Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Локални максимуми и минимуми – необходими и достатъчни условия
Изтегляне 4.23 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- 21. Неопределени интеграли. Елементарни свойства. Интегриране по части.
20. Локални максимуми и минимуми – необходими и достатъчни условия.Дефиниция: Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0; казваме, че f (x) има локален максимум в точката x0, ако съществува околност U на x0, такава че f (x0) f (x) за всяко x U; Дефиниция: Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0; казваме, че f (x) има локален минимум в точката x0, ако съществува околност U на x0, такава че f (x0) f (x) за всяко x U; Локалните минимуми и максимуми се наричат локални екстремуми; Теорема (на Ферма): Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0 и f (x) е диференцируема в точката x0; тогава ако f (x) има локален екстремум в точката x0, f (x0) = 0; Доказателство: Нека за определеност f (x0) е локален максимум за f (x); разглеждаме диференчното частно (f (x0 + h) – f (x0))/h; нека h 0 с положителни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h > 0 диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (1) нека h 0 с отрицателни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h < 0 диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (2) от (1) и (2) получаваме, че f (x0) = 0;
Тогава ако n е четно, f има локален екстремум в точката x0; той е минимум, ако f (n)(x0) > 0 и максимум, ако f(n)(x0) < 0; Ако n e нечетно, f няма локален екстремум в точката x0; Доказателство: По формулата на Тейлър за функцията f (x) в точката x0 получаваме: f (x) = f (x0) + f (x0).(x – x0)/1! + f (x0).(x – x0)2/2! + …+ f (n-1)(x0).(x – x0)n-1/(n-1)! + f (n)(t0).(x – x0)n/n!, където x < t0 < x0 или x0 < t0 < x; остатъчният член е във формата на Лагранж; тъй като f (x0) = f (x0) = … = f (n-1)(x0) = 0 f (x) – f (x0) = f (n)(t0).(x – x0)n/n!; тъй като f (n) (x) е непрекъсната в точката t0, тогава по едно твърдение за непрекъснати функции, съществува околност U на точката x0, където f (n) (x) не си мени знака, т.е. има знака на f (n)(x0); нека x U; тогава t0 U; нека n e нечетнo; тогава (x – x0)n си мени знака за x < x0 и x > x0; тъй като f (n)(t0) е с постоянен знак, то f (x) – f (x0) също си мени знака в x0 няма локален екстремум; нека n e нечетнo; (x – x0)n > 0 f (x) – f (x0) има знака на f (n)(x0) в цялата околност U в x0 има локален екстремум; той е максимум когато f (x) < f (x0) f (x) – f (x0) < 0 f (n)(x0) < 0 или минимум, ако f (x) > f (x0) f (x) – f (x0) > 0 f (n)(x0) > 0;
Дефиниция: Казваме, че функцията F (x) е неопределен интеграл на f (x) в интервал , ако F (x) е диференцируема в и F (x) = f (x) за всяко x ; означение: F (x) = f (x) dx f (x) наричаме подинтегрална функция, dx наричаме диференциал на функцията f (x);
ако F (x) и G (x) са неопределени интеграли на f (x) в , то F (x) – G (x) е константа; Доказателство: очевидно имаме (F (x) + C) = F (x) + C = f (x), т.е. F (x) + C е неопределен интеграл на f (x); нека H (x) = F (x) – G (x); тогава H (x) = F (x) - G(x) = f (x) – f (x) = 0; по първо следствие от теоремата на Лагранж H (x) е константа; действието намиране на примитивна функция наричаме интегриране; Интеграли на елементарните функции (еx) = ex ex dx = ex + C; (ln|x|) = 1/x 1/x dx = ln|x| + C; (x) = .x -1 x dx = x+1/(+1) + C, -1; (sinx) = cosx cosx dx = sinx + C; (cosx) = -sinx sinx dx = - cosx + C; (arctgx) = 1/(1+x2) 1/(1 + x2) dx = arctgx + C; (arcsinx) = 1/ 1 – x2 1/ 1 – x2 dx = arcsinx + C;
(f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx + C; Доказателство: действително f (x) dx + g (x) dx е един неопределен интеграл на f (x) + g (x), тъй като ( f (x) dx + g (x) dx) = ( f (x) dx) + ( g (x) dx) = f (x) + g (x); Tвърдение: Нека функцията f (x) притежава неопределен интеграл в някакъв интервал ; тогава функцията a.f(x), където а е реална константа, също притежава неопределен интеграл в и е изпълнено: а.f (x) dx = а. f (x) dx + C; Доказателство: действително а. f (x) dx е един неопределен интеграл на a.f (x), тъй като (а. f (x) dx) = a.( f (x) dx) = a.f (x);
