Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

Разглеждаме римановата интегрална сума на функцията .f (x) –

n

n
i=1

 ( { x_i}, t_i) =  (.f (t_i).(x_i – x_i-1) =  .  f (t_i).(x_i – x_i-1);

d ( { x_i})  0 и получаваме исканото равенството;

Доказателство: В сила е неравенството:

Доказателство: По теорема на Вайерщрас  f е ограничена; нека

m = inf f (x), a  x  b; M = sup f (x), a  x  b;

за всяко x  [a, b] имаме:

по теорема на Вайерщрас m = f (x₁), M = f (x₂) и по теоремата за междинните стойности съществува t  [x₁, x₂], такова че

Доказателство:

ясно е, че f (x) е интегруема в Риманов смисъл  f (x) е интегруема в смисъл на Дарбу  за всяко  > 0 съществува разделяне { x_i} на интервала [a, b], такова че S ({ x_i}) – s ({ x_i}) < ;

по теорема на Кантор  f (x) е равномерно непрекъсната;

Фиксираме  > 0; тогава съществува  > 0, такова че

от |x - x|<   |f (x) – f (x)| < /(b – a);

разделяме интервала [a, b] с делящи точки { x_i}, така че d ({ x_i]) < ;

разглеждаме интервала [x_i-1, x_i]; по теоремата на Вайерщрас,

M_i = f (x), m_i = f (x), където x, x  [x_i-1, x_i]; тъй като x, x  [x_i-1, x_i],

|x - x| <   f (x) – f (x) < /(b-a)  M_i – m_i < /(b-a);

n
i=1

в такъв случай: S ({ x_i}) – s ({ x_i}) =  (M_i – m_i).(x_i – x_i-1) <

n
i=1

Нека c₁, c₂, …, c_k са точките на прекъсване за f (x);

фиксираме  > 0 и избираме отворени интервали ₁, ₂, …, _k, такива че ₁ + ₂ + … + _k < /(2.M + b – a) и c_j  _j за всяко j = 1, 2, …, k;

по теоремата на Кантор, f е равномерно непрекъсната в интервалите

[a, b] \ _j;

избираме  > 0, такова че от |x - x| <  

|f (x) – f (x)| < /(2.M + b – a);

избираме разделяне { x_i}, такова че _j (допълнени до затворени) са подинтервали на разделянето и d ({ x_i}) < ; аналогично на горната теорема имаме, че

|M_i – m_i| < /(2.M + b – a) за всяко i, такова че [x_i-1, x_i]  _j;

k
j=1

i

в такъв случай: S ({ x_i}) – s ({ x_i}) =  (M_i – m_i).(x_i – x_i-1) +  (M_ij – m_ij).|_j|,
където първата сума е по всички i, такива че [x_i-1, x_i]  _j,

а i₁, i₂, …, i_k са поредните номера на интервалите ₁, ₂, …, _k в разделянето;

окончателно: S ({ x_i}) – s ({ x_i}) < .(b - a)/(2.M + b – a) +

2.M./(2.M + b – a) =   f е интегруема в Риманов смисъл;

Доказателство: нека x  (a, b);

записваме диференчното частно на F (x);

(F (x + h) – F (x))/ h = ( - )/h = ( )/h

съгласно теоремата за средните стойности съществува точка

сега като извършим граничен преход при h  0, получаваме че

u_h  x  f (u_h)  f (x), тъй като функцията f е непрекъсната;

 (F (x + h) – F (x))/h  f (x)  F (x) = f (x) за всяко x  (a, b);

f (x) = F (x) е интегруема в Риманов смисъл в [a, b], то

Доказателство: Правим произволно разделяне { x_i} на интервала [a, b]; имаме: F (b) – F (a) = F (b) – F (x_n-1) + F (x_n-1) – F (x_n-2) + … + F (x₁) – F (a);

прилагаме теоремата на Лагранж и получаваме:

F (b) – F (a) = f (t_n).(b – x_n-1) + f (t_n-1).(x_n-1 – x_n-2) + … + f (t₁).(x₁ – a);

в дясната страна на равенството стои Риманова сума на фукнцията

f (x) за интервала [a, b]; в последното равенство правим граничен преход при d ({ x_i})  0; в лявата страна нищо се променя (тя е константа), а в дясната страна Римановата сума клони към ;

да отбележим, че междинните точки при всяко едно разделяне могат да се изберат, така че равенството да е изпълнено, но резултатът не зависи от междинните точки  формулата е доказана;

b
a

Означение: Ще означаваме F (b) – F (a) по следния начин: F (x)|

0



Пример: = - cosx| = - cos + cos0 = 2

правим субституция x = R.cost  t = arccosx/R;

= - R²/2 . arccos (x/R) – R²/4 . sin( 2.arccos(x/R)) + C;

по този начин намерихме лицето на полукръга с радиус R; както ще видим по-нататък има и по-кратки начини за пресмятане на определени интеграли;

Това се прави с цел удобство на пресмятането;

действително, следвайки дефиницията, ако F е примитивна функция на f в интервала [a, b], то първият интеграл е F (b) – F (a) при a < b или

- (F (a) – F (b)) при a > b, т.е. няма значение коя граница е по-голяма;

a

b

Доказателство: Като вземем предвид, че функцията f (x).g (x) е един неопределен интеграл на функцията f (x).g (x) + f (x).g (x) получаваме:

a

b

= f (x).g (x) | 

b

+ = f (x).g (x) | , което е точно исканото равенство;



Пример: = = x.sinx| - = 2;

= по теоремата на Лайбниц – Нютон  F (x) = f (x) за всяко x  (a, b); тогава (F (g (t))) = f (g (t)).g (t)  функцията F (g (t)) е примитивна функция на f (g (t)).g (t) в интервала (p, q) 

p

q

= F ( g (t))| = F ( g (q)) – F (g (p)) = F (b) – F (a), но