Зависимости между питагоровите тройки и степените на простите числа

инж. Иван Здравков Демиров*

*Технически Университет – гр. Варна, ул. „Студентска” № 1,

Е-mail: ivan_demirov@abv.bg

1.1 Когато степента е четна , например d = p^2m, където p е просто число. Тогава получаваме за b² = p^2m (2a + p^2m). Полагаме 2a + p^2m = k² (k > p^m; k е нечетно положително число) и получаваме

(1.1) b = p^m.k; a = (k² - p^2m ) / 2; c = (k² + p^2m ) / 2.

1.2 Да разгледаме и случая , когато p е на нечетна степен ; d = p^2m+1

b² = p^2m+1.(2a + p^2m+1). За да бъде точен квадрат , трябва a = s.p (s е естествено число); b² = p^2m+2 (2s + p^2m ). Полагаме 2s + p^2m = k² (k > p^m; k е нечетно положително число) и получаваме: s = (k² - p^2m) / 2 , оттук следва:

(1.2) b = p^m+1.k; a = p.(k² - p^2m ) / 2; c = p .(k² + p^2m ) / 2.

Този резултат се получава от (1.1.) като го умножим с p.

Когато p = 3, а m = 0 получаваме задача 3, стр. 70 [1].

2.1 Тук разглеждаме първо случая с нечетна степен. Нека d = 2²ⁿ⁺¹ и получаваме за b² = 2²ⁿ⁺² (a + 2²ⁿ ). Полагаме a + 2²ⁿ = k² (k > 2ⁿ) и получаваме:

(2.1) b = 2ⁿ⁺¹.k; a = k² - 2²ⁿ; c = k² + 2²ⁿ.

Когато n = 0 получаваме задача 2, стр. 70 [1]; при n = 1, получаваме задача 6, стр.71 [1].

2.2 Нека сега степента е четно число : d = 2²ⁿ⁺² , тогава b² = 2²ⁿ⁺² ( 2a + 2²ⁿ⁺² )

b² = 2²ⁿ⁺³ ( a + 2^{2n + 1} ). За да бъде точен квадрат трябва a = 2.s (s е естествено число); b² = 2²ⁿ⁺⁴ ( s + 2²ⁿ ). Полагаме s + 2²ⁿ = k² (k > 2ⁿ) и получаваме:

(2.2) b = 2ⁿ⁺². k; a = 2 (k² - 2²ⁿ); c = 2 (k² + 2²ⁿ).

Този резултат се получава от (2.1.) като го умножим с двe.

3.1 Нека d = 2²ⁿ⁺¹. p^2m, тогава получаваме за b² = 2²ⁿ⁺¹. p^2m (2a + 2²ⁿ⁺¹. p^2m) = 2²ⁿ⁺².p^2m.(a + 2²ⁿ.p^2m). Полагаме a + 2²ⁿ.p^2m = k² (k > 2ⁿ.p^m) и получаваме :

(3.1) b = 2ⁿ⁺¹.p^m.k; a = k² - 2²ⁿ. p^2m; c = k² + 2²ⁿ. p^2m.

3.2 Нека d = 2²ⁿ⁺².p^2m; получаваме b² = 2²ⁿ⁺².p^2m.(2a +2²ⁿ⁺². p^2m); => b² = 2²ⁿ⁺³.p^2m.(a + 2²ⁿ⁺¹.p^2m). За да получим точен квадрат трябва a = 2s (s е естествено число).

b² = 2²ⁿ⁺⁴.p^2m.(s + 2²ⁿ. p^2m ) ; полагаме s + 2²ⁿ. p^2m = k² (k > 2ⁿ.p^m) и получаваме:

(3.2) b = 2ⁿ⁺².p^m.k; a = 2.(k² - 2²ⁿ. p^2m); c = 2.(k² + 2²ⁿ.p^2m).

Този резултат се получава от (3.1.) като умножим с две.

3.3 Нека d = 2²ⁿ⁺¹.p^2m+1 ; тогава b² = 2²ⁿ⁺¹. p^2m+1.(2a + 2²ⁿ⁺¹. p^2m+1); b² = 2²ⁿ⁺². p^2m+1.(a + 2²ⁿ. p^2m+1). За да стане точен квадрат трябва a = p.s (s е естествено число).

b² = 2²ⁿ⁺². p^2m+2 ( s + 2²ⁿ. p^2m ) ; полагаме s + 2²ⁿ. p^2m = k² (k > 2ⁿ.p^m) и получаваме:

(3.3) b = 2ⁿ⁺¹. p^m+1.k; a = p.(k² - 2²ⁿ. p^2m ); c = p.(k² + 2²ⁿ. p^2m).

Този резултат се получава от (3.1) като се умножи с p.

3.4. Нека d = 2²ⁿ⁺².p^2m+1; => b² = 2²ⁿ⁺².p^2m+1.(2a + 2²ⁿ⁺².p^2m+1) = 2²ⁿ⁺³.p^2m+1.(a+2²ⁿ⁺¹.p^2m+1), оттук следва, че a = 2.p.s, за да има точен квадрат (s е естествено число); b² = 2²ⁿ⁺⁴.p^2m+2.(s + 2²ⁿ.p^2m) правим полагане: s + 2²ⁿ. p^2m = k² (k > 2ⁿ.p^m) и получаваме:

(3.4) b = 2ⁿ⁺².p^m+1.k; a = 2p.(k² - 2²ⁿ.p^2m); c = 2p.(k² + 2²ⁿ.p^2m).

Този резултат можем да получим от (3.1) като умножим с 2p , а може да се получи и от (3.2) като умножим с p , можем и от (3.3) като умножим с две.

Oт приложената таблица се вижда, че когато разликата d между катета и хипотенузата се увеличава, разликата между двата катета намалява. Тази зависимост се запазва дори и при големи стойности на k.
Литература:

1. Математика, информатика и образование, ВСУ "Черноризец Храбър", 2007г, стр. 69 –74.