Рационални неравенства
Теорема: Ако двете страни на едно неравенство се умножат или разделелят с едно и също положително число, то се получава неравенство равносилно на даденото.
Теорема: Ако двете страни на едно неравенство се умножат или разделелят с едно и също отрицателно число и се посоката на знака на неравенството, то се получава неравенство равносилно на даденото.
Теорема: Ако към двете страни на едно неравенство се прибави или извади едно и също число или израз, то се получава неравенство, равносилно на даденото.
Квадратни неравенства
Теория
Нека f(x) = ax2 + bx + c , а х1 и х2 са корени на уравнението f(x) = 0.
-
|
a < 0
|
a > 0
|
D < 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 няма решения
f(x) > 0 няма решения
|
f(x) < 0 няма решения
f(x) = 0 няма решения
f(x) > 0 при
|
D = 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 = х2
f(x) > 0 няма решения
|
f(x) < 0 няма решения
f(x) = 0 при х = х1 = х2
f(x) > 0
|
D > 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 или х = х2
f(x) > 0 при
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 или х = х2
f(x) > 0 при
|
При решаване на квадратни неравенства е добре да се визуализира.
Задачи за подготовка
-
4.х2 – 20х + 25 > 0
Първо решаваме квадратното уравнение 4.х2 – 20х + 25 = 0
D = 0 => x1 = x2 = 2,5
Решенията на неравенството са
-
х2 – 5х + 4 ≥ 0
Решаваме квадратното уравнение х2 – 5х + 4 = 0
D = 9, x1 = 1; x2 = 4
Решенията на неравенството са отговор:
-
– х2 – 3х – 2 > 0
Решенията на квадратното уравнение са х1= – 1 и х2 = – 2 => отговора е
-
х2 + 4.х + 7 < 0
D = 16 – 4.7 = – 12 и коефициента пред х2 е положителен => неравенството няма решение.
-
– 2x2 + 3x – 2 < 0
D = 9 – 16 = – 7 и коефициента пред х2 е отрицателен => всяко х ще е решение на неравенството
6) – х2 + 14х – 45 > 0
-
Определете допустимите стойности на ирационалния израз:
а) отг.
б) отг.
в) отг.
г) отг.
8) Намерете стойността на параметъра а, за която неравенството:
а) х2 – а.х + 2 > 0 има решение за всяко х;
б) – х2 + (а + 1).х – 1 < 0 има решение за всяко х;
в) х2 – х + а < 0 няма решение.
Решение на 8 зад.
а) За да намерим параметъра а изпълняващо това условие, то D < 0
а2 – 8 < 0 ,
б) Коефициента пред х2 е (– 1) – отрицателен. За да е изпълнено неравенството за всяко х необходимо и достатъчно условие е D < 0
(a – 1)2 – 4 < 0
(a – 1 – 2)(a – 1 + 2) < 0
(a – 3)(a +1) < 0 =>
в) D ≤ 0
1 – 4а ≤ 0
а ≥ 0,25
Задачи за самостоятелна работа
Решете квадратните неравенства (1 – 10):
1) х2 – 5х + 4 ≤ 0 отг.
2) х2 – 10х + 9 > 0 отг.
3) х2 – 20х + 64 ≥ 0 отг.
4) 9х2 – 6х + 1 ≤ 0 отг.
5) 3х – х2 – 2 > 0 отг.
6) 3х – 3х2 – 7 ≥ 0 отг. Няма реални корени
7) х2 – 4х < 0 отг.
8) 9х2 – 12х + 4 ≤ 0 отг.
9) 4х2 – 17х + 1 > 0 отг.
10) х2 – 2х – 8 ≤ 0 отг.
11) Определете допустимите стойности на изразите:
а) отг.
б) отг.
в) отг.
12) За кои стойности на параметъра b е изпълнено неравенството за всяко х:
а) bх2 – х – 1 < 0
б) х2 + bх + 4 > 0 D < 0 ; b2 – 42 < 0 =>
в) (1 – bx)(x +2) ≥ 0 Има два възможни случая:
1) , където се вижда, че второто неравенство няма решение, следователно няма решение и цялата система.
2) ако D = 0 т. е. при b =
Метод на интервалите
Теория
Алгоритъм за решаване на неравенства от вида (х – х1)(х –х2)(х – х3).... < 0, където х1 ≠ х2 ≠ х3 ...
-
Определят се пресечните точки на графиката на функцията с асцисната ос. Решава се уравнението f(x) = 0
-
Нанасят се тези точки върху числовата ос
-
Избира се произволно число р принадлежащо на един от интервалите, например р
-
Определяме знака на f(p) , в останалите интервали знаците се сменят алтернативно.
-
Определяме решението – интервалите в които стойността на функцията е търсената от нас.
Задачи за подготовка
-
Решете неравенството (х – 1)(х – 2)(х – 4) > 0
х – 1 = 0 х – 2 = 0 х – 4 = 0
х = 1 х = 2 х = 4
Пресмятаме f(0) = (0 – 1)(0 – 2)( 0 – 4) = – 8 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.
Отг.
-
Решете неравенството: (х + 1)(х – 1)(3 – х) < 0
х + 1 = 0 х – 1 = 0 3 – х = 0
х = - 1 х = 1 х = 3
Най-удобно и лесно пресмятаме f(0), но това не е задължително, и не винаги е възможно
f(0) = (0 + 1)(0 – 1)( 3 – 0 ) = – 3 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.
Отг.
3) Решете неравенството: х (х – 2)(х + 2) ≥ 0
Решение:
х = 0 х – 2 = 0 х + 2 = 0
х = 2 х = – 2
Пресмятаме f(1), защото неможе да вземем х = 0
f(1) = 1.(1 – 2)(1 + 2) = – 3 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.
