1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността

Активността започва с разглеждането на понятието допирателна към окръжност, познато на учениците от уроците по евклидова геометрия (планиметрия). Познатите от преди свойства на допирателната към окръжност, като права, “която има само една обща точка с окръжността” или “която е перпендикулярна на диаметъра през точката” се свързват с други свойства, които се обобщават за произволна крива, като свойството на “най-добро линейно приближение към кривата в точката” или на “гранично положение на секущите”. За интуитивен подход към тези свойства, които са нови за учениците, се използват “локално изправяне” и “ локално увеличение” на кривата. Такъв нов подход дава възможност за преход към общото определение на допирателна права и оттам към въвеждането на понятието производна на функция в точка.

За да се мотивира изучаването на нови свойства на допирателната от учениците се иска да проверят истинността на следното твърдение:

«Ако имаме окръжност и нейната допирателна в точката Α от нея, не съществува полуправа Αx , която лежи между допирателната и окръжността.»

Това твърдение представлява опростена версия на свойството на допирателната, описано в предложение ΙΙΙ16 от «Елементите» на Евклид и гласи:

“Правата линия, перпендикулярна на диаметър на окръжност­та, прекарана през неговия край, лежи вън от кръга, и в областта между правата и окръжността не може да се разположи друга права; освен това ъгълът при полу­ок­ръж­ност­та е по-голям, а оставащият ъгъл – по-малък от всеки остър праволинеен ъгъл (с рамена полуправи).”¹

Дейността може да се раздели на три стъпки. Първата е изложена в контекста на евклидовата геометрия (планиметрията), във втората се прави преход към подхода, използван в Математическия анализ, с оглед на въвеждането на понятието производна и накрая третата стъпка е посветена на разглеждането на точки, в които функцията не е диференцируема.

При завършването на първата стъпка учениците трябва да са разбрали, че допирателната към окръжността в дадена точка Α граничното положение на секущите ΑΒ, когато Β се приближава към Α, както и че частта от окръжността в малка околност на точката Α изглежда съвпадаща със своята допирателна.

Втората стъпка представлява изследване на свойствата, установени при първата стъпка. Отначало се изследва полуокръжността, разглеждана като графика на функция. Целта е да се направи преходът от геометричния към аналитичния контекст, както и да се подпомогнат учениците при намирането на уравнението на допирателната. След това учениците се занимават с допирателна към графиката на функция и се въвежда понятието производна. След завършването на втората стъпка учениците трябва да са разбрали определението на понятието производна на функция в точка и трябва да са установили връзката между производната в точка и наклона на допирателната към графиката в съответната точка. Накрая, в третата стъпка учениците изследват графиките на функции, които не са диференцируеми в някои точки. Освен това, с увеличаване на участък от графиката се опитваме да визуализираме липсата на “гладкост” в точка от графиката в този участък.

В края на третата стъпка учениците трябва да могат да разпознават кога дадена функция е или не е диференцируема в дадена точка. По-специално, те трябва да знаят, че ако при увеличение на графиката около съответната точка тя изглежда като права линия, то функцията е диференцируема в точката.

В добавка към въведената по-горе активност са разработени няколко работни листа, които дават възможност на учениците да изследват различни аспекти на диференцирането. При реализацията на тази дейност използваме EucliDraw среда, която предлага инструменти за динамична манипулация на геометрични форми и функции, зададени аналитично. За втората и третата стъпка компютърната среда е подготвена предварително, което определено е предимство, защото учениците получават възможност да се концентрират върху задачите от работния лист 4.1.1. Ако учениците познават EucliDraw средата предварително, то и през първата стъпка те могат сами да реализират конструкциите, които се изискват в съответните работни листове. В противен случай може да им се предостави подготвената предварително среда. Същото е в сила и за останалите работни листове.

В случай, че понятието производна е изучено предварително, то тази активност може да се използва за въвеждане на понятието допирателна към графиката на функция. В този случай работните листове трябва да се преработят подходящо. На втората стъпка учителят трябва да изясни връзката на вече известното понятие производна с наклона на допирателната към полуокръжността или графиката на функцията.

