията трябва да бъде 1:1,618. Така също в едно красиво лице широчината на устата е 1:1,618 от широчината на носа. Също съотношението в широчината на централния резец (зъб) и страничния резец е 1:1,618. Това съотношение се наблюдава навсякъде в красивото тяло.
Идеята, че математиката може да обясни всяко красиво лице е доразвита от Стивън Маркроард. Той съчетава триъгълници и петоъгълници в пропорция в 1:1,618 и прави маска. Колкото повече едно лице пасва на маската толкова по-красиво е то. Маската важи за женско и за мъжко лице. Маската се използва успешно като шаблон при отстраняване на дефекти във лицата на пациентите.

И винаги помнете - най-привлекателното изражение на лицето е усмивката.

За да стане по-ясно какво се иска да се представи на уважаемия читател на този проек в началото ще въведа и някои основни понятия, без които трудно ще постигна целта си. Като начало ще запозная читателя с това що е изображение, образ, ретракция, триангулация, скок и други понятия от математиката.

Ще фиксираме координатна система в равнината R². Точките в равнината можем да интерпретираме като наредени двойки от реал­ни числа - координатите им. Ако х₀ е точка от R², под δ-околност на х₀ разбираме множеството на онези точки x от R², разстоянието на които до х₀ е по-малко от δ, т. е. |х₀х| < δ; означаваме я с O_δ(х₀).

По аналогия с функциите (на реален аргумент) изображението f се нарича непрекъснато в точката х₀ от А, когато за всяко ε > 0 същест­вува такова δ > 0, че ако x е произволна точка от А, която се съдържа в 0_δ(х₀), образът й f(x) се съдържа в O_ε(f(x₀)). Изображението f е прекъснато в х₀, когато поне за едно ε₀ > 0 не съществува δ с горното свойство или, с други думи, ако за всяко δ > 0 има точка x от А, която е от 0_δ(х₀), но f(x) ¢ O_εo(f(x₀)).

За да измерваме по целесъобразен начин „големината на прекъс­ването", ще въведем следното понятие: осцилацията на f в х₀ не над­минава е (записваме w(f,x₀) ≤ ε), ако може да се намери такова δ > 0, че за всеки две точки x',x" от А, които принадлежат на О_δ(х_в), да е изпълнено неравенството |f(x')f(x")| ≤ ε.
Ретракции и псевдоретракции. Теорема на Брауер.

Нека A и B са две множества в R² и A В, a r: A —► B е изображение. Казваме, че г е ретракция на А върху В, ако r(х) = x за всяко x ℮ В.

Всяка ретракция на кръга върху контурната му окръжност

е прекъсната поне в една точка.
Теорема на Брауер за неподвижната точка

Нека f : D —► D е изображение на кръга D в себе си, което е непрекъснато във всяка точка. Тогава има поне една точка х₀, за която f(x₀) = х₀. (Точката х₀ се

нарича неподвижна точка за изображението f.)
Триангулации. Лема на Шпернер.

Триангулация на триъгълната област Τ’ с контур Τ = ∆АВС оз­начава подразделянето й на краен брой триъгълни области така, че всеки две от тях или нямат никаква обща точка, или имат само една обща точка, която е общ и за двете връх, или общите им точки запъл­ват една отсечка, която е страна и на двете. Една страна на (област от) подразделението се нарича външна, ако е върху страна на Τ и вътреш­на - в противен случай. Всяка външна страна е страна на точно една област от подразделението, а всяка вътрешна - на две.

Ще казваме, че е зададена правилна номерация на триангулацията, ако на всеки връх на (област от) триангулацията е съпоставено някоя от числата 1, 2, 3, като това е направено произволно за вътрешните върхове, но е подчинено на следното гранично условие за външните (тези, които са върху страните на T’): върховете А, В, С са номерирани различно и всеки друг връх върху страна на Τ има за номер някой от номерата на двата й края.

1. 
   2R sinα. sinβ. sinγ , ако α, β, γ ≤ 120°
   

2R sinα. sinβ. sinγ , ако γ >120°.

sinα + sinβ

Съществува ретракция на областта, която няма скокове, по-големи от d.

Ако X℮[ВС], Υ℮[СА], Ζ℮[АВ], тогава поне две от тези точки са на разстояние не по-малко от d. Числото d е минималният диаметър на триъгълник XYZ, вписан в триъгълника ABC. Има единствен три­ъгълник А₀В₀С₀ с диаметър d, вписан в триъгълника ABC.

Нека S е окръжност с радиус ρ и х, у, z са три точки върху S. Ще означим с m(х, у, z) и d(x, у, z) съответно минималната и максималната страна на ∆xyz. Страната на вписания равностранен триъгълник е ρ.√3.

1) всяка област (нарича се клетка) е „триъгълна”, но може една от страните й да е дъга от S;

2) две клетки или нямат обща точка, или имат единствена обща точка - връх и на двете, или множеството от общите им точки е страна и на двете;

3) точките а, b, с са върхове на клетки.

Такова подразделяне на клетки се нарича триангулация на (D, a, b, c). Страните и върховете на клетките се наричат страни и върхове на триангулацията. Всяка право­линейна страна на триангулацията е страна на точно две клетки, а дъ­говите страни са страни на само една клетка. Ако р, q, r са върховете на една клетка, то размер на клетката по дефиниция е числото d(p, q, r), равно на най-голямото от разстоянията |pq|, |qr|, |rp|.


ПЛАСТИЧНА ХИРУРГИЯ И КОМБИНАТОРНА ТОПОЛОГИЯ
Предложен е математически модел на един проблем на пластичната хирургия и неговото решение с помощта на основна теорема от комбинаторната топология.
Нека Τ е триъгълник, а T’ е затворената област с контур T. Изобра­жението r: Т’→Т е ретракция, ако r(х)=x за всяко x℮T, и е псевдоретракция, ако x и r(х) са върху една и съща страна на Τ за всяко x℮Т.

Нека х₀℮Τ’ и O_δ(x₀) е δ-околност на х₀ в T’. Осцилацията на r в O_δ(x₀) щe означим със w_δ(r,х₀). Числото j(r,x₀) = inf{w_δ(r,х₀)|δ >0} ще наречем скок на r в х₀. Разкъсване на Τ’ при псевдоретракцията r наричаме числото d(r) = sup{j(r,x)|x℮T’}.

Нека ∆XYZ e вписан в ∆АВС=Τ, a D е вътрешна точка на областта с контур ∆XYZ. Ако х℮Τ’ и х е вътрешна за
По такъв начин е дефинирана ретракция r: T’→Τ. Тя е непрекъсната във всички точки-на Τ’ с изключение на точките, които лежат върху отсечките [DА), (DB), (DC). В точките на тези отсечки ретракцията е прекъсната. Ако x℮[DB), тогава j(r,x) ≤ |ΧΖ|, като равенство има само при x=D. Аналогични неравенства са верни и вър­ху отсечките (DC) и (DA): при x℮(DC) имаме j{r,x) < |XY|, а при x℮(DA) - j(r,x) < |YZ|. Така се убеждаваме, че j(r,x) ≤ diam ∆XYZ, като равенството се достига само при x=D. Поради това d(r) = max(|XY|, |YZ|, |ZX|) = diam ∆XYZ.
Минимално разкъсване при ретракция от такъв вид има за онази, за която ΔΧΥΖ има минимален диаметър. Оказва се, че такъв триъгълник има, защото е вярна следната
Теорема 1. Нека Τ = ∆АВС е триъгълник с ъгли α, β, γ, като γ е най-голе­мият измежду тях, и радиус R на описаната окръжност. Измежду вписаните в Τ триъгълници при γ≤ 120° най-малък диаметър има само един и той е равнос­транен със страна

δ₀= 2R. sinα. sinβ. sinγ

sin²α + sin²β — 2 sinα. sinβ. cos(60° + cosγ), а при γ>120° - той е равнобедрен с диаметър: δ₁= 2R. sinα. sinβ. sinγ ,

sinα + sinβ

равен на бедрата му, които са перпендикулярни на СА и СВ.