Отг.
4)Решете неравенството: (х – 4)(х + 3)(х – 1)2 ≥ 0
Решение:
(х – 1)2 ≥ 0 за всяко х, това означава, че от него знака на израза не зависи, но х = 1 е решение, това означава, че трябва да се включи в крайният резултат.
(х – 4)(х + 3) ≥ 0 и х = 1
х – 4 = 0 х + 3 = 0
х = 4 х = – 3
f(0) = (0 – 4)( 0 + 3) = – 12 < 0 => знака на f(x) при е отрицателен.
Отг.
5) Решете неравенството: х3 + х2 – 30х ≤ 0
Решение:
х(х2 + х – 30) ≤ 0
х(х – 5)(х + 6) ≤ 0
f(1) = 13 + 12 – 30.1 = -28 <0 =>
Биквадратните неравенства от вида ах4 + bx2 + c < 0 се решават по същият метод.
6) Решете неравенството: х4 – 13х2 + 36 < 0
Решение:
(х2 – 4)(х2 – 9 ) < 0
(х – 2)(х + 2)(х – 3)(х + 3) < 0
f(0) = (0 – 2 )(0 + 2)( 0 – 3)(0 + 3) = 36 > 0 => знака на f(x) при е положителен.
Отг.
7) Решете неравенството: х4 – 5х2 + 4 ≥ 0
Решение:
(х2 – 4)(х2 – 1 ) ≥ 0
(х – 2)(х + 2)(х – 1)(х + 1) ≥ 0
f(0) = (0 – 2 )(0 + 2)( 0 – 1)(0 + 1) = 4 > 0 => знака на f(x) при е положителен.
Отг.
Задачи за самостоятелна работа
1) (х – 3)(х + 5) < 0 отг.
2) х (х + 2) ≥ 0 отг.
3) (х - )(3 – 2х) ≤ 0 отг.
4) х2 – х – 2 ≥ 0 отг.
5) 4х2 – 3х + 2 < 0 отг.
6) х3 – 25х > 0 отг.
7) 7х – х3 ≤ 0 отг.
8) (х +2)2(х – 1)(х – 3) ≥ 0 отг.
9) (х – 2)(х – 1)2(х – 3) ≤ 0 отг.
10) х4 – 20х2 + 64 ≤ 0 отг.
11) (х2 – 9)(х2 – 64) ≥ 0 отг.
12) х4 – 29х2 + 100 ≤ 0 отг.
13) 2х3 – х2 + х – 2 > 0 отг.
14) 5х4 – 26х3 + 26х – 5 ≤ 0 отг.
Дробни неравенства
Теория
Неравенство което съдържа неизвестно в знаменателя се нарича дробно неравенство.
Множеството от допустими стойности на дробното неравенство изключва стойностите в които се анулира знаменателя.
Задачи за подготовка
1) Определете множеството от допустими стойности на изразите:
а)
решение: х – 1 ≠ 0
х ≠ 1 = > Множеството от допустими стойности е
б)
Решение: х2 – 2х ≠ 0
х(х – 2) ≠ 0
х ≠ 0 и х ≠ 2 =>
2)Да се реши неравенството:
Решение:
Нанасяме х = – 2 и х = – 0,5 върху числовата ос. Пресмятаме при х = 0 за определяне на знака на дробният израз в интервала в който се намира тази стойност.
Отг.
-
Решете дробното неравенство :
Решение:
ДС х ≠ 3 и х ≠ - 4
(х +2)2 ≥ 0 за всяко х и не променя знака, но х = – 2 не е решение ( защо?)
Отново заместваме с х = 0 за да определим знака в интервала (- 4; 2)
Отг.
-
Да се решат неравенствата:
а) б)
Решение:
а)
ДС
При х =0 се получава следния резултат за израза => знака на израза в интервала е отрицателен.
Отг.
б)
ДС х ≠ 1; х ≠ 3
т.к. (х – 2)2 ≥ 0 за всяко х => (х – 1 )(х – 3) > 0
при х = 0 изразът е с положителна стойност
Отг.
Задачи за самостоятелна работа
Решете дробните неравенства:
1) отг.
2) отг.
3) отг.
4) отг.
5) отг.
6) отг.
7) отг.
8) отг.
9) отг.
10) отг.
Други неравенства
Задачи за подготовка
1 зад. Решете системата от неравенства:
Решение:
Отг.
2 зад. За коя стойност на параметъра а квадратното уравнение х2 – 2(а + 1)х – 3а = 0 има реални и различни корени
Решение:Квадратното уравнение има два реални различни корена когато D > 0
(а + 1)2 – ( – 3а) > 0
а2 + 2а + 1 + 3а > 0
а2 +5а + 1 > 0
D = 25 – 4 = 21
а1 = ;
отг.
3 зад. Решете модулното неравенство :
Решение:
Задачи за самостоятелна работа
1) отг.
2) отг.
3) отг. Няма решение
4) отг.
5) Определете за кои стоиности на параметърът b квадратните уравнения нямат реални корени:
а) bx2 + 2bx – 3 = 0 отг.
б) х2 – (b + 4)x + b – 1 = 0 отг. Не съществува, такова b
ТЕСТ
Решете неравенствата (1 – 4):
-
4 – х2 ≥ 0
а) б) в) г)
2)
а) б) в) г)
3) х4 – 8х2 + 7 ≥ 0
а) б) в) г)
4) (х – 1)х(х + 2) > 0
а) б) в) г)
5) Кое от неравенствата има решение
а) б) в) г)
6) Решения на системата са:
а) б) в) г) 0>
Сподели с приятели: |