Тази активност (всички работни листове) може да се използва за въвеждането на производна в един елементарен курс по Математически ананиз. Предварителните сведения, необходими за учениците, привлечени към тази активност, са елементарните познания по евклидова геометрия (планиметрия) и по-специално познания за окръжността и нейните свойства, както и за функции, графики на функции и граници на функции. В частност, първата стъпка от работния лист 4.1.1 би могъл да бъде използван в курс по планиметрия, понеже не са необходими познания за функции и граници.

Необходимото време за първите две стъпки от работния лист 4.1.1, за които се препоръчва да се провеждат заедно, е около два учебни часа, а за третата стъпка – още един час. Препоръчваната продължителност за останалите работни листове е един учебен час.

4.1.1 Работен лист (Анализ)

Въведение в понятието производна
ПЪРВА СТЪПКА: “Допирателна към окръжност”

В “Елементите” Евклид твърди, че ако разглеждаме окръжност и нейната допирателна в една нейна точка Α, не съществува полуправа Αx, която лежи между допирателната и окръжността.

Да проверим верността на това твърдение.

За да мотивираме участието на учениците в тази активност използвахме опростена формулировка на Предложение III 16 от “Елементите” на Евклид, което гласи: “Правата, прекарана на прави ъгли от диаметъра на окръжност през неговия край попада извън окръжността и в мястото между правата и окръжността не може да се вмъкне друга права линия; освен това ъгълът на полуокръжността е по-голям, а оставащият ъгъл е по-малък (от кой да е остър праволинеен ъгъл).”

В нов EucliDraw файл начертайте окръжност с център O, нанесете точка A върху нея и права l през A , перпендикулярна на OA, която е допирателна към окръжността в точката Α.

На този етап учениците построяват самостоятелно фигурата, следвайки указанията. За препоръчване е точката Α по окръжността да се добавя след построяването на окръжността, така че окръжността да остава фиксирана при промяната на разположението на точката Α. Ако учениците не са свикнали достатъчно с работата в среди като EucliDraw можем да им предложим използването на предварително подготвения файл 4.1.1.a.activity.euc и да преработим съответно работния лист.

(Упътване: прекарайте права през A и, ако е необходимо, “увеличете” областта, съдържаща частта от фигурата около A, като използвате мащабиращия инструмент, за да проверите дали правата, която сте прекарали, притежава исканото свойство. Пробвайте различни положения на правата xx΄, като ги проверявате всеки път в мащабиращия прозорец.)

При построяването на тази права би било най-добре да построите отначало свободна точка x и след това правата xx΄ , която минава през точките x и Α. За да изменяте положението на правата x΄x е достатъчно да местите точката x. Учениците могат да оцветят правата xx΄ в цвят, различен от този на l и на окръжността, за да различават добре трите линии, когато те се приближават все повече и повече.

Възможно е някои ученици да твърдят, че са намерили права с горното свойство. Това може да се случи, защото изображението не е много ясно, когато правата xx΄ се приближава до l. Дори и всички ученици да твърдят, че няма права с горното свойство, за тях ще е много трудно да подкрепят своето твърдение с правилни аргументи. При всички случаи би било добре да се насърчат учениците да използват мащабиращия инструмент, като използват различни, достатъчно големи увеличаващи фактори, така че да установят, че прекараната права не върши работа. С приближаването на xx΄ към допирателната става все по-трудно да се визуализира разликата. Тогава учениците могат да отворят друг мащабиращ прозорец около свободна точка Κ. Местейки Κ все по-близо до Α, те могат да установят, че правата xx΄ не съвпада с l и че има и друга обща точка (освен A) на xx΄с окръжността. При всички случаи, когато xx΄ стане много близка до l, проблемът с визуализацията възниква отново, но учениците биха могли вече да формулират предположение за положението на тази права и да пристъпят към следния въпрос:

Очакваният отговор е, че участъкът от окръжността изглежда като допирателната. Основната цел на този въпрос е да насочи на интуитивно ниво учениците към свойството “локална изправеност”, което характеризира допирателната.

