1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността

В това занятие първо въвеждаме по същество теоремата на Ферма, а след това излагаме нейното доказателство.

• 
  В това занятие целим да дадем възможност на студентите:
  
• 
  Да изведат хипотеза за твърдението в теоремата на Ферма и използвайки символно и графично представяния да достигнат до формулировката на теоремата и накрая до нейното доказателство.
  
• 
  Да разберат необходимостта на условията на теоремата.
  
• 
  Да разберат, че обратната теорема не е вярна.
  
• 
  Да използват теоремата за намирането на точки, в които е възможен локален екстремум.
  

С помощта на графики локалните екстремуми на функциите се свързват с наклона на допирателната към графиката в съответната точка, така че учениците да могат да се подготвят сами да направят предположение за твърдението на теоремата. Тогава с дефиницията локалният максимум се свързва с наклона на хордите на графиката, с фиксиран един край в точката на локален максимум. Тази процедура логично води до наклона на допирателната в точката на локален екстремум и следователно до доказателството на теоремата. С помощта на примери и контра-примери изтъкваме необходимостта на условията на теоремата и подчертаваме това, че обратната теорема не е вярна. Накрая разглеждаме възможностите, които теоремата предлага за намирането на потенциалните точки на локален екстремум.

В зависимост от конкретните дидактични цели, това занятие може да се използва или в настоящата му форма или с някои съкращения, например изпускайки самото доказателство на теоремата. За провеждането на занятието е необходим един час.

която описва броя на популацията в стадо елени в зависимост от времето? Разгледайте формата на графиката и точките, в които има локален екстремум.

Очакваме учениците да локализират локалните екстремуми на функцията, да определят вида на екстремума (локален минимум или локален максимум) и да установят абсцисите на кои от тези точки са вътрешни за интервала.

В2: Какво свойство спрямо кривата на графиката смятате, че притежава хоризонталната права , минаваща през точка на локален екстремум по графиката?

Очакваме учениците да забележат, че когато правата минава през екстремална точка от графиката, то в околност на тази точка правата има единствена обща точка с графиката.

В3: Какво допълнително свойство, свързано с графиката смятате, че притежава правата , когато тя минава през вътрешна точка на локален екстремум?

Предишното заключение от В2 заедно с допълнителното свойство на локална “изправеност” на кривата (изразяващо се в това, че увеличената в областта на локалния екстремум крива изглежда като съвпадаща с правата ) може да доведе до свързване по естествен начин на задачата за екстремум с понятието допирателна.

По-нататък следва изследване на графиката с използване на инструмента Tangent (Допирателна) и проследяване на наклона на допирателната, когато точката на допиране се движи по кривата.

Щракнете бутона Tangent (Допирателна), за да се появи допирателната към графиката в дадена точка, както и брояч, регистриращ стойностите на наклона (ъгловия коефициент) на допирателната, т.е. скоростта на изменение на функцията.

След това можете да наблюдавате стойностите на наклона на допирателната в различни точки от графиката, като мените абсцисата на точката на допиране.

В4: Какво установявате за наклона на допирателната в точките на локален екстремум?
Учениците експериментират, местейки допирателната по графиката като менят абсцисата на точката на допиране и в същото време наблюдават промяната на стойностите за наклона, отчитани от брояча. Ние очакваме те да забележат, че във вътрешните точки на екстремум (с абсциси, които са вътрешни точки за разглеждания интервал) наклонът на допирателната става нула и това да ги наведе на размисъл за наблюдавания феномен. Целта е учениците да достигнат до формулирането на хипотеза за теоремата на Ферма, както и проверка на нещата в крайните точки на интервала. На това място учителят може да използва време, за да провокира дискусия в класа, така че учениците да изразят свои мнения или предположения.

Допирателната като граница на секущи може да провокира дискусия за наклона на хордата ΑΜ и знака на диференчното частно .

Функцията притежава локален максимум във вътрешната точка , в която е диференцируема.

