Производни на елементарните функции

16. Производни на елементарните функции.

Производна на константа

тогава диферeнчното частно е (f (x) – f (x₀)) / (x - x₀) = 0  границата му при x  x₀ e 0  f (x₀) = 0  f (x) = 0 за всяко x  R;

и така (C) = 0;
Производна на степенна функция с цял показател
Нека f (x) = xⁿ, n  N; нека x₀  R;

тогава диференчното частно е (xⁿ – x₀ⁿ)/ (x – x₀) = x^n-1 + x^n-1.x₀ + … +

+ x.x₀^n-1 + x₀^n-1  n.x₀^n-1 при x  x₀, тъй като xⁿ е непрекъсната;

и така (xⁿ) = n.x^n-1 за всяко n  N;

нека n = 0; тогава f (x) = 1 за всяко x  f (x) = 0, т.е. формулата

остава в сила;

нека n  Z, n < 0 и x  0; тогава xⁿ = 1/x^-n, където –n  N; като използваме формулата за диференциране на частно получаваме:

(1/x^-n) = (1.x^-n – 1.(x^-n))/(x^-2.n) = n.x^-n-1+2.n = n.x^n-1, т.е. формулата остава в сила и за цели показатели и при x  0;

Производни на тригонометричните функции
Нека f (x) = sinx; нека x₀  R;

тогава диференчното частно е (sinx – sinx₀)/(x – x₀) =

sin((x – x₀)/2).cos((x + x₀)/2)/((x – x₀)/2); когато x  x₀,

sin ((x – x₀)/2)/((x – x₀)/2)  1 (основна граница) и

cos ((x + x₀)/2)  cosx₀, тъй като cosx е непрекъсната;

така получихме, че (sinx) = cosx;

тогава диференчното частно е (cosx – cosx₀)/(x – x₀) =

- sin((x – x₀)/2).sin((x + x₀)/2)/((x – x₀)/2); когато x  x₀,

sin ((x – x₀)/2)/((x – x₀)/2)  1 (основна граница) и

sin ((x + x₀)/2)  sinx₀, тъй като sinx е непрекъсната;

така получихме, че (cosx) = - sinx;

От тук лесно получаваме, че (tgx) = 1/cos²x, (cotgx) = - 1/sin²x;
Нека f (x) = arcsinx, x  (-1, 1);

ако arcsinx = y, то y  (-/2, /2) и siny = x;

тъй като функцията arcsinx е обратна на sinx 

(arcsinx) = 1/(siny) = 1/cosy = 1/ 1 – sin²y = 1/ 1 – x²;

Ще покажем че arcsinx няма производна в точките 1;

да допуснем противното; имаме равенството sin(arcsinx) = x;

като диференцираме, получаваме, че sin(arcsinx).(arcsinx) = 1 

cos(arcsinx).(arcsinx) = 1, но arcsin1 =  /2  cos(arcsin1) = 0 – противоречие  функцията arcsinx наистина не е

диференцируема в 1;

по аналогичен начин се показва, че

(arccosx) = - 1/ 1 – x² за x  (-1, 1);

(arctgx) = 1/(1 + x²) за всяко x  R;

(arccotgx) = - 1/(1 + x²) за всяко x  R;
Производна на логаритмичната функция
Нека f (x) = lnx, f (x) : R⁺  R; нека x₀  R⁺;

разглеждаме диференчното частно (ln (x₀ + h) – ln (x₀))/h =

1/x₀ . ln (1 + h/x₀)^x0/h; полагаме z = h/x₀;

тогава диференчното частно е 1/x₀.ln (1 + z)^1/z;

нека h  0  z  0  (1 + z)^1/z  e (основна граница) 

ln (1 + z)^1/z  lne = 1, тъй като lnx е непрекъсната функция;

и така получихме формулата (lnx) = 1/x;

като използваме, че log_ax = lnx/lna, получаваме че (log_ax) = 1/(lna . x);

получаваме:

f (x₀) = 1/g (y₀) = 1/(1/y₀) = y₀ = e^x0;

и така получихме, че (e^x) = e^x;

като използваме, че a^x = e^x.lna получаваме:

(a^x) = (e^x.lna) = a^x.(x.lna) = lna.a^x;

тогава f (x) = (x^) = (e^.lnx) = x^.(.lnx) = x^..1/x = .x^{ -1};

и така формулата, която получихме за степенната функция с цял показател важи и за реални показатели;

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: