Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Изтегляне 4.23 Mb.
|
19. Формула на Тейлор.Теорема: Нека f (x) е дефинирана и (n+1) пъти диференцируема в интервал [x0, x] ([x, x0]), n N; тогава за всяко p 0 имаме: f (x) = f (x0) + f (x0).(x – x0)/1! + f (x0).(x – x0)2/2! + …+ + f (n)(x0).(x – x0)n/n! + Rn, където Rn = (x – x0)p.(x – t0)n-p+1.f (n+1)(t0)/(p.n!), където t0 (x0, x) ( (x, x0)); Доказателство: Нека за определеност x0 < x; Разглеждаме функцията: (t) = f (x) – (f (t) + f (t).(x – t)/1! + f (t).(x – t)2/2! + …+ f (n)(t).(x – t)n/n!) – - .(x – t)p; ясно е, че (x) = 0; избираме така, че (x0) = 0, т.е. Rn - .(x – x0)p = 0 = Rn/(x – x0)p; непосредствено се вижда, че функцията (x) е непрекъсната и диференцируема в интервала [x0, x]; сега за функцията (x) можем да приложим теоремата на Рол в интервала [x0, x] съществува t0 (x0, x), такова че (t0) = 0; (t0) = - (f (t0) - f (t0) + f (t0).(x – t0)/1! – f (t0).(x – t0)/1! + f (t0). .(x – t0)/2! - …+ f (n+1) (t0).(x – t0)n/n!) + p.(x – t0)p-1.Rn/(x – x0)p = 0 f (n+1) (t0).(x – t0)n/n! = p.(x – t0)p-1.Rn/(x – x0)p Rn = (x – t0)n-p+1.(x – x0)p.f (n+1)(t0)/(p.n!);
Rn = (x – x0).(x – t0)n.f (n+1)(t0)/n!; показаната формула дава най-добрият полином, който приближава дадена функция f (x) в точката x0; при x0 = 0, формулата на Тейлор се нарича формула на Маклорен: f (x) = f (0) + f (0).x/1! + f (0).x2/2! + …+ f (n).xn/n! + Rn, където Rn = f (n+1)(t0).xn+1/(n+1)! във формата на Лагранж или Rn = f (n+1)(t0).x.(x – t0)n/n! във формата на Коши; Приложение на формулата на Тейлор Нека f (x) = ex; известно е, че f (n) (x) = ex за всяко n N f (0) = f (0) = f (0) = … = f (n) (0) = e0 = 1; по формулата на Маклорен получаваме:
Rn = xn+1.et0/(n+1)! във формата на Лагранж, 0 < t0 < x; Ще покажем, че Rn 0 при n ; действително имаме неравенствата 0 < Rn xn+1.ex/(n+1)!; нека n0 = [x]; 0 < Rn (x/1). (x/2). … (x/n0). (x/(n0+1)).(x/(n0+2))…(x/(n+1)) < < c0.x/(n+1), където c0 е фиксирано число; по теоремата за полицаите, получаваме, че Rn 0 при n ; в такъв случай ex = 1 + x/1! + x2/2! + … + xn/n! + … от дясната страна на равенството стои степенен ред на x; един ред е сходящ, ако редицата от частичните му суми е сходяща; тогава сума на реда се дефинира като граница на тази редица;
прилагайки формулата на Маклорен за sinx и cosx получаваме: sinx = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + …+ (-1)n.x2.n+1/(2.n+1)! + … cosx = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + …+ (-1)n.x2.n/(2.n)! + … ще изведем следната формула на Ойлер:
и наистина: ei.x = 1 + i.x/1! + (i.x)2/2! + (i.x)3/3! + (i.x)4/4! + (i.x)5/5! + … = = 1 + i.x/1! – x2/2! – i.x3/3! + x4/4! – i.x5/5! + … = (1 – x2/2! + x4/4! - …) + i.(x – x3/3! + x5/5! - …) = cosx + i.sinx; Дефиниция: Ще записваме, че f (x) = o(g (x)) при x x0, ако f (x) и g (x) са дефинирани в околност на x0 и f (x)/g (x) 0 при x x0; Tвърдение: Ако f (x) е дефинирана и диференцируема поне (n+1) пъти в интервала [x0, x] и ако f (n+1)(x) e непрекъсната в точката x0, то f (x) = f (x0) + f (x0).(x – x0)/1! + f (x0).(x – x0)2/2! + …+ f (n)(x0).(x – x0)n/n! + Rn, където Rn = f (n+1).(x – x0)n+1/(n+1)! + o ((x – x0)n+1); Rn се нарича остатъчен член във вида на Пеано; Доказателство: Записваме остатъчният член във формата на Лагранж: Rn = (x – x0)n+1.f (n+1)(t0)/(n+1)! = (x – x0)n+1.f (n+1)(x0)/(n+1)! – - ((f (n+1)(x0) - f (n+1)(t0)).(x – x0)n+1/(n+1)!); но f (n+1)(x0) - f (n+1)(t0) 0 при x x0, тъй като x0 < t0 < x и функцията f (n+1)(x) е непрекъсната в точката t0 (f (n+1)(x0) - f (n+1)(t0)).(x – x0)n+1/(n+1)!/(x – x0)n+1 0 при x x0 (f (n+1)(x0) - f (n+1)(t0)).(x – x0)n+1/(n+1)! = o ((x – x0)n+1); |