Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

d ({ x_i}) на разделянето разбираме max (x_i – x_i-1) за i =1, 2, …, n;

n

Дефиниция: Сумата  ( { x_i}, t_i) =  f (t_i).(x_i – x_i-1), където { x_i} е някакво

за всяко  > 0, съществува  > 0, такова че ако d ({ x_i}) < , то

| ( { x_i}, t_i) – I| <  при всеки избор на междинните точки t_i;

числото I наричаме Риманов(определен) интеграл на f от а до b;

означаваме: I =

Суми на Дарбу

Нека сме направили разделяне { x_i};

полагаме m_i = inf f (x) за x_i-1  x  x_i;

полагаме M_i = sup f (x) за x_i-1  x  x_i;

n
i=1

Дефиниция: Сумата s =  f (m_i).(x_i-1 – x_i) наричаме малка сума на

n
i=1

Дефиниция: Сумата s =  f (M_i).(x_i-1 – x_i) наричаме голяма сума на
Дарбу, определена от разделянето { x_i};
Oчевидно е следното неравенство:

s ( { x_i})   ( { x_i}, t_i)  S ( { x_i}), което следва от f (m_i)  f (t_i)  f (M_i) за всяко i = 1, 2, …, n;

Дефиниция: Точната горна граница I на малките суми на Дарбу се нарича долен интеграл на функцията f в интервала [a, b];

Дефиниция: Казваме, че f е интегруема в смисъл на Дарбу, ако горният интеграл е равен на долния, т.е. I = I
Твърдение: Нека функцията f е ограничена в интервала [a, b];

Нека  е разделяне, определено от точките { x_i} и

x е точка  x_i за i = 1, 2, …, n; тогава ако * =   x,

1. s (*)  s ();

2. S (*)  S ();

3. Ако M = sup |f (x)|, a  x  b, то S () – S(*)  2.M.d (),

s (*) – s ()  2.M.d ();

Доказателство:

Нека x  (x_i-1, x_i); нека m = inf f (x), x_i-1  x  x,

m = inf f (x), x  x  x_i; ясно е, че m  m_i, m  m_i; получаваме:

s (*) – s () = m.(x - x_i-1) + m.(x_i - x) – m_i.(x_i – x_i-1) =

= (m - m_i).(x - x_i-1) + (m - m_i).(x_i - x)  0;

тъй като m - m_i  2.M, m - m_i  2.M, x - x_i-1 < x_i – x_i-1  d (),

x_i - x < x_i – x_i-1  d ()  s (*) – s ()  2.M.d ();

аналогично нека M = sup f (x), x_i-1  x  x,

M = sup f (x), x  x  x_i; ясно е, че M  M_i, M  M_i; получаваме:

S (*) – S () = M.(x - x_i-1) + M.(x_i - x) – M_i.(x_i – x_i-1) =

= (M - M_i).(x - x_i-1) + (M - M_i).(x_i - x)  0;

тъй като M_i - M  2.M, M_i - M  2.M, x - x_i-1 < x_i – x_i-1  d (),

x_i - x < x_i – x_i-1  d ()  S () – S (*)  2.M.d ();

за всяко  > 0, съществува  > 0, такова че ако d () < , то

S () – I < ;

Доказателство: Фиксираме  > 0; тогава I + /2 вече не е точна долна граница на големите суми на Дарбу  съществува разделяне ₀, такова че S (₀) > I + /2; нека ₀ има l делящи точки;

нека  е разделяне, такова че d () < ; като използваме горното твърдение (приложено l пъти) получаваме:

S () - S (   ₀)  2.M.l., където M = sup |f (x)|, a  x  b;

освен това S (  ₀)  S (₀) < I + /2  S (  ₀) – I < /2;

като съберем двете неравенства получаваме:

S () – I < 2.M.l. + /2; ясно е, че ако изберем  < /(4.M.l), ще получим, че от d () <   S () – I < ;
Твърдение: Нека f е ограничена функция, дефинирана в интервала [a, b]; тогава долният интеграл I на f в интервала [a, b] е равен на границата на малките суми на Дарбу, когато диаметърът на разделянето на интервала [a, b] клони към 0, т.е.

за всяко  > 0, съществува  > 0, такова че ако d () < , то

I – s () < ;

Доказателство: Аналогично на горното твърдение;

S () – s () < ;

Доказателство:

Нека f е интегруема в смисъл на Дарбу; нека I = I = I ;

Избираме  > 0;

от горните две твърдения получаваме, че съществува

разделяне , такова че S () – I < /2 и разделяне , такова че

I – s () < /2; нека  =   ; тогава:

S ()  S ()  S () – I < /2;

s ()  s ()  I - s () < /2  S () – s () < ;

Нека е изпълнено, че за всяко  > 0 съществува разделяне ,

такова че S () – s () < ;

за всяко разделяне  са изпълнени неравенствата:

s ()  I  I  S ()  I – I  S () – s () < ; последното неравенство е изпълнено за всяко  > 0  I = I  f е интегруема в смисъл на Дарбу;

Доказателство:

Нека f е интегруема в смисъл на Дарбу;

нека I = I = I ;

в сила е неравенството:

s ( { x_i})   ( { x_i}, t_i)  S ( { x_i}); в това неравенство извършваме граничен преход при d ({ x_i})  0 и получаваме, че

s ( { x_i})  I, S ( { x_i})  I   ( { x_i}, t_i)  I  f е интегруема по Риман;

Нека f е интегруема в Риманов смисъл;

Фиксираме  > 0; избираме  > 0, такова че от d ( { x_i}) <  да следва

| ( { x_i}, t_i) - I| < /6  I - /6 <  ( { x_i}, t_i) < I + /6 независимо от избора на междинните точки t_i;

Нека  = /(3.(b-a)); тъй като M_i е супремумът на f (x) в интервала

[x_i-1, x_i], тогава M_i -  не е супремум  съществуват междинни точки t_i, такива че f (t_i) > M_i -  за всяко i;

образуваме съответната риманова сума със същото разделяне { x_i} и междинните точки t_i;

имаме:  ( { x_i}, t_i) = S ({ x_i}) - .(b – a) = S ( { x_i}) - /3;

аналогично можем да изберем междинни точки t_i, такива че

 ( { x_i}, t_i) = s ({ x_i}) + .(b – a) = s ( { x_i}) + /3;

получаваме: I + /6 < S ({ x_i}) < I + /2; I – /2 < s ({ x_i}) < I + /6;

в такъв случай S ( { x_i}) – s ( { x_i}) < I + /2 – I + /2 = ; от горното твърдение  f е интегруема в смисъл на Дарбу;

i=1

i=1

= C.(b – a), независимо от { x_i} ;

Доказателство: Разглеждаме римановата сума на функцията f (x) в интервала [a, b]; без ограничение можем да считаме, че c винаги е деляща точка; нека c = x_k;

n

k

n

i=1

 ( { x_i}, t_i) =  f (t_i).(x_i-1 – x_i) =  f (t_i).(x_i – x_i-1) +  f (t_i).(x_j – x_j-1);

d ( { x_i})  0 и получаваме исканото равенството;

Свойство 3: Ако и съществуват, то съществува

и е изпълнено: = + ;

Доказателство:

Разглеждаме римановата интегрална сума на функцията f (x) + g (x) –

n

n

i=1

 ( { x_i}, t_i) =  (f (t_i) + g (t_i)).(x_i – x_i-1) =  f (t_i).(x_i – x_i-1) +  g (t_i).(x_i – x_i-1);

d ( { x_i})  0 и получаваме исканото равенството;