В програмата щракнете бутона Secant (Секуща), за да се появи хорда към графиката с краища в максимума и в произволна друга точка с , както и броячът за наклона на хордата .

Като мените абсцисата на втората точка А местете тази точка по графиката, като задържате достатъчно близко до .
В5: Какво установявате за знака на наклона на хордите ΑΜ, когато x се приближава към отляво (с по-малки стойности) без да достига до ?

Очаква се учениците да забележат, че наклоните остават постоянно положителни, когато се приближава много близо до с по-малки стойности. Учителят може да обясни на учениците по какъв начин биха могли да променят различни десетични знаци в абсцисата на точката M.

Очакваме учениците, със или без помощта на учителя, да напишат диференчното частно .

Очаква се учениците да вземат под внимание дефиницията на локален максимум, т.е. че за всяко от околност с център в , както и че , за да докажат че диференчното частно е неотрицателно.

В8: Какво може да твърдите за границата на наклоните на хордите ΑΜ, когато x клони към със стойности по-малки от ?

Очакваме учениците до достигнат до заключение, че тази граница е неотрицателно число. На това място може да се припомни съответната теорема от материала за граници на функции:

«Ако за реалната функцияе в сила в околност на точката и границата съществува и е реално число, то ».

В9: До какъв извод за границата може да достигнете с помощта на предишната теорема и отговора на въпроса В8?

Очаква се учениците да достигнат до заключението, че .

В10: В съотвестствие с предишните разсъждения какво можете да изведете за границата ?

Очаква се учениците да достигнат до заключението или/и да докажат, че .

В11: Какво може да заключите за стойността на производната на в точката ?

Очаква се учениците да заключат, че .

В12: Ако в точка функцията притежава локален минимум, какво може да заключите за стойността на производната на в точката ?

Очакваме, че с помощта на софтуера учениците ще забележат, че производната става нула във всички вътрешни точки на локален екстремум. Следователно може да се бъде зададен следният общ въпрос:

На същата графика учениците могат да отбележат, че заключението от В11 не е непременно вярно, когато екстремумът се достига в крайна точка на дефиниционния интервал. Така че предишният въпрос може да се преформулира така:

Очаква се учениците да формулират теоремата на Ферма.

Функцията в може да се предложи като контра-пример.

На това място учителят може да инициира дискусия за смисъла на понятията необходимо условие и достатъчно условие. Целта е учениците да вникнат в това, че теоремата дава необходимо, но не и достатъчно условие за локален екстремум. А именно, твърдението в теоремата е, че вътрешна точка от дефиниционната област на дадена функция, в която производната е нула, е възможна (може да бъде) точка на локален екстремум.

Очакваме учениците да разгледат функция, чиято графика има рогова точка, съответстваща на вътрешна за дефиниционната област точка. Функцията представлява прост характерен пример за това.

Очакваме учениците да посочат като възможни точки на екстремум вътрешните точки на интервала, в които производната е нула, точките, в които функцията не е диференцируема, както и крайните точки на интервала, които са от дефиниционната област.

В21: Можете ли да намерите точките, в които е възможен локален екстремум на функцията в ?

Изследвайте дали притежава глобални екстремуми и кои са те.

За да проверите резултатите си може да сравните с графиката на функцията.

Учениците трябва да намерят производната на функцията и нейните нули. Това може да се направи с факторизация или с правилото на Хорнер. Крайните точки трябва също да се посочат като възможни точки на екстремум. На отделните стъпки учениците могат да сравняват с графиката на функцията за проверка на пресмятанията си. След това с прилагане на теоремата на Вайерщрас (за максималната и минималната стойност) се гарантира съществуването на глобален максимум и минимум на функцията. Те са в тези точки на възможен екстремум, в които функцията взема най-голяма и най-малка стойност съответно.


4.4 Активност :Теорема за средните стойности в диференциалното смятане
Съдържание на активността

Тази активност запознава с Теоремата за средните стойности (ТСС)² в диференциалното смятане без доказателство.