В3: Колко общи точки с окръжността има правата xx΄ , която не съвпада с ?

Отговорът на този въпрос е очевиден. От предшестващите разглеждания е ясно, че всяка права, минаваща през Α , различна от допирателната в тази точка, ще има освен Α и друга обща точка с окръжността. Този въпрос улеснява преминаването към следващата задача на този работен лист.

Ако xx΄ е права през точката A, различна от l, означете с B другата обща точка на тази права с окръжността. Местете точката B, така че да се приближава към точката Α.

В4: Какво можете да кажете за правата AB, когато точката B се приближава все по-близко до A?

В5: Можете ли да формулирате друга дефиниция на допирателната към окръжност в нейна точка A?

Този въпрос има за задача да помогне на учениците да формулират в явен вид, че “допирателната права е граничното положение на секущите прави AB , когато B се приближава към A”. Това е ново свойство на допирателната права, което може да се използва в случая на графика на произволна функция. На следващата стъпка ще се опитаме да дадем символно представяне (с формула) на това свойство. Ролята на следващия въпрос е да осъществи прехода към следващата стъпка.

Този етап от активността е свързан с предишния чрез въпроса “Какво бихте могли да кажете, ако вместо окръжност разглеждахме крива, която е графика на функция?” Най-напред разглеждаме полуокръжност, като графика на функция спрямо подходяща координатна система. Това е междинна стъпка преди преминаването към общия случай на графика на функция. Отначало от учениците се изисква да помислят върху възможностите за намиране на уравнението на допирателна към полуокръжността. Тази част от активността е реализирана в работния лист, и то не непременно в EucliDraw среда. След това учениците изказват предположения за положението на допирателната в конкретни точки от дадена графика. На следващата стъпка им се предлага предварително подготвен EucliDraw файл и чрез работния лист - подходящи инструкции за неговото използване. Ако учениците познават добре EucliDraw средата те могат самостоятелно да реализират различни конструкции.

На фигурата по-долу е начертана графиката на функцията

f(x) , която съответства на полуокръжност с ра­ди­ус 3 и център в началото на координатната система. Прекарани са до­пирателната към полуокръжността в точката Α и случайно из­бра­на секуща ΑΒ.

Опитайте се да отговорите на следните въпроси:

Очакваният отговор е: .

В този пункт за първи път въвеждаме пресмятане на наклона с помощта на границата: . Ако учениците са запознати с понятието производна, то на този етап те могат да минат напред към разкриване на връзката между наклона на допирателната към графиката на функцията и нейната производната.

Отворете EucliDraw файла 4.1.1.b.activity.euc, който изчертава гра­фика­та на функцията , както е пока­за­но на фигурата. Щракнете червеното квад­рат­че на мащабиращия бутон. Ще забе­ле­жи­те върху графиката точките B(x₀+h, f(x₀+h)) и C(x₀-h, f(x₀-h)). Можете да мените h , за да местите тези точки. Кога­то h намалява мащабиращият коефициент расте. Намалете h , за да пре­мес­тите точките B C по-близо до A и наблюдавайте какво се про­ме­ня в конструкцията. Записвайте вашите наблюдения.

На този чертеж сме построили графиката на функцията f(x)=sin(x) и сме нанесли една от нейните точки A(x₀, f(x₀)). Точката A може да се мести по графиката. Допълнително са поставени три различни бутона, които скриват построения, необходими при следващите въпроси. Необходимото построение се появява при щракване на червеното квадратче на съответния бутон. Би било разумно, преди завършването на активността учителят да насърчава учениците да изказват предположения за възможното положение на допирателната права към графиката в конкретна точка.