Нека отбележим, че δ₁<δ₀ при γ≠120° и δι=δο при γ=120°.

В този пункт ще започнем подготовката за доказване на Теорема 1.

|KL|= δ. sin²α + sin²β - 2sinα. sinβ. cos(60° + γ) ,

2 sinα. sinβ където γ = 180° - (α + β).
Доказателство. Имаме |KZ|= δ/2sinα; |LZ|= δ/2sinβ;

Ако γ=120°, тогава Z е върху отсечката [KL] и следователно

|KL|= δ/2 . (1/sinα + 1/sinβ). Това равенство в случая съвпада с желаното.
Нека γ≠120°. Ъгълът при върха Ζ на триъгълника KLZ е равен на 60°+γ или е допълнението на този ъгъл до 360°. Сега, като приложим косинусовата теорема, за ∆KLZ получаваме желаното равенство. Лема 1 е доказана.□
Лема 2. Нека Τ=АВС е триъгълник с ъгли α, β, γ, най-големият от които е γ, и радиус R на описаната окръжност. В триъгълника Τ може да се впише равностранен триъгълник със страна δ₀.
Доказателство. Нека XYZ е равностранен триъгълник със страна, равна на δ₀, и К, L са точките от формулировката на Лема 1. С Μ и N ще означим средите на [ΥΖ] и [ΧΖ]. Върху правата през Ζ, успоредна на KL, ще разгледаме двата противоположни лъча р^→ и q^→ с начало Ζ, първият, от които пресича лъча МК^→. Тъй като <(YZ^→,p^→)<90° и α < 90°, върху лъча р^→ има единствена точка А', за която <ΖΑ’Y = α. Аналогично се дефинира В' - единствената точка върху оста q^→, за която → и q^→. Точката К' е средата на хордата [A'Z] на окръжността к, a L' е средата на хордата [Β'Ζ] на окръжността l. Поради това |KL| = |K'L'| = |A’B’l /2.

От Лема 1 следва, че: |KL| = δ₀ sin²α+ sin²β - 2 sinα. sinβ. cos(60° + γ)

2 sinα. sinβ
В това равенство ще заместим δ₀ с израза му от формулировката на Теорема 1 и така ще получим |KL|= Rsinγ. Следователно |А'В'| = 2R sinγ = |AB|.

Ще означим с С’ пресечната точка на правите Α’Y и В’X. Триъгълниците ABC и A'B'C’ са еднакви, понеже |АВ| = |А'B’|, <А =<А’, <В =<В'. Лема 2 е доказана.□

К, L са точките от Лема 1. От Лема 1 следва, че |KL| = δ/δ₀ . Rsinγ = δ/δ₀ |AB|/2.

Върхът A лежи върху тази дъга от окръжността k с център К, от всяка точка на която [ZY] се вижда под ъгъл α, а В - върху онази дъга от окръжността l c център L, от всяка

точка на която [ZX] се вижда под ъгъл α. С Ρ и Q ще означим ортогоналните

проекции съответно на Κ и L върху правата АВ. Очевидно |KL| ≥|PQ| = |AB|/2.

От двете съотношения за |KL| следва че δ≥ δ₀. При това, равенството е налице точно тогава, когато КL||АВ, т.е. ∆ΧΥΖ е еднакъв с построения в Лема 2. Лема 3 е доказана.□

В този пункт ще завършим доказателството на Теорема 1.

За точката Z₀ ℮[АВ] има две възможности: тя е вътрешна за страната или съвпада с някой от краищата й. Ще отхвърлим последователно и двете.

