Фигура 2 2 сл. Нека α= 90° Тогава AB е диаметър на окръжността и дъгата е полуокръжност с мярка 180 °, откъдето получаваме ∢ABC= α = (фигура 3) .
Фигура 3
3 сл. Нека α>90° Тогава ∢DBA=180°−α като съседен на ∢ABC. Така получаваме, че ∢ABO=90°−(180°−α)=α−90° , а ∢AOB=360°−2α. Следователно съответната дъга на ∢ABC има мярка 2α и ∢ABC = (фигура 4) .
Фигура 4 Така при доказателството получаваме ∢CBA= ∢AOB , т.е.
Периферният ъгъл е равен на половината от съответния му централен ъгъл . Задача 1. Равнобедреният △ABC(AC=BC) е вписан в окръжност k. Допирателната t в точка B сключва с правата AB ъгъл с мярка 50°. Да се намерят ъглите на триъгълника .
Решение : 1 случай
Нека △ ABC е остроъгълен . Тогава ∢ ABP= 50° и за вписания ъгъл ∢ACB и периферния ъгъл ∢ ABP имаме ∢ ACB = = ∢ABP=50°. За другите два ъгъла на △ ABC получаваме ∢ CAB = ∢ CBA = = 65° (фигура 5) .
Фигура 5 2 случай Нека △ ABC е тъпоъгълен. Тогава ∢ ABQ = 50° и съседният му ∢ ABP = 130°. Така за вписания ъгъл ∢ ACB и периферния ъгъл ∢ ABP имаме ∢ ACB = 2AB= ∢ ABP = 130° . За другите два ъгъла на △ ABC получаваме ∢ CAB = ∢ CBA = = 25°(фигура 6) ,
Фигура 6
Задача 2. Триъгълник ABC е вписан в окръжност k . Допирателната t в точка Cпресича правата AB в точка D, като B е между A и D. Да се докаже, че △ ADC e равнобедрен с основа AD, тогава и само тогава, когато △ CDB е равнобедрен с основа CD (фигура 7).
Решение :За вписания ъгъл ∢BAC и периферния ъгъл ∢BCD имаме ∢ ∢BAC= = ∢BCD 1. Ако △ADC e равнобедрен като AC=CD , то ∢ADC=∢DAC=∢BCD , следователно BC=BD, △BDC е равнобедрен.
2. Ако △BDC e равнобедрен, като BC=BD, то BCD=∢BCD=∢DAC=∢ADC , следователно AC=CD, т.е. △ADC е равнобедрен.
Фигура 7 Задачи за домашна работа, Зад.1 Правите DА и DB са допирателни към окръжността k, а точка C лежи на k. Кои от ъглите са периферни за окръжността (фигура 8 ) ?
Фигура 8 Решение : Според определението периферни са ъглите :
∢ CBQ , ∢ DAB , ∢ PAC , ∢ CBD .
Задача 2 Точките A и B лежат на окръжност k и дъгата има мярка 150 °. Намерете ъгъла, който допирателната към окръжността в точка A, сключва с правата AB.
Решение :
∢ KAB = =
∢ KAB = 75 °
Урокът е разработен от учебника по Математика за 7 клас на издателство „ АНУБИС “ .