Тази част има за цел да запознае учениците със специфичните възможности на средата. В тази конструкция можем да правим промени, които засягат дължината на интервала, както и мащабиращия коефициент на увеличение. Мащабиращият коефициент k е реципрочната стойност на h (k =1/h). Ето защо, намаляването на абсолютната стойност на h увеличава абсолютната стойност на k, за да получаваме по-голямо увеличение, когато дължината на интервала около точката x_o става по-малка. Стойностите на h могат да бъдат и отрицателни. В такъв случай точките B и C сменят своето положение спрямо точката Α. Въпреки че, намалявайки, h като че ли стига стойност 0, това не се отразява на мащабиращия коефициент (=1/h) , понеже h=0.0000 е всъщност приближение на ненулева стойност и 1/h е дефинирано число.

Щракнете червеното квадратче на бутона secant lines (секущи прави), за да се появят секущите AB и AC точките B(x₀-h, f(x₀-h)) и C(x₀+h, f(x₀+h)) на кривата. Намалявайте h (абсолютната стойност) и наблюдавайте какво става с тези прави.

В9: Какво забелязвате в поведението на правите AB и AC , когато абсолютната стойност на h става все по-малка и по-малка?

На този етап строим последователни секущи, за да онагледим свойствата на допирателната не само чрез увеличаване на разглежданата околност на точката на допиране, но и илюстрирайки положението на допирателната като гранично положение на секущите, когато h клони към 0.

Щракнете червеното квадратче на бутона slope (нак­лон), за да се появят стойностите на наклоните на правите AB и AC. Намалявайте h и следете случващото се с нак­ло­ни­те на правите AB и AC. Внесете в таблицата по-долу стой­ностите на наклоните AB и AC , които съответстват на за­да­дените стойности на h:

Наклоните на секущите се пресмятат по фор­му­ла­та с помощта на инструмента formula (фор­му­ла) , предлаган от софтуера, както е показано в съ­сед­ната схема. Пресмятанията са указани в Hidden Objects (Скрити обекти), които са извън работната сре­да на учениците, което предотвратява възможно обър­кване сред тях. Използваме горната таблица за съх­раняване на данните за различните стойности на h и съответните стойности на наклоните. Различни групи ученици може да са из­бра­ли различни стойности на x₀ и да са получили съответно различни стойности за нак­лоните. При всички случаи наклоните ще клонят към определено число и из­пол­зването на различни стойности на x₀ само ще усили увереността в прав­дивостта на предположението, че такава сходимост е налице.

Нека f е функция и A (x, f(x)) е точка от нейната графика

В11: Можете ли да определите допирателната към графиката на функцията в точката A?
В12: Можете ли да напишете формула за пресмятане на наклона на тази права?
В13: Можете ли да напишете уравнението на тази права?

С тези въпроси се въвеждат понятията допирателна права и производна. Би било много интересно на този етап да се обсъдят различията и общото в понятията допирателна към окръжност, както е известна от евклидовата геометрия (планиметрията), и допирателна към графиката на функция, въведено по-горе. Съществено е учениците да осъзнаят, че определението на допирателна отразява “локално” , а не “глобално” свойство. Следващият въпрос ни въвежда в последната стъпка на активността.

Този етап от активността има за цел изследването на примери на не­ди­ференцируеми функции и е свързан с разглежданията в предишната стъпка чрез въпроса: “Можете ли винаги да намерите права с горното свойство във всяка точка от графиката на дадена функция?”

В разгледания преди файл от EucliDraw 4.1.1.b.activity.euc променете функцията, полагайки f(x)=abs(sin(x)).

(Упътване: С щракване на десния бутон на мишката върху графиката изберете Parameters (Параметри), за да се появи прозо-рецът за работа с функции. В него ще можете да дефинирате новата функция променяйки sin(x) на abs(sin(x)) и щраквайки след това бутона Redefine Function (Предефиниране на функция).)

Местейки точката A учениците ще установят “странното” поведение на секущите в точките от тип (x₀, 0).

Да изследваме отначало случая, когато точката A се намира в началото на координатната система O(0,0). Преместете точката A в началото на координатната система O. Намалявайте абсолютната стойност на h и записвайте вашите наблюдения относно:

1. 
   секущите AB и AC
   
2. 
   поведението на графиката в малка област около A.
   

