Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Изтегляне 4.23 Mb.
|
|
+ (Mm1.x + Nm1)/(x2 + p1.x + q1)m1 + (E1.x + F1)/(x2 + p2.x + q2) + (E2.x + F2)/(x2 + p2.x + q2)2 + … + (Em2.x + Fm2)/(x2 + p2.x + q2)m2 + … ) Твърдението привеждаме без доказателство; Пример: Нека f (x) = 1/(x2 – 3.x + 2); тогава f (x) = 1/ (x-1).(x-2); твърдението е, че същестуват A, B R, такива че f (x) = A/(x-1) + B/(x-2); след като се освободим от знаменателя получаваме: 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1), откъдето получаваме A = -1, B = 1, т.е. f (x) = -1/(x-1) + 1/(x-2);
A/ (x – a)k dx = A. d(x-a)/(x-a)k = A. (x-a)-k+1/(-k+1) + C при k > 1 или A.ln|x-a|+ C при k =1;
(M.x+N)/(x2 + p.x + q)n dx; полагаме x = u – p/2; тогава x2 + p.x + q = u2 + q – p2/4; при това q – p2/4 > 0, тъй като x2 + p.x + q няма реални корени; полагаме q – p2/4 = a2; получаваме: (M.x+N)/(x2 + p.x + q)n dx = (M.u + N – p.M/2)/(u2 + a2)n du = = M. u du /(u2 + a2)n + (N – p.M/2). du/(u2 + a2)n; първият интеграл се решава непосредствено: u du /(u2 + a2)n = 1/2 . d(u2 + a2)/ (u2 + a2)n = (u2+a2)-n+1/(2.(-n+1)) при n > 1 или ln (u2 + a2)/2 при n = 1; остава вторият интеграл: In = du/(u2 + a2)n = 1/a2. (u2 + a2)/(u2 + a2)n du – 1/a2. u2/(u2 + a2)n du = 1/a2.In-1 – 1/2a2. u d(u2+a2)/ (u2 + a2)n = 1/a2.In-1 + 1/(2a2.(n-1)). u d(u2 + a2)-n+1 = 1/a2.In-1 + u.(u2 + a2)-n+1 / /(2a2.(n-1)) – 1/ (2a2.(n-1)). (u2 + a2)-n+1 du = (2n – 3)/(2a2.(n-1)).In-1 + + u/(2a2.(n-1).(u2 + a2)n-1); освен това имаме: I1 = du/(u2+a2) = 1/a.arctg(u/a) + C, така че след краен брой прилагания на рекурентната зависимост ще достигнем до I1, т.е. ще пресметнем интеграла;
искаме да пресметнем f (x) dx;
f (x) = S (x) + R (x)/Q (x); S (x) се интегрира непосредствено;
23. Смяна на променливите при неопределени интеграли. Интеграли от вида R (x, ax2 + bx + c) dx и R (sinx, cosx) dx. Твърдение: Нека функцията f (x) е дефинирана в интервал ; нека функцията (t) е дефинирана и диференцируема в някой интервал и приемат стойности в интервал , където ; нека освен това функцията (t) притежава диференцируема обратна функция (x) и функцията f ( (t)). (t) притежава неопределен интеграл в интервала ; тогава ако g (t) = f ( (t)). (t) dt, функцията f (x) притежава неопределен интеграл поне в интервала и е изпълнено: f (x) dx = g ( (x)) + C; Доказателство: функцията g ( (x)) е добре дефинирана в интервала , тъй като (x) приема стойности в ; наистина g ( (x)) е един неопределен интеграл на f (x), тъй като (g ( (x))) = g ( (x)). (x) = f ( ( (x))). ( (x)). (x); като използваме теоремата за диференциране на обратни функции получаваме, че ( (x)). (x) = 1, т.е. f ( ( (x))). ( (x)). (x) = f (x);
x2. x + 1 dx при x -1; правим смяна x = t2 – 1, t > 0; очевидно условията за смяна на променливата са изпълнени: (t) = t2 – 1, (x) = x + 1, ( (x)) = x за всяко x -1; функцията g (t) = (t2 – 1)2.t d (t2-1) = 2.t6 – 4.t4 + 2.t2 dt = 2.t7/7 – - 4.t5/5 + 2.t3/3 + C x2. x + 1 dx = 2.(x+1)3. x + 1/7 – 4.(x+1)2. x + 1/5 + 2.(x+1). x + 1/3 + C; Интеграли от вида R (sinx, cos) dx Tакива интеграли могат да се преобразуват в интеграли от рационални функции чрез следнoто полагане: tg x/2 = t; това е позволено във всеки интервал , в който tg x/2 е дефинирано; например ако x (-, ) можем да направим следната смяна: x = (t) = 2.arctg t, t = (x) = tg x/2 и t ще се мени върху цялата реална права; при тази субституция получаваме: sinx = 2.t/(1 + t2), cosx = (1 – t2)/(1 + t2), dx = 2/(1 + t2) dt;
dx/(1 + sinx + cosx) при x (- , ); правим смяна x = (t) = 2.arctg t, t = (x) = tg x/2, dx = 2/(1 + t2) dt; получаваме: g (t) = 2. dt /( (1 + t2) . ( 1 + 2.t/(1 + t2) + (1 – t2)/(1 + t2)) = = 2. dt / (t2 + 1 + 2.t + 1 – t2) = d (t+1) / (t +1) = ln |t+1| + C dx/(1 + sinx + cosx) = ln |1 + tg x/2| + C;
ax2 + bx + c трябва да приема положителни стойности в интервала в който пресмятаме интеграла; това означава, че ако квадратният тричлен няма реални корени, то със сигурност a > 0, тъй като в противен случай във всеки интервал a.x2 + b.x + c < 0; тези интеграли се решават с помощта на субституциите на Ойлер;
