Теория криволинеен интеграл от първи род
Изтегляне 51.71 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- ТЕОРИЯ Криволинеен интеграл от първи род.
- Криволинеен интеграл от втори род.
- ЗАДАЧИ Задача 1
- Задача 2
- Задача 4.
| §3. Задачи от пресмятане на криволинеен интеграл
Съдържание 1. Непосредствено пресмятане на криволинеен интеграл от първи и втори род. 2. Привеждане на криволинеен интеграл по затворен контур към пресмятане на двоен интеграл по формулата на Гаус.
Рис. 1.
Тогава дължината на участъка от кривата от началната точка  до точката  се дава от формулата
Криволинейният интеграл от първи род от функцията 
Нека гладката крива  .
Криволинеен интеграл от втори род. Нека е дадена гладката крива  с параметрично уравнение  ,  , което в разгърнат вид изглежда по следния начин
Когато във всяка точка  на едно множество  е определен вектор  , то се казва, че в е зададено векторно поле с координати  ,  и  . Ако върху ориентираната гладка крива е зададено векторното поле  , то можем да образуваме скаларното произведение
 .
Рис. 2.
Криволинеен интеграл от втори род от векторното поле  върху гладката крива се нарича криволинейният интеграл от първи род от скаларното произведение  , т.е.
означава се 
Нека  .
Нека 
не зависи от пътя  ,
за всяко ЗАДАЧИ Задача 1. Да се решат линейните интеграли от първи род: 1.1. 
където 
лежаща в първи квадрант . 1.2. 
където  .
1.3. 
където 
лежаща в първи октант. Решение. 1.1. Параметричните уравнения на елипсата са 
и в първи квадрант 
и заместваме  
1.2. От векторно-параметричното уравнение на линията определяме 
и чрез тях  .
За да се опише първата извивка на винтовата линия, трябва 
1.3. Четвъртината от окръжността
лежаща в първи октант е част от окръжността, получена от сечението на сферата 
с равнината 
Тогава
Задача 2. Да се пресметнат линейните интеграли от втори род: 2.1.  ,
където 
2.2. 
където 2.3. 
по линията  .
Решение. 2.1. Заместваме  и  с дадените в уравнението на кривата изрази и решаваме получения определен интеграл
2.2. Съставяме каноничните уравнения на правата 
и чрез тях параметричното представяне на отсечката  , 
Тогава
2.3. Намираме сечението на двете повърхнини (централна сфера и кръгов цилиндър) като заместваме в първото уравнение  . Получава се  . Тогава  и  , което означава, че сечението е окръжност, лежаща в равнината с уравнение .
Пишем параметричните уравнения на тази окръжност 
и свеждаме дадения криволинеен интеграл към определен интеграл. 
Задача 3. Да се докаже, че линейния интеграл 
не зависи от пътя , а само от началната точка  .
Решение. Проверяваме изпълнено ли е условието за независимост на интеграла от пътя, т.е. вярно ли е, че  .
Вижда се, че получените частни производни са равни. Тогава даденият интеграл не зависи от пътя 
Задача 4. Да се пресметнат дадените линейни интеграли, като предварително се установи, че те не зависят от пътя на интегриране: 4.1. 
4.2. 
Решение. 4.1. Пресмятаме  ,  .
Вижда се, че
Следователно линейният интеграл не зависи от пътя, а само от началната и крайната точка на пътя. Намираме потенциалната функция на полето 
Изчисляваме дадения интеграл като разлика от потенциалите на крайната и началната точка. 
4.2. Решава се аналогично. Отговор 
Задача 5. Проверете дали дадените изрази представляват пълни диференциали на функции на две променливи и ако е така, намерете тези функции: 5.1. 
5.2. 
Задача 6. Да се пресметне непосредствено и чрез формулата на Гаус линейния интеграл 
където 
в първи квадрант. Решение. 1) Непосредствено намираме 
2) Чрез формулата на Гаус 
Каталог: NVUMathLectures -> JORGOV-EXERCISES -> VM-3 VM-3 -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание VM-3 -> Задачи от степенни редове Съдържание VM-3 -> §17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс Съдържание VM-3 -> §18. Задачи от случайни величини Съдържание Изтегляне 51.71 Kb. Сподели с приятели:
|
и крайна точка 
(Рис1).
върху гладката крива 
, 
и нека векторното поле 
е 
. Тогава е в сила равенството (формула на Грийн) 
е едносвързана област, а функциите 
и 
имат непрекъснати частни производни в 
тогава и само тогава, когато 
. 
е дъгата от елипсата
. Намираме 
. Тогава
. Заместваме в дадения интеграл. Тогава 
. Намираме параметрични уравнения на тази окръжност като полагаме 
. Тогава от 
. За да се опише дъга от окръжността в първи октант, трябва 
и край точка 
.
. Да се намери потенциалната функция на полето с представител
, а зависи само от началната точка 
е точка от потенциалното поле на 
. Тогава потенциалната функция спрямо нея ще е