Чрез такива въпроси можем да укажем условия, при които функцията няма производна в дадена точка, като например, когато лявата или дясната граница на диференчното частно нямат граница, когато те съществуват, но не са реални числа, когато функцията не е непрекъсната в точката (за повече детайли разгледайте следващите работни листове).

Въпросът се разглежда отначало в символен контекст (алгебрично). Иска се от учениците да изследват за кои стойности на параметрите b и c функцията е диференцируема в точката за всяка стойност на реалното число a. Те първо изследват непрекъснатостта на функцията в точката x=a, а след това диференцируемостта в тази точка. Може да се очаква появата на известно неразбиране и объркване, свързано с представата за производна, като например изпускане на проверката за непрекъснатост в а и пресмятане на производната в а чрез заместване с пресметнатите лява и дясна производни за x и x>а съответно.

Правилният отговор на В1 е b=5 и c=1. Ако учениците са отговорили погрешно, учителят не им предоставя верния отговор, а преминава към следващата стъпка, където въпросът се изследва визуално в софтуерна среда. Това изследване има за цел да изясни неяснотите и заблужденията (каквито и да са те) и да предложи алтернативно визуално представяне на процесите, извършвани символно. След това учениците могат да се върнат към В1, за да докажат символно (алгебрично) своите предположения. Ако всички ученици отговарят правилно на В1, те могат да проверят (визуално) своя отговор в електронна среда.

Отворете EucliDraw файла 4.1.2.activity.euc , с който се изчертава горната функция. Проверете верността на вашите резултати, като променяте стойностите на параметрите. Запишете след това вашите наблюдения.

, за всяка стойност на реалното число , когато

където и c са реални числа и c≠1.

В2: В средата, създадена от софтуера, изследвайте дали съществува стойност на такава, че функцията f е диференцируема независимо от стойността на c.

В средата EucliDraw (файл 4.1.3.activity.euc) са начертани графиката, допирателната Κ към нея в точката и правата L с наклон s. С инструмента за мащабиране можем да увеличим близка област около Α , увеличавайки мащабиращия коефициент k. Големината на h се променя в зависимост от стойностите на мащабиращия коефициент, понеже, когато той се увеличава, областта, представена в мащабиращия прозорец, и h намаляват.

За всяка стойност на h можем да пресметнем разликите: и , както и частните: и за правите L и K съответно. Извършвайки тези пресмятания, учениците получават възможност да сравняват резултатите, когато стойностите на h стават все по-малки и по-малки.

Нека е зададена функция с формулата , в която а, b и c са реални числа. Нека е точка от графиката на тази функция, а L е права през A с наклон s.

Напишете уравнението на правата L:



Покажете, че .

Допирателна ли е правата L?

Ако ДА, защо? ... Един възможен отговор би бил, че това е така, защото разликата между f и L клони към нула. Както е известно това не е достатъчно, защото през A минават безбройно много прави с наклон, различен от , които не са допирателни. Следващата активност ще изясни разликата. …

Ако НЕ, защо? …Учениците може да отговорят НЕ и следващата активност ще помогне за изясняването на разликата между двете прави (L и K)…

Можете ли да намерите правилната формула за уравнението на допирателната: K(x)=… …

Отворете EucliDraw файла 4.1.3.activity.euc) , с който се изчертава графиката на функцията f. Можете да мените наклона s на правата L и софтуерът ще прес­мя­та разликите и диференчните частни във всеки разглеждан случай. Опитайте раз­лични стойности на мащабиращия коефициент и записвайте наблюденията си.

За целта разглеждаме две различни графики – на функциите и . Оста () има с двете графики само една обща точка O(0,0)), но е допирателна в тази точка само за първата графика. Разликата между двете графики по отношение на правата е следната: при първата графика граничното положение на секущите полуправи OB и OC е една и съща права, докато при втората това са различните полуправи OD и OE. За първата функция е в сила равенството при x₀=0, докато за втората не е в сила.

Нека функциите f и h са зададени с формулите: и , за .Отворете EucliDraw файла 4.1.4.activity.euc , с който се начертават графиките на функциите f и h. Пре-местете точката A по-близо до началото O.