= 2.x3/3 + 3.x2/2 + 5.x + C; Дефиниция: Диференциал на f (x) наричаме израза f (x).dx = d f(x); прилагането на това равенство наричаме внасяне под диференциала; прилагане на равенството d f(x) = f (x).dx наричаме изнасяне от диференциала; Твърдение: Нека f (u) има неопределен интеграл в интервал ; нека функцията (x) е диференцируема в интервала и стойностите и не напускат , когато x се мени в ; тогава функцията f ((x)). (x) притежава неопределен интеграл в и ако f (u) du = F (u), то f ((x)). (x) dx = F ( (x)) + C; Доказателство: правилото за диференциране на съставна функция дава: (F ( (x))) = F ( (x)). (x) = f ( (x)). (x) – това равенство показва, че F ( (x)) е един неопределен интеграл на f ( (x)). (x);
f ( (x)) d (x) = F ( (x)) + C; Примери: esinx.cosx dx = esinx dsinx = esinx + C; sinx2.x dx = 1/2 sinx2 dx2 = sinx2/2 + C; Интегриране по части Твърдение: Нека функциите f (x) и g (x) са диференцируеми в интервал ; нека функцията f (x).g (x) има неопределен интеграл в този интервал; тогава функцията f (x).g (x) също има неопределен интеграл в и е изпълнено: f (x).g (x) dx = f (x).g (x) - f (x). g (x) dx + C; Доказателство: действително f (x).g (x) - f (x).g (x) dx е един неопределен интеграл на f (x).g (x), тъй като (f (x).g (x) - f (x).g (x) dx) = (f (x).g (x)) - ( f (x).g (x) dx) = f (x).g (x) + f (x).g (x) – f (x).g (x) = f (x).g (x); Като използваме внасяне под диференциала можем да запишем последното равенство по този начин: f (x) dg (x) = f (x).g (x) - g (x) df (x) + C; Примери: lnx dx = x.lnx - x dlnx = x.lnx - x.1/x dx = x.lnx – x + C; ex.cosx dx = ex dsinx = ex.sinx - sinx dex = ex.sinx - ex.sinx dx = = ex.sinx + ex dcosx = ex.sinx + ex.cosx - cosx dex = ex.sinx + ex.cosx – - ex.cosx dx ex.cosx dx = (ex.sinx + ex.cosx)/2 + C; 22. Интегриране на рационални функции. Дефиниция: Казваме, че функцията f (x) е рационална функция, ако тя се преставя като частно на два полинома, т.е. f (x) = P (x)/Q (x), където P (x) и Q (x) са полиноми на x; Нека f (x) е рационална функция, т.е. f (x) = P (x)/Q (x); Дефиниция: Казваме, че P (x)/Q (x) е правилна дроб, ако степента на P (x) е строго по-малка от степента на Q (x); в противен случай казваме, че P (x)/ Q (x) е неправилна дроб; Oт алгебрата е известно, че ако степента на P (x) е по-голяма от степента на Q (x) можем да извършим деление и в резултат получаваме: P (x)/Q (x) = S (x) + R (x)/Q (x), където deg R (x) < deg Q (x); интегрирането на полином не представлява проблем, така че можем да считаме, че deg P (x) < deg Q (x); Твърдение: Ако един полином Q (x) има реални коефициенти и a + b.i е комплексен корен на Q (x), то a – b.i също е корен на Q (x); Доказателство: Използваме, че комплексно спрегнато на произведение и сума е произведение и сума на комплексно спрегнати;
Q (x) = c0.(x – a1)k1.(x – a2)k2. …(x2 + p1.x + q1)m1.(x2 + p2.x + q2)m2…, където c0 е старшия коефициент на Q (x), числата ai, pj, qj R; Доказателство: Използваме основна теорема на алгебрата и предното твърдение (групираме комплексните корени по двойки); по този начин получаваме линейни множители и квадратни множители с два комплексни корена ( pi2 - 4.qi < 0 за всяко i); Дефиниция: Изразите A / (x – a)k и (B.x + C)/(x2 + p.x + q)m, където A, B, C, a, p, q R, p2 – 4.q < 0; k, m N наричаме елементарни дроби съответно от първи и от втори род; Твърдение: Всяка рационална функция f (x) = P (x)/Q (x), където deg P (x) < deg Q (x) може да се представи като сума от краен брой елементарни дроби; при това, ако полиномът Q (x) се разлага като c0.(x – a1)k1.(x – a2)k2. …(x2 + p1.x + q1)m1.(x2 + p2.x + q2)m2…, тогава f (x) = P (x) /Q (x) се представя по следния начин: P (x) / Q (x) = 1/c0.( A1/(x – a1) + A2/(x – a1)2 + … + Ak1/(x – a1)k1 + + B1/(x – a2) + B2/(x – a2)2 + … + Bk2/(x – a2)k2 + … + (M1.x + N1)/(x2 + p1.x + q1) + (M2.x + N2)/(x2 + p1.x + q1)2 + … + Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 4.23 Mb. Сподели с приятели:
|