Правим следното полагане: ax2 + bx + c = x.a + t; тогава смяната е следната: x = (t2 – c)/(b – 2.a.t), t = ax2 + bx + c – x.a; по този начин преобразуваме ойлеровия интеграл в интеграл от рационална функция; Пример:
dx/ x2 + x + 1 за x R; полагаме x2 + x + 1 = x + t; тогава смяната е: x = (t2 – 1)/(1 – 2.t); dx = 2 (t – t2 – t)/(1 – 2.t)2 dt; тогава g (t) = 2.(t – t2 – t).(2.t – 1)/(t – t2 – t).(2.t – 1)2 dt = = - d (1 – 2.t)/(1 – 2.t) = - ln|1 – 2.t| + C dx/ x2 + x + 1 = - ln |1 – 2. x2 + x + 1 + 2.x| + C; Втора субституция на Ойлер Да предположим, че корените на ax2 + bx + c са реални; да отбележим, че ако те са равни, интегралът не е ойлеров, а интеграл от рационална функция; нека и са двата корена на квадратния тричлен; Правим следното полагане: a.(x - ).(x - ) = t.(x - ); тогава смяната е следната: x = (.t2 - .a)/(t2 – a); t = a.(x - )/(x - ); по този начин отново преобразуваме ойлеровия интеграл в интеграл от рационална функция; Пример: dx/( (x + 4). x2 + 3.x – 4) за x > 1; полагаме x2 + 3.x – 4 = t.(x - 1); тогава смяната е: x = (t2 + 4)/(t2 – 1), t = (x + 4)/(x – 1); dx = -10.t / (t2 - 1)2 dt тогава g (t) = - 10.t dt / ( (t2 - 1)2.(5t2/(t2 – 1) . 5.t/(t2 – 1) ) = = -2/5. dt/t2 = 2/(5.t) + C dx/( (x + 4). x2 + 3.x – 4) = 2/5 . (x – 1)/(x + 4) + C Да отбележим, че тези две субституции изчерпват всички ойлерови интеграли, тъй като ако ax2 + bx + c няма реални корени, то със сигурност a > 0; Понякога се оказва удобна следната Трета субституция на Ойлер Да предположим, че c > 0; Правим следното полагане: ax2 + bx + c = x.t + c; тогава смяната е следната: x = (b – 2.t.c)/(t2 – a), t = ( ax2 + bx + c - c ) / x; По този начин ойлеровият интеграл отново се преобразува в интеграл от рационална функция; Пример:
dx/ x2 – 5.x + 4 за x > 4; ясно е, че към този интеграл могат да се приложат и трите субституции; ще приложим третата; полагаме x2 – 5.x + 4 = x.t + 2; тогава смяната е: x = (5 + 4.t)/(1 – t2), t = ( x2 – 5.x + 4 – 2)/x, dx = (4.t2 + 10.t + 4)/(1 – t2)2 dt; тогава g (t) = (4.t2 + 10.t + 4)/ ( (1 – t2)2.(2 + 5.t + 4.t2)/(1 – t2)) dt = 2. dt / (1 – t2) = - d(1 – t)/(1 – t) + d(1 + t)/(1 + t) = = ln |(1 + t)/(1 – t)| + C dx/ x2 – 5.x + 4 = ln |(x – 2 + x2 – 5.x + 4)/(x + 2 - x2 – 5.x + 4)| + C 24. Определени интеграли – еквивалентност на определенията чрез суми на Дарбу и риманови интегрални суми. Условия за интегруемост. Площ на равнинна фигура Нека е дадена една ограничена равнинна фигура А (точково множество); ако тя е достатъчно проста (например многоъгълник) ние лесно можем да изчислим нейното лице; например правоъгълника има лице произведение от дължините на двете му страни; по този начин ние дефинираме мярка (лице) на правоъгълник ; ние можем да пресмятаме лица на фигури, които са изцяло съставени от правоъгълници, като съберем лицата на отделните правоъгълници; ще наречем тези фигури прости многоъгълници; дефинираме мярка на прост многоъгълник, като сума от лицата на правоъгълниците, които го съставят; разглеждаме множеството от мярките на всички прости многоъгълници, вписани във фигурата А; това множество е ограничено отгоре, тъй като фигурата А е ограничена; в такъв случай то има точна горна граница, която ще наричаме долна мярка на фигурата А; разглеждаме множеството от мярките на всички прости многоъгълници, описани около фигурата А; това множество е ограничено отдолу; в такъв случай то има точна долна граница, която ще наричаме горна мярка на фигурата А; Казваме, че фигурата А е измерима, ако горната и долната мярка са равни; в такъв случай това число наричаме площ на фигурата А; Интуитивен смисъл Нека е дадена функцията f (x): [a, b] R+; определеният интеграл от a до b е площта на фигурата, която е затворена от графиката на функцията f (x) и от правите y = a, y = b; тази фигура се нарича криволинеен трапец, определен от графиката на f (x) и абцисната ос; ако функцията f (x) приема и отрицателни стойности, тогава определеният интеграл е равен на сумата от лицата разположени над абцисната ос минус сумата от лицата под абцисната ос; означаваме Изпълнени са свойствата: Ако f (x) = C, то = C. (b – a), тъй като в този случай фигурата е правоъгълник; Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 4.23 Mb. Сподели с приятели:
|