Наклоните на OB, OC клонят към нула, докато тези на OD, OE остават постоянни (равни на 1 и -1, съответно).

В2: Какво установявате за производните на f и h в точката ?

Щракнете червеното квадратче на Ratios (Частни), за да проследите как се менят частните и . Червените и зелените отсечки съответстват на стойностите на f(x) и h(x), съответно. Преместете точката A по-близо до началото O.

1. 
   частните?
   

Чрез второто уравнение учениците биха могли да формулират предположения за това колко бързо функцията f клони към нула, сравнено с променливата x (f клони към нула “колкото пъти искаме” по-бързо от x).

В2: Ако O(0,0) и , h>0, какво наблюдавате за полуправата ΟB когато h се приближава към нула?

Прекарвайки допирателните към графиките на дадената функция и на нейната обратна установяваме, че те са симетрични относно ъглополовящата на първия квадрант.

Учениците могат да направят всички конструкции с помощта на софтуера (EucliDraw). Ако те не владеят софтуера могат да използват файла 4.1.6.activity.euc.

Разглеждаме функцията f , зададена с формулата: .

В1: Докажете, че обратната функция f ^-1 съществува.

(Упътване: Проверете дали f е 1-1 съответствие в дефиниционната си област)_.

На учениците се възлага да проверят дали функцията има обратна функция, като проверят дали тя е 1-1.

С нов EucliDraw файл, начертайте графиките на функциите и .

(Упътване: За построяването на графиката на начертайте правата и използвайте Reflection (Отражение (симетрия)) на графиката f относно правата . Ако срещнете затруднения с построението можете да използвате предварително подготвения файл: 4.1.6.activity.en.euc.)

Графиката на обратната функция се конструира геометрично в няколко стъпки: начертаваме правата , избираме точка A от графиката на f, нанасяме точката B , симетрична на A спрямо , и построяваме геометричното място на B , когато A описва графиката на f.

Начертайте допирателните към графиките C_f и в точките A(x, f(x)) и B(f(x), x), съответно (или щракнете червеното квадратче на tangent line (допирателна права)).

В2: Какво забелязвате за наклоните на допирателните към двете криви? Обосновете отговора си.

Произведението на наклоните е равно на 1. Това може да се обоснове с аргументи от Математическия анализ или от Геометрията. Аналитичните аргументи се основават на равенството: , когато всички частни са дефинирани, както е отбелязано по-горе. Колкото до геометричните аргументи учениците лесно се убеждават, че ъглите, сключени от тези прави с абсцисната ос, са допълнителни (сумата им е 90^o) и следователно наклоните им са реципрочни числа.

Учителят може да обърне внимание на учениците, че двете допирателни (към C_f и ) или пресичат правата в една и съща точка C(a,a) или са успоредни на тази права. В първия случай едната допирателна е правата CA, а другата е правата CB. Ако CA или CB не е успоредна на x΄x , то произведението на техните наклони е равно на 1. Произведението на наклоните е равно на 1 и във втория случай, защото тогава и двата наклона са равни на1.

Следващи разглеждания

1. Нека е функция, дефинирана с формулата: ,

и n е естествено число.

Съществува ли допирателна права към графиката на f в точката за различни стойности на n?

2. Нека за всяко xÎR означим с C_x кръгът с център (x, 0) и радиус 1. Пресметнете лицето на сечението на двата кръга C_x и C₀. Как се мени това лице за различни стойности на x?

4.2 Активност: Глобални и локални екстремуми
Съдържание на активността:

Настоящата активност въвежда понятията глобален и локален екстремум.

Чрез активността ние очакваме, че студентите:

Ще могат отначало да усвоят интуитивния подход към понятията глобален и локален екстремум, след което да бъдат доведени до формалната дефиниция на тези понятия.

Ще могат да разсъждават върху горните понятия, създавайки с помощта на софтуера някои примери и контрапримери, разглеждащи различни случаи на глобални и локални екстремуми.

Ще могат да изяснят връзката между понятията локален и глобален екстремум, както и факта, че такива екстремуми може ида не съществуват, или, ако съществуват, да не са единствени.

