Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

Изтегляне 4.23 Mb.

страница	23/23
Дата	09.09.2016
Размер	4.23 Mb.
	#8626
Тип	Лекции

1 ... 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Твърдение: Лицето на един криволинеен трапец е равно на

;

Доказателство: Прибавяме достатъчно голяма константа към двете функции, така че те да станат положителни, по този начин не променяме лицето на криволинейния трапец; нека лицето под графиката на функцията y₁ (x) е A₁, а лицето под графиката на функцията y₂(x) е A₂; тогава е ясно, че лицето на криволинейния трапец е точно A₂ – A₁, oткъдето следва формулата;

Намиране на граници
Нека a_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n);

търсим границата на a_n при n  ;

записваме: a_n = 1/n . (1/( 1 + 1/n) + 1/( 1 + 2/n) + … + 1/(1 + n/n));

последното равенство ще разгледаме като Риманова сума;

действително нека имаме разделяне на интервала [0, 1] на n равни части и междинните точки са избрани в краищата на подинтервалите на разделяне; тогава a_n е Риманова интегрална сума на функцията f (x) = 1 / (1 + x); когато n  , диаметърът на разделянето ( = 1/n) клони към 0  Римановата сума клони към

= ln2;
Дефиниция: В равнината е зададена крива y = f (x), a  x  b; нека по кривата нанесем точки M₀, M₁, …, M_n, където M₀ има координати

(a, f (a)) и M_n има координати (b, f (b)); казваме, че M₀M₁…M_n е начупена линия вписана в кривата; ясно е, че нейната дължина е сума от дължината на отсечките M₀M₁, M₁M₂, …, M_n_-1M_n; точната горна граница на всевъзможните дължини на начупените линии вписани в кривата се нарича дължина на кривата;
Нека функцията f има непрекъсната първа производна;

нека имаме разделяне { x_i} на интервала [a, b] и M_i са съответните точки върху графиката на функцията; тогава дължината на начупената крива е : ; като използваме теоремата на Лагранж, получаваме че f (x_i) – f (x_i_-1) = f (t_i).(x_i – x_i_-1);

и така дължината на кривата е: , но това е точно Риманова интегрална сума на функцията g (x) =  1 + f (x)²;

колкото по-малък е диаметърът на разделянето, толкова е по-добра апроксимацията за дължината на кривата; когато d ({ x_i})  0,

Римановата сума  и това е дължината на кривата;

Пример: Нека f (x) =  1 – x²;

това пресмятане показва, че дължината на една четвърт от кръга е /2;
Изчисляване на обем на ротационни тела
Нека в равнината O_xy е дадена крива y = f (x), a  x  b; акo завъртим тази крива около O_x ще получим ротационно тяло; обемът на тялото ще намерим по следния начин:

разделяме интервала [a, b] с делящи точки { x_i}; във всеки един от подинтервалите фиксираме междинна точка t_i и изчисляваме сумата от обемите на цилиндрите с основа кръговете, описани от t_i при въртенето и височина x_i – x_i_-1; ясно е, че по този начин се получава приближена стойност на обема; тя е:

; когато избираме разделяне с по-малък диаметър ще получаваме по-точна апроксимация за обема на ротационното тяло; и така обемът на ротационното тяло получаваме, когато диаметърът на разделяне клони към 0 и тогава неговата стойност е:

;

Пример: нека f (x) =  R² – x²; тогава

; получихме формулата за обема на сфера с радиус R;
30. Несобствени интеграли.
Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана за x  a и интегруема в интервалите от вида [a, p], където p > a; казваме, че

несобственият интеграл е сходящ, ако съществува границата при p   и тогава той има стойност тази граница; в противен случай той е разходящ;

Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана за x  a и интегруема в интервалите от вида [q, a] където q < a; казваме, че

несобственият интеграл е сходящ, ако съществува границата при q  - и тогава той има стойност тази граница; в противен случай той е разходящ;

Дефиниция: Нека функцията f (x) е интегруема в интервалите от вида [a + , b], където 0 <  < b – a; казваме, че несобственият интеграл е сходящ, ако съществува границата

при   0+0 и тогава той има стойност тази граница;

в противен случай той е разходящ;

Дефиниция: Нека функцията f (x) е интегруема в интервалите от вида [a, b - ], където 0 <  < b – a; казваме, че несобственият интеграл е сходящ, ако съществува границата

при   0+0 и тогава той има стойност тази граница;

в противен случай той е разходящ;

Дефиниция: Несобственият интеграл се дефинира за функции, които са непрекъснати за всяко x и по дефиниция:

= + , където c е междинна точка;

междинни точки също може да се използват ако функцията има особености и в двете граници; например:

;
Примери:

;

;
, но тази граница не съществува  интегралът е разходящ;
Дефиниция: Казваме, че интегралът е абсолютно сходящ, ако е сходящ интеграла;

Твърдение: Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани за x  a и интегруеми във всеки интервал от вида [a, p], kъдето p > a; ако е изпълнено: 0  f (x)  g (x) за всяко x  a и е сходящ, то

също е сходящ;

Доказателство: по свойствата на определените интеграли,

за всяко p > a е изпълнено:

 < = C; некa F (p) =; от последното неравенсто  F (p) е ограничена; освен това f (x)  0 за всяко x  a 

F (p) е монотонно растяща; нека M = sup F (p), p  a;

ще покажем, че F (p) има граница при p   и тя е равна на М ; фиксираме  > 0; тогава M -  не е горна граница на F (p)  съществува p₀, такова че F (p₀) > M - ; тъй като F (p) е монотонно растяща, тогава за всяко p > p₀ ще имаме: F (p) > M - ; и така получаваме неравенствата: M -  < F (p)  M  0  M – F (p) <  за всяко p > p₀  F (p) притежава граница при p   и тя е равна на M;
Следствие: Ако е разходящ, то също е разходящ;
Твърдение: Ако несобственият интеграл е абсолютно сходящ, то той е сходящ;

Доказателство: Да отбележим, че обратното не е вярно;

Разглеждаме функциите:

f₁(x) = (|f (x)| + f (x) )/2; f₂ (x) = (|f (x)| - f (x) )/2;

ясно е че 0  f₁ (x)  |f (x)|, 0  f₂ (x)  |f (x)|;

по горното твърдение получаваме, че и са сходящи  е сходящ и тъй като f₁ (x) – f₂ (x) = f (x) 

е сходящ;

Сравняване на несобствени интеграли
Да разгледаме следният интеграл:

;

този интеграл очевидно е сходящ при  > 1 и разходящ при   1 (при  = 1 той е равен на lnp – lna за p  );

и така, ако функцията f (x) е такава, че |f (x)|  1/x^,  > 1 то интегралът е сходящ; ако пък |f (x)|  1/x^,   1 интегралът е разходящ;

този интеграл очевидно е сходящ при  < 1; при   1 той е разходящ

( при  = 1, получаваме ln|b-a| - ln  при   0+0);

и така, ако функцията f (x) е такава, че |f (x)|  1/(x-a)^,  < 1 то интегралът

е сходящ; ако пък |f (x)|  1/x^,   1 интегралът е разходящ;

Примери:

; това е така, тъй като

втората функция има граница при x   (тя е 1/2)  тя е ограничена за достатъчно големи x; интегралът е сходящ, защото

2 > 1;

това е така, тъй като sinx/x има граница при x  0 (тя е 1)  тя е ограничена в достатъчно малка околност на нулата; интегралът е сходящ, защото 1/2 < 1;
Край 24.01.2002

Каталог: 1kurs
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
1kurs -> Лекции по увод в програмирането
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
1kurs -> Седмичен разпис

Изтегляне 4.23 Mb.

Сподели с приятели:

1 ... 15 16 17 18 19 20 21 22 23