Нека Z₀ ℮ (АВ). Тогава очевидно Z₀ съвпада с петата С₁ на височината през C, защото в противен случай за произволна точка Z₁℮(C₁, Z₀) е вярно неравенството |CZ₁|< |CZ₀|, така че d(X₀,Y₀, Z₁) = |CZ₁|< d₀, което е невъзможно.
И така, Z₀ = С₁. Ще означим с D ортогоналната проекция на Z₀ върху правата АС, а с Е - ортогоналната проекция на Z₀ върху правата СВ. Върху (CD) и (СЕ) съответно ще изберем точки Y₁ и Χ₁ толкова близо до С, че |Χ₁Y₁| < d₀. Очевидно |Y₁Z₀| < d₀ и lZ₀X₁| < d₀. Тогава d(Χ₁, Y₁,Ζ₀) < d₀, което е противоречие.
И така, при Х₀ = Y₀ е сигурно, че Z₀℮(АВ). Без ограничение на общността можем да приемем, че Z₀ = А и следователно d₀= |АС|. Ако α е остър, ще вземем Z₁℮(AC₁). Ясно е, че |CZ₁|< |АС| и следователно d(X₀, Y₀, Z₁) = |CZ₁|< d₀, което е противоречие. Поради това α не е остър. Петата Α₁ на височината през А е върху отсечката (ВС). Ще вземем точките Χ₁℮(Α₁C) и Y₁℮(ΑC) толкова близко до C, че |X₁Y₁| < d₀. Тъй като |Х₁А| < |АС| и |Y₁A| < |АС|, то d(X₁, Y₁, Z₀) < d_Q, което е противоречие.
Доказахме, че точките Χ₀, Y₀,Ζ₀ са различни. Остава да докажем, че те не са върху една права.

Ако допуснем противното, без ограничение на общността можем да приемем, че Χ₀=B, Y₀=A,Ζ₀ ℮ (АВ). Поне един от ъглите α и β е остър. Без ограничение на общността можем да считаме, че такъв е първият от тях. Ще вземем Y₁ ℮ (AD) (АС), където D е ортогоналната проекция на Ζ₀ върху АС. Имаме |Z₀₁Y₁| < |АZ₀| < |AB|, |BY₁| < |AB|. Следователно d(X₀,Y_0, Z₀) < |AB|=d₀, което е противоречие. Лема 4 е доказана. □

Ако X₀ и Y₀ са върху една и съща страна на T, тогава поне едната от тези две точки съвпада с С. Без ограничение на общността можем да приемам, че Y₀ = С. Имаме |X₀Y₀| > |X₀Z₀| и |X₀Y₀| > |Z₀X₀|. Върху отсечката [СX₀] ще вземем точка X₁ толкова близо до Х₀, че |X₁Y₀| > |Y₀Z₀| и |X₁Y₀| > |Z₀X₁|. По такъв начин сме сигурни, че d(X₁,Y_0, Z₀) =|X₁Y₀| < |X₀Y₀| = d (X₀,Y₀, Z₀), а това е противоречие.

Тогава d(X₁,Y_1, Z₀) = |X₁Y₁| < |Х₀Y₀| = d(X₀, Y₀), което е противоречие. Лема 5 е доказана. □

0X₀Y₀ е остър и поради това върху (X₀Y₀) можем да вземем точка X₁ толко­ва близо до X₀, че |Z₀X₁| < |Z₀X₀|. Разбира се, и |Y₀X₁| < |Y₀X₀|. Триъгълникът X₁Y₀Z₀ също е вписан в T. Ако |Y₀Z₀| = d₀, този триъгълник също има диаметър d₀, но най-голямата му страна [Y₀Z₀] е по-голяма от останалите две, а това проти­воречи на Лема 5. Ако |Y₀Z₀| < d₀, тогава ∆X₁Y₀Z₀ има диаметър, помапък от d₀, което е невъзможно.

Противоречието, до което достигнахме, показва, че не е възможно някой от вър­ховете на триъгълника X₀Y₀Z₀ да бъде връх на T. Лема 6 е доказана. □

Лема 7. Нека T₀ има минимален диаметър измежду всички вписани в Τ = ∆АВС триъгълници и γ е най-големият ъгъл на Т. Ако T₀ не е равностранен, тогава γ > 120° и единимт от върховете на T₀ лежи върху ъглополовлщата през върха С на триъгълника Τ, α страните на T₀ през този връх са перпендикулярни съответно на СА и СВ и са равни на δ₁.
Доказателство. От Лема 5 знаем, че двете най-големи страни на триъгълника T₀ = ∆PQR са равни; можем да считаме, че тези две страни са [RP] и [RQ]. Тогава ъгълът между тях е не по-голям от 60°. Той е дори по-малък от 60°, тъй като триъгълникът T₀ по предположение не е равностранен: |PQ| < |RP| =|RQ|.

От Лема 6 знаем, че всеки от върховете P,Q,R e вътрешна точка на страна на Т. Ще докажем, че правата RP е перпендикулярна на страната на Т, върху която е Р. Да допуснем, че това не е вярно и нека Μ е ортогоналната проекция на R върху правата, на която лежи въпросната страна на Т. Върху тази страна ще вземем точка P₁ между Ρ и Μ толкова близо до Р, че да бъде валидно неравенството |RP₁| > lP₁Q|. От P₁℮(MP) следва, че |RP₁| < |RP| = |RQ|. Триъгълникът RP₁Q има диаметър |QR|, но най-голямата му страна е единствена. Полученото противоречи на Лема 5.

И така, RP е перпендикулярна на страната на T, на която лежи Р. Аналогично, RQ е перпендикулярна на страната на Т, на която е Q. Тъй като |RP| = |RQ|, то R е върху ъглополовящата на Τ през върха, противоположен на страната, върху която е R. Тогава ъгълът на Τ при този връх е равен на 180° -

Нека Ρ℮(СВ), Q℮(СА). За ъглополовящата CR имаме: |CR|= 2ab/(a+b).(cos γ/2) и от правоъгълния ∆PBQ получаваме |RP|=|CR|sinγ/2= ab/(a+b).(sin γ/2)=δ₁.

Тъй като
< 60°, имаме |PQ| < |RP| = |RQ|. Следователно diam ∆PQR=δ₁. Лема 7 е доказана. □
Доказателство на Теорема 1. Нека Т₀ е триъгълник с минимален диаметър, вписан в Τ (вж. Лема 4).

Ако γ≤120°, тогава от Лема 7 следва, че Т₀ е равностранен, а от Лема 3 следва, че Т₀ е единственият равностранен триъгълник с минимална страна, вписан в Т. При това страната му е равна на δ₀.

Ако γ>120°, тогава или Т₀ е равностранен и съгласно Лема 3 има страна δ₀, или Т₀ е равнобедреният триъгълник с диаметър δ₁ от Лема 7. Тъй като δ₁ < δ₀, равностранният триъгълник не може да има минимален диаметър. Така остава, че Т₀ е равнобедрен с диаметър δ₁. Теорема 1 е доказана. □
Разкъсване на триъгълна област при псевдоретракция върху конту­ра й

В този пункт ще докажем Теорема 2.

Доказателство на Теорема 2. На всяка точка x℮Τ ще съпоставим номер λ(х) по следния начин: λ(x) = 1, ако r(х) ℮ [АВ); λ(х) = 2, ако r(х)℮[ВС) и λ(x) = 3, ако r(x)℮ [СА). От това, че r е псевдоретракция, следва r(А) = А и следователно λ(А) = 1. Аналогично получаваме λ(Β) = 2 и λ(C) = 3. Ясно е също, че ако x е върху някоя страна на Т, тогава λ(x) е номерът на някой от краищата на тази страна. Наистина, ако x℮[АВ], тогава x℮[АВ) или x=В. В първия случай λ(x) = 1 = λ(A), а във втория - λ(х) = λ(В).
За всяко n ще вземем такава триангулация θ_n на триъгълната област T’, всеки

триъгълник на която има диаметър, по-малък от 1/n. Върховете на триангулацията са номерирани автоматично с помощта на току-що въведената номерация на точките от Т’. Тази номерация на върховете на триангулацията θ_n удовлетворява гранични­те условия на Лемата на Шпернер, както проверихме по-горе.

