Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Правило на Лопитал за намиране на граници
Изтегляне 4.23 Mb.
|
17. Правило на Лопитал за намиране на граници.Теорема (първа на Лопитал): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и диференцируеми за x > a (x < a); нека g (x) 0 при x > a (x < a); нека f (x) и g (x) клонят към 0 при x a+0 (x a-0); тогава ако съществува границата f (x)/g (x) при x a+0 (x a-0), то съществува границата f (x)/g(x) при x a+0 (x a-0) и тези две граници са равни; Доказателство: Нека за определеност x > a; Доопределяме функциите f (x) и g (x) в точката a по този начин: f (a) = g (a) = 0 f (x) и g (x) са непрекъснати в точката a; изпълненo е равенството: f (x) /g (x) = (f (x) – f (a) )/(g (x) – g (a)) (f (a) = g (a) = 0); изпълнени са условията на теоремата на Коши (f (x) – f (a) )/(g (x) – g (a)) = f ()/g (), където (a, x); нека x a+0 a+0 границата на f (x)/g (x) е равна на границата f ()/g () при x a+0 ; тъй като f (x)/g (x) = f ()/g (), то границите f (x)/g (x) и f (x)/g (x) при x a+0 са равни; Теорема (втора на Лопитал): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и диференцируеми за x > a (x < a); нека g (x) 0 при x > a (x < a) и функциите |f (x)| и |g (x)| растат неограничено при x a+0 (x a-0); тогава ако съществува границата f (x)/g (x) при x a+0 (x a-0), то съществува границата f (x)/g (x) при x a+0 (x a-0) и тези две граници са равни; Доказателство: Нека за определеност x > a; Означаваме с L границата на f (x)/g (x) при x a+0; Фиксираме > 0 и избираме > 0, такова че ако 0 < x – a < , |f (x)/g (x) – L| < /2; можем да считаме, че сме избрали достатъчно малко, че g (x) 0 при 0 < x – a < ; това е възможно, тъй като |g (x)| расте неограничено при x a+0; нека x < x0 са две произволни числа, такива че 0 < x – a < и 0 < x0 – a < ; за затворения интервал [x, x0] са налице условията на теоремата на Коши (f (x) – f (x0))/ (g (x) – g (x0)) = f ()/g (), където (x, x0) - a < |f ()/g () – L| < /2 |(f (x) – f (x0))/ (g (x) – g (x0)) – L| < /2 |f (x) – f (x0) – L.(g (x) – g (x0))| < |g (x) – g (x0)|./2; делим това неравенство на |g (x)| 0 и получаваме: |f (x)/g (x) – f (x0)/g (x) – L + L.g (x0)/g (x)| < |1 – g (x0)/g (x)|. /2 |f (x)/g (x) - L| - |f (x0)/g (x)| - |L.g (x0)/g (x)| < /2 + /2.|g (x0)/g (x)| |f (x)/g (x) – L| < /2 + /2.|g (x0)/g (x)| + |f (x0)/g (x)| + + |L.g (x0)/g (x)|; фиксираме x0; тъй като |g (x)| е неограничена при x a+0, ние можем да изберем 1 < 0, 1 < , такова че ако x - a < 1 да имаме: /2.|g (x0)/g (x)| + |f (x0)/g (x)| + |L.g (x0)/g (x)| < /2; за x – a < 1 получаваме |f (x)/g (x) – L| < границата на f (x)/g (x) при x a+0 е числото L = границата на f (x)/g (x) при x a+0;
при x > p (x < p); нека освен това f (x) и g (x) клонят към 0 при x + (x -); тогава ако съществува границата f (x)/g (x) при x + (x -), то съществува границата f (x)/g(x) при x + (x -) и тези две граници са равни; Доказателство: Нека за определеност x > p; полагаме t = 1/x; когато x + , t 0 + 0; тогава границата на f (x)/g (x) при x + е равна на границата на f (1/t)/g (1/t) при t 0+0; от друга страна границата (f (1/t))/(g (1/t)) = (( -1/t2).f (1/t))/((-1/t2).g (1/t)) = f (1/t)/g (1/t) = f (x)/g (x), т.е. границата (f (1/t))/(g (1/t)) при t 0+0 съществува; като използваме първа теорема на Лопитал (a = 0) получаваме, че съществува границата f (1/t)/g (1/t) при t 0+0 и тя е равна на границата на (f (1/t))/(g (1/t)) при t 0+0, т.е. съществува границата f (x)/g (x) при x + и тя е равна на границата на f (x)/g (x) при x + ; Теорема (четвърта на Лопитал): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и диференцируеми за x > p (x < p); нека g (x) 0 при x > p (x < p) и функциите |f (x)| и |g (x)| растат неограничено при x + (x -); тогава ако съществува границата f (x)/g (x) при x + (x -), то съществува границата f (x)/g(x) при x + (x -) и тези две граници са равни; Доказателство: Нека за определеност x > p; полагаме t = 1/x; когато x + , t 0 + 0; тогава границата на f (x)/g (x) при x + е равна на границата на f (1/t)/g (1/t) при t 0+0; от друга страна границата (f (1/t))/(g (1/t)) = (( -1/t2).f (1/t))/((-1/t2).g (1/t)) = f (1/t)/g (1/t) = f (x)/g (x), т.е. границата (f (1/t))/(g (1/t)) при t 0+0 съществува; като използваме втора теорема на Лопитал (a = 0) получаваме, че съществува границата f (1/t)/g (1/t) при t 0+0 и тя е равна на границата на (f (1/t))/(g (1/t)) при t 0+0, т.е. съществува границата f (x)/g (x) при x + и тя е равна на границата на f (x)/g (x) при x + ;
|