Методология на активността

Логическата структура на активността е следната:

На първата стъпка (4.2.1), тръгвайки от задачата за числеността на стадо елени, се представя необходимостта от намиране на локалните и глобални екстремуми. Следва интуитивното им разпознаване върху графика на функцията, както и приблизителното им намиране. Въвеждането на дефинициите се постига чрез формализиране на ситуацията, възникваща в конкретния пример. Във втората стъпка (4.2.2) тези понятия, както и отношенията между тях, се изследват подробно с помощта на различни примери и контрапримери, получени чрез софтуера.

Връзка на активността с учебната програма

При съществуващата учебна програма активността може да се провежда с ученици от 11 и 12 клас.

Подробното изследване на всички случаи на екстремум може да бъде проведено на нивото на училищния курс по Математически Анализ, но може да бъде пригодено и за нуждите на студентите от първата година на университета.

Времето, необходимо за провеждане на активността, е приблизително един учебен час.

Предвижданата численост (в хиляди) на стадо елени се описва приблизително с функцията за , където са годи­ни­те между 1/1/2000 и 31/12/2010.

Въпросът се отнася до понятието екстремум.

За спестяване на време файлът е даден на учениците в готов вид.

Графиката дава представа за промяната на численността във всеки момент. На това може да се базира дискусия за възможностите на графичното представяне на процесите за по-добро разбиране на нещата.

При използване на бутона Point – Coordinates (Точка - Координати) за точката M върху графиката на функцията се появяват нейните координати. Вие можете да променяте нейната абсциса, с което се променя положението на точката върху графиката, като се следи промяната и на нейната ордината в съответното положение. Освен това, с помощта на параметъра Line y = k може да се придвижва хоризонталната права . Маркират се пресечните точки на тази права с графиката на функцията (ако съществуват).

Желателен е интуитивен подход, с помощта на софтуера, от страна на учениците към понятието глобален екстремум. За тази цел може да се използва опцията Line y = k . Очаква се учениците да забележат, че когато съответната права минава през екстремалната стойност на функцията, това е единствената пресечна точка на правата с графиката на функцията в някаква околност на екстремалната точка.

В2: Да означим с момента, споменат в В1. Нека. По какъв начин са свързани и ?

Желателно е учениците да бъдат доведени до понятието глобален максимум.

Казваме, че в точката функцията достига глобален максимум.

Дефиниция: Нека е функция с дефиниционна област Α.

достига глобалния си максимум в точката на Α, ако…………

Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция с помощта на учителя.

«Казваме, че функцията достига глобален максимум в точката , ако за всяко ».

Желателно е учениците да достигнат до понятието глобален минимум с помощта на софтуера.

Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция:

«Казваме, че функцията достига глобален максимум в точката , ако за всяко ».

В6: Има ли момент в периода 2000-2002, в който числеността на популацията на елените е максимална?

Тук се опитваме да дадем интуитивен образ на понятието локален екстремум, който по-нататък да бъде формализиран от учениците с помощта на учителя.

В7: Как са свързани числата и за ;

Целта е учениците да свържат локалния екстремум с околност на точката или с отворен интервал, който я съдържа, в който локалният екстремум е и глобален.

По общо, в зависимост от наличното време и поставените цели, учителят може да доведе учениците, чрез прости графики или вербално, до формалната дефиниция на по­ня­тието локален екстремум.
Казваме, че в точката функцията притежава локален мак­си­мум.

В8: Допълнете следната дефиниция:

Дефиниция: Нека е функция с дефиниционна област Α.

притежава локален максимум в точката от Α със стойност , ако…………

С помощта на учителя се очаква учениците да дадат формалната дефиниция:

Учителят може да допълни, че интервалът може да има вида , т.е. отворен интервал с център и радиус.

Желателен е първоначален интуитивен графичен подход към понятието локален минимум.

Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция:

Очаква се учениците да отговорят, че в края на 2009 година или на 1.1.2010 г. популацията е максимална. Учителят може, в комбинацията със следващия въпрос В12, да доведе до формализация на твърдението: Функцията има локален максимум в крайната точка на дефиниционната си област .

В12: Смятате ли, че дефиницията, която преди беше дадена за локален екстремум, включва също и случая, когато е край­на точка на дефиниционния интервал на функцията?

Желателна е дискусия по въпроса, тръгваща от локалния максимум в крайната точка от въпрос В11 и локалния минимум при.

Учениците изразяват свободно мненията си, вземайки под внимание графиката на функцията.

Използвайки за мотивация отговорите на учениците на въпроса В13, дискусията може да бъде поведена към връзките между локалните и глобални екстремуми. В тази насока учителят може, чрез рисуване на някои прости графики на черната дъска, да доведе учениците до следните заключения:

Локален екстремум означава, че съществува околност на точката, независимо с какъв радиус, в който екстремумът е глобален (използване на глобалните условия за разбиране на локалните).

Ако в затворен интервал има няколко локални екстремума от един и същи вид, например локални максимуми, то глобалният максимум (който трябва да съществува според теоремата за достигане на екстремумите) се оказва най-големият от тези максимуми (от локалните условия към глобалните). Но ако интервалът е отворен, не е задължително локалните или глобални екстремуми да съществуват. Тази последна забележка ще бъде доразвита чрез примерите и контрапримерите на работен лист 4.2.2.


В14: Може ли да намерите други локални екстремуми, незабелязани преди, чрез наблюдаване на графиката на функ­ци­ята ?

Очаква се, че учениците ще са способни да определят локалните и глобалните екстремуми на функцията.

В15: Опишете всички намерени от вас локални и глобални екстремуми на функцията .

За да не бъдат пропуснати от учениците, екстремумите, заедно с техния вид, могат да бъдат подредени в таблица по реда на нарастването им..

Изчисленията, направени от програмите, мотивират започването на дискусия за границите на техните възможности. Ако например един от екстремумите е в точката , как бихме могли да постигнем пълна точност? Тази дискусия може да доведе до необходимостта за намирането на математически инструменти за намирането на точните стойности на точките, в които функцията има локални и глобални екстремуми. В следващата стъпка, активност 4.3 , за тази цел се въвежда теоремата на Ферма.

В този момент учителят трябва да обясни на учениците предназначението на различните бутони, както и на параметрите на функциите, за да могат те да работят с тях. След това той може да ги насочи към конструирането на различни образи на графики на непрекъснати и прекъснати функции, дефинирани върху отворени или затворени интервали, за които да определят дали съществуват локални или глобални екстремуми. Полезно средство е промяната на височината на хоризонтална линия , при което се отбелязват пре­сечните точки с графиката на функцията, което дава ин­ту­итивна картина на допирателната в екстремната точка и служи за въведение към теоремата на Ферма.

Тук могат да бъдат споменати примери и контрапримери за специфични неогра­ни­че­ни функции. С цел да се изяснят предходните понятия могат да бъдат дадени след­ните примери: функцията , дефинирана в различни ин­тер­вали като: по отношение на съществуването на екс­тремуми, и = sin x , по­каз­ваща, че екстремумът не е единствен. Може да бъде спо­ме­ната и теоремата на Вайер­щрас (или теоремата за минималната и макси­малната стойност) за непре­къс­на­ти функции в краен и затворен интервал, заедно с въпроси като следния:

Може да се проведе дискусия относно екстремумите в отворен и затворен интервал. Могат да бъдат поставени по-нататъшни въпроси като следния: Кога се случва това? Можете ли да обясните вашето твърдение чрез подходяща графика?

Очевидно функцията е непрекъсната в краен и затворен интервал и следователно притежава глобални екстремуми. В контраст с въпросите от файла 4.2.2 се очаква въпросът да обогати ученическите наблюдения върху понятията локален и глобален екстремум.

Тук са валидни коментарите към В4. Освен това, учителят може да припомни графиките, които са били вече изучени, или да предложи на учениците да съставят собствени примери, които могат да бъдат начертани с помощта на софтуера или на работния лист.