С тази активност целим учениците:

да достигнат чрез изследване на конкретни примери и на възможностите за обобщаването им до предпоставките в Теоремата за средните стойности.

да разгледат необходимите предпоставки в ТСС и да схванат, че точката , която съществува съгласно теоремата, не е единствена.

да са в състояние да формулират теоремата.

Методология на активността

Логическата структура на активността е следната:

Най-напред разглеждаме връзката между средна и моментна ско­ро­ст в задача за движение. Поради графичната интерпретация на та­зи връзка, наклонът на хорда е свързан с наклона на допирателната в ня­коя точка. След това, изследваме необходимите условия за об­об­ща­ване на тази връзка и дали получената точка е единствена. Това во­ди до типичната формулировка на теоремата. Доказателството на тео­ремата не е включено, защото обикновено не се преподава в учи­лищ­ния курс.

Връзка на активността с учебната програма

Тази активност запознава с Теоремата за средните стойности без до­казателство и може да се използва при обучението в средното учи­лище.

Оценка за необходимото време: един учебен час.

4.4.1 Работeн лист (Анализ)

Наклон на хорда и допирателна: Теорема за средните стойности
ЗАДАЧА

Движението на влак се описва от функцията y = s(t), чиято графика е дадена на следващата фигура. Независимата променлива t представлява времето на движение на влака, а зависимата променлива s(t) – разстоянието, изминато от влака до момента t.

Отворете файла 4.4.1.activity.en.euc.

В1: Можете ли да оцените средната скорост на влака за времевия интервал , където t₁ = 2 сек и t₂ = 6 сек ?

Интуитивен отговор на учениците ще е задоволителен.

Целта е учениците да достигнат до извода, че във всеки интервал същест-вува момент , така че или че , къ­дето означава моментната скорост в , а - средната скорост в ин­тер­вала .

Тук, с помощта на предишните въпроси, а също така с подкрепата на учителя, очак­ваме учениците да достигнат до геометрична интерпретация на ТСС, из­ползвайки терминологията на задачата (средна скорост, моментна скорост – нак­лон на секущата, наклон на допирателната).

Използвайки като начална точка двете различни понятия за средна скорост и мо­ментна скорост, учителят би могъл, възможно – с използването на някои ин­туитивни отговори на учениците - да подпомогне формулирането на хипотеза за ТСС. Това може да послужи за мотивация на учениците за по-нататъшен анализ и из­следвания.

В7: Можете ли да обобщите заключението на В5 за функция f, дефинирана в интервала [x₁ , x₂]?

Каква е съответстващата формулировка?

Отворете файла 4.4.2­.activity.en.euc и натиснете появилите се бу­тони, за да видите графичната среда.

С помощта на съответните бутони мо­жете да направите така, че да се по­яви графиката на функцията, хордата ΑΒ и случайна точка от гра­фиката, а също така и допирателната в тази точка. Чрез про­мя­на на абсцисата можете да дви­жите точката върху графиката на функ­цията и да правите заключения за наклона на допирателната към графиката и на хордата ΑΒ.

В8: Чрез движение на точката на допиране G между точките A и B, можете ли да проверите дали има точка от дефиниционната област на функцията, която удовлетворява предположението от В6?
Учениците експериментират с графиките на определени функции, като се опит­ват да си изяснят дали има точка между A и B, в която допирателната да е успоредна на хордата AB. Очаква се учениците да си изяснят графично ТСС и това ще помогне в остатъка на активността. Ще отбележим, че за да се получи ра­вен­ство на двата наклона, трябва да се направят промени в точността, с която се да­ва абсцисата на точката .

Учителят трябва да помогне на учениците в техническата работа как те могат да променят броя десетични знаци, с които се задава точка.

После учениците могат да променят формата на графиката на функцията чрез промяна на нейните параметри или дори крайните точки , за да се уверят, че нак­лоните могат да станат равни във всички различни случаи.