Въпрос5 - -
Теореми за средните стойности(Рол, Лагранж и Коши).
Формула на Тейлор.
Дефиниция. Ще казваме, че функцията f(x) има локален максимум в някоя вътрешна точка от своята дефиниционна област, когато съществува такава околност на съдържаща се в дефиниционната област на f(x), че за всяко от тази околност да имаме f(x).
Аналогично f(x) ще има локален минимум в точката , когато тя е вътрешна за дефиниционната област на функцията и когато за всяко от някоя околност на точката е изпълнено неравенството f(x).
Локалните максимуми и локалните минимуми ще наричаме с общото име локални екстремуми.
Теорема на Ферма. Ако функцията f(x) е диференцуема в една вътрешна точка от своята дефиниционна област и ако тя има локален екстремум в тази точка, то
Доказателство: Нека f(x) има локален максимум в точката (случаят с локален минимум е аналогичен). Тогава f(x), за всяко от някоя околност на точката . Щом f(x) е диференцуема в то тя притежава както лява, така и дясна производна в тази точка и при това те са равни на производната в нея (вж w4). Нека сега да ги разгледаме:
, a .
Виждаме, че за и същеременно часното , тъй като a , т.е. .За и същеременно ,, защото а и следователно .
Но както казахме . И така имаме едновременно и .
Теорема на Вайерщрас. Ако една функция е непрекъсната в крайния и затворен интервал , то тя притежава една най-голяма и една най-малка стойност.
Теорема на Рол. Ако една функция е непрекъсната в крайния и затворен интервал и е диференцуема в отворения интервал и ако освен това , то съществува поне една точка , намираща се между а и b, за която
Доказателство: Тъй като е непрекъсната в един краен и затворен интервал, то тя е ограничена. Да означим съответно с L и l точната и’ горна и долна граница в интервала , те се достигат, както знаем от теоремата на Вайерщрас.
Ако l=L то от , за , ще бъде константа в и нейната производна ще бъде нула за и теоремата ще бъде доказана.
Нека lL. От теоремата на Вайерщрас следва, че съществуват две точки и и, като поне една от тях принадлежи на интервала . В противен случай или обратното и от получаваме, че l=L, случай който вече разгледахме.
Нека е вътрешна за . От следва, че функцията има локален минимум в тази точка, поради което съгласно теоремата на Ферма ще имаме, че и теоремата ще бъде доказана.
Нека е крайна за , тогава ще бъде, както вътрешна, така и точка на локален максимум и следователно пак от теоремата на Ферма ще имаме, че .И така във всички случаи съществува точка , за която
Теорема на Лаганж(за крайните нараствания). Ако функцията е непрекъсната в крайния и затворен интервал и е диференцуема в отворения интервал, то съшествува поне една точка , за която
Доказателство: Да въведем Функцията е непрекъсната в интервала и диференцуема в интервала , като при това и Получихме, че удовлетворява всички условия на теоремата на Рол и следователно ще съществува поне една точка , за която Но
Теоремата е доказана.
Теорема на Коши(обобщена теорема за крайните нараствания). Ако функциите и са непрекъснати в крайния и затворен интервал и диференцуема в отворения интервал и ако за то съществува поне една точка , за която
Доказателство: Да отбележим, че знаменателят тъй като в противен случай и би удовлетворявала условията в теоремата на Рол и би следвало, че съществува точка , за която , което е противоречие с условието за Образуваме си помощната функция И е непрекъсната в интервала и диференцуема в интервала , като при това и И тук удовлетворява условията на теоремата на Рол и следователно ще съществува тогава някаква точка , за която т.е.
Теоремата е доказана.
Следствие(което ще използваме за формулата на Тейлор): Нека и са две функции, дефинирани и пъти диференцуеми в някоя околност D на една точка , като при това ,,......, при Да предположим освен това, че
,
Тогава за ,но имаме където .
Доказателство: Като вземем предвид, че и прилагаики теоремата на Коши получаваме където .Сега от ще имаме където следователно и .
И така, като продължим в същия дух на разсъждения, прилагайки пъти теоремата на Коши ще достигнем до равенството където .
Формула на Тейлор
Нека Вземем един полином от -та степен
(1)
Да го диференцираме последователно пъти, получаваме
Като заместим в горните равенства с 0, ще получим
Т.е. коефициентите на полинома се изразяват чрез стойностите на и неговите производни в точката 0. Това означава, че (1) може да се запише във вида:
(3)
Нека сега да приемем произволна точка а да играе ролята на точката 0. За целта да положим и Функцията
е полином на променливата h от n-та степен и от (3) ще имаме
(4)
От друга страна,
и следователно
Което ни дава право да запишем равенство (4) във вида:
(5)
или което е все едно, така:
(6)
Равенство (5), както и равносилното му (6), се нарича формула на Тейлор. Защо е интересна тази формула? Интересна е защото може да бъде видоизменена по такъв начин, че да запази своята сила не само за полиноми, но и за твърде широка категория от функции.Това е така, тъй като е верна следна
Теорема на Тейлор: Нека функцията притежава първа, втора и т.н. до -ва производна в някоя околност на точката а.Ako е една точка от тази околност, то валидно е равенството
където .
Доказателство: Образуваме си функцията
Диференцираме и получаваме
Ясно е тогава, че
Да разгледаме също и функцията за нея имаме производните
Следователно Сега да си припомним следствието от теоремата на Коши и да го приложим за функциите и , получаваме където . Като вземем предвид, че и получаваме
или най сетне
където .
Това равенство се нарича обща формула на Тейлор. Събираемото
Се нарича остатъчен член във формата на Лагранж и се бележи с . Ако е полином от n-та степен то за всяко , така че остатъчният член ще изчезне.
Формулата на Тейлор има и модификация. Да положим и a . Сега получаваме
това също е формула на Тейлор.
При формулата на Тейлор се нарича формула на Маклорен
където .
Остатъчен член във формата на Коши
Нека за функцията е валидана формулата на Тейлор. Както вече знаем остатъчният член във формата на Лагранж има вида Ще покажем, че ако e непрекъсната в разглежданата околност на точката а, може да се запише във вида
(7) .
Наистина, инрегрираики последователно по части, имаме
=
Но
и ще имаме за следното
от тук следва и исканото равенство (7).
Нека сега към интеграла в (7) приложим теоремата за средните стоиности и ще получим, че
където . Нека и ще имаме тогава или, ако
Когато използуваме този начин на записване и изразяване на , казваме, че сме записали остатъчния член във формата на Коши.
Сподели с приятели: |