Поради това можем да приложим тази лема и по такъв начин ще достигнем до заключението, че има триъгълник [x_n y_n z_n] на триангулацията, всички върхове на който са номерирани различно; можем да приемем, че λ(x_n) = 1, λ(y_n) =2, λz_n) =3. От дефиницията на номерацията знаем, че r(x_n)℮[AB), r(y_n)℮[BC), r(z_n)℮[СА).

От Лема 4 и Теоре­ма 1 следва, че d(r(x_n), r(y_n), r(z_n))>d₀. Без ограничение на общността можем да считаме, че d(r(x_n), r(y_n))≥ d₀.

Нека x₀ е точка на сгъстяване на редицата {x_n}_n. Тогава x₀℮T’ и тъй ка­то d(x_n,y_n) < 1/n, сигурно е, че за всяко положително δ има такова n, че х_n и у_n принадлежат на O_δ(x₀). Това показва, че w_δ(r,x₀)≥ d за всяко положително δ. Сле­дователно j(r,x₀)≥d и поради това d(r)≥d.
За да завършим доказателството на теоремата, остава само да покажем, че съ­ществува ретракция r на T’ върху контура й T, за която d(r) = d₀. Такава ретракция ще получим като в примера изберем ∆XYZ така, че диаметърът му да е минимален измежду диаметрите на вписаните в Τ триъгълници. Теорема 2 е доказана. □

Заключение:

Математиката представлява съвкупността от знания, изучаващи понятия като количество, структура, пространство и промяна. Тя също би могла да се дефинира като наука, която се занимава с горепосочените понятия, с пространствените форми и количествените отношения.

Има някои вътрешни за математиката дисциплини, които служат за обосноваване на получените от нея резултати, за намиране и изучаване на общи за различните математически дисциплини закономерности и за подпомагането им. Такива са, например теорията на множествата, математическата логика, алгебрата, топологията и функционалният анализ.
От написаното дотук може да сме сигурни, че твърдението „всичко е математика” изцяло може да се изкаже и по отношение на пластичната хирургия. Видяхме, че чрез математиката и по-точно чрез топологията и чрез прилагането й пластичните хирурзи могат да направят и невъзможни неща за красяването на лицето и тялото ни.


Използвана литература:
Николай Хаджииванов. Минимален равностранен триъгълник, впи­сан в даден триъгълник. Математика, 1999, бр. 6, стр. 8 - 10.
Николай Хаджииванов. Теорема на Вайерщрас. Математика, 1999, бр. 6, стр. 14 - 18.
Николай Хаджииванов. Триъгълник с минимален диаметър, вписан в даден триъгълник. Математика, 2000, бр. 1, стр. 2.
Николай Хаджииванов. Лема за правоъгълника. Математика, 1999, бр. 3, стр. 29-30.
Николай Хаджииванов. Ретракции на триъгълна и правоъгълна области. Математика, 2 (2000), 2-12
Николай Хаджииванов. Кръгови ретракции. Математика, 3 (2000), 2-4.

Каталог: files -> files
files -> Р е п у б л и к а б ъ л г а р и я
files -> Дебелината на армираната изравнителна циментова замазка /позиция 3/ е 4 см
files -> „Европейско законодателство и практики в помощ на добри управленски решения, която се състоя на 24 септември 2009 г в София
files -> В сила oт 16. 03. 2011 Разяснение на нап здравни Вноски при Неплатен Отпуск ззо
files -> В сила oт 23. 05. 2008 Указание нои прилагане на ксо и нпос ксо
files -> 1. По пътя към паметник „1300 години България
files -> Георги Димитров – Kreston BulMar
files -> В сила oт 13. 05. 2005 Писмо мтсп обезщетение Неизползван Отпуск кт

Изтегляне 265.06 Kb.

Сподели с приятели: