Шеста експериментална оценка на надеждността общи сведения за експерименталната оценка на надеждността

Фиг. 6.2

Построява се табл. 6.3 (фиг. 6.3). В първата колона се нанасят интервалите _i. Тъй като в последните четири интервала броят на елементите е малък, то целесъобразно е те да се обединят в един.

В третата колона се нанасят статистическите стойности на вероятността . В четвъртата колона се изчисляват теоретичните стойности на Р_i за всеки интервал

Например, за третия интервал: .

i	mi			n.pi	(mi – n.pi)2
0  0,5	42	0,42	0,394	39,4	6,76	0,171
0,5 1,0	23	0,23	0,238	23,8	0,64	0,027
1,0 1,5	12	0,12	0,145	14,5	6,25	0,431
1,5  2,0	8	0,08	0,088	8,8	0,64	0,073
2,0  2,5	5	0,05	0,053	5,3	0,09	0,017
2,5  3,0	5	0,05	0,032	3,2	3,24	1,013
3,0  5,0	5	0,05	0,05	5	0	0

-критерий е формулиран от руския математик Колмогоров. Този критерий се използва при проверка на хипотези за разпределения само на непрекъснати случайни величини.

За разлика от критерия ² на Пирсън (при който се сравняват емпиричните и теоретични честоти на разпределението), -критерият сравнява емпиричната F*(x) и теоретичната F(x) (хипотетичната) функции на разпределение. Освен това при използване на -критерия се предполага, че теоретичните стойности на параметрите на хипотетичната функция са известни (при критерия ² те може да се определят по данните на извадката). Тези ограничения стесняват областта на приложение на -критерия.

При използване на -критерия неизвестните теоретични параметри на хипотетичното разпределение се оценяват по данни от извадки с голям обем, които са паралелни на изследваната, или по данни от изследваната извадка. В последния случай -критерият става приблизителен в смисъл, че действителното ниво на значимост  е приблизително равно на зададеното (). В случая, когато параметрите на хипотетичното разпределение се оценяват по данни на изследваната извадка, -критерият показва по-добро съгласие с емпиричните данни от критерия ² на Пирсън. Затова при използването му се препоръчва да се използва по-голямо ниво на значимост  = 0,1  0,2.

По-долу са изложени два вероятностни модела [7], в първия от които са указани вероятностните предпоставки и правилото за проверка на хипотезата за вида на функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина. Във втория модел са дадени вероятностните предпоставки и правилото за проверка на хипотезата за принадлежността на две извадки към една и съща генерална съвкупност (или две генерални съвкупности имат една и съща функция на разпределение).

Модел 1:

Формулирана е хипотеза за това, че изследваната случайна величина Х има непрекъсната функция на разпределение F (x). От генералната съвкупност с функция на разпределение F (x) е извлечена случайна извадка с обем n (n  50). Трябва да се провери дадената хипотеза.

1. 
   построява се вариационен ред;
   
2. 
   намира се емпирическата функция на разпределение
   

3. 
   приема се хипотеза за вида на функцията на разпределение и се оценяват параметрите на това разпределение;
   
4. 
   изчисляват се стойностите на теоретичната функция в точките х_i;
   
5. 
   изчислява се за всяка точка х_i разликата между емпиричната и теоретичната (хипотетична) функции на разпределение по абсолютна стойност
   

6. 
   избира се максималната стойност на разликата Д_max и в зависимост от обема на извадката се изчислява мярката за отклонение по следните правила:
   

7. 
   по табл. 6.4 при зададено ниво на значимост  се намира критичната стойност _, която се сравнява с наблюдаваната , определена по (6.23); ако  < _ хипотезата се приема, ако   _ хипотезата се отхвърля и се извършва нова проверка.
   

	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
	1,073	1,224	1,358	1,520	1,627	1,950

Интервали на якостта [MPa]	mi	Интервали на якостта [Mpa]	mi
19  20	10	22  23	64
20  21	26	23  24	30
21  22	56	24  25	14

От условието следва, че точните параметри на хипотетичното нормално разпределение са неизвестни. Затова хипотезата словесно може да се формулира така: F(х) е функция на нормалното разпределение с параметри , .

За проверка на тази хипотеза се определят стойностите на средите на интервалите и точковите оценки на параметрите на нормалното разпределение:








Тъй като обемът на извадката е достатъчно голям (n = 200) може да се приемат тези оценка за истинските стойности на a и .

Всички спомагателни разчети са сведени в следната таблица:

В последната колона на петия ред се откроява най-голямата стойност на разликата между съответните стойности на емпиричната и хипотетична функции.

Наблюдаваната стойност на мярката се изчислява така:

По табл. 6.4 при зададеното ниво  = 0,20 се намира критичната стойност _ = 1,073, която е по-голяма от наблюдаваната, т.е. може да се приеме хипотезата за нормално разпределение на якостта при натиск за изследваните елементи.

Получени са две случайни извадки с обеми n₁ и n₂. Трябва да се провери хипотезата, че двете извадки са извлечени от едни и съща генерална съвкупност с хипотетична функция на разпределение F(x).

Проверката на хипотезата се основава на изчисляване на мярката :

, (6.25)

където и са емпиричните функции, построени по данни от съответните извадки.

Ако хипотезата е вярна, то при n   разпределението на  се схожда към разпределението на Колмогоров.

независимо от вида на функцията F(x). По табл. 6.4 по зададеното ниво на значимост  се намират критичните стойности на _, удовлетворяващи условието

Р (  _) = .

Ако се окаже, че   _ хипотезата се отхвърля, а при  < _ се приема хипотезата, че двете извадки са от една и съща съвкупност с функция на разпределение F(x).

Интервали на изме- нение на 	mij
	Извадка 1 mij	Извадка 2 mij
- 15; - 10	10	-
-10; - 5	27	7
- 5; 0	43	17
0; 5	38	30
5; 10	23	29
10; 15	8	15
15; 20	1	1
20; 25	-	1

Задачата е да се провери хипотезата, че изследваната погрешност на обработване на елементите през дадения период от време притежава една и съща функция на разпределение. Ниво на значимост -  = 0,05.

Следователно, трябва да се провери хипотезата, че F₁ (x) = F₂(x) (т.е. процесът на изработване на елементите на тази автоматична машина е устойчив във времето). Резултатите от изчисляването на разликата (6.25) са изложени в таблицата:

xi+1 [MK]	m1j	m2j					D*
- 10	10	-	10	-	0,067	0,000	0,067
- 5	27	7	37	7	0,246	0,070	0,176
0	43	17	80	24	0,533	0,240	0,193
5	38	30	118	54	0,787	0,540	0,247
10	23	29	141	83	0,940	0,830	0,110
15	8	15	149	98	0,993	0,980	0,013
20	1	1	150	99	1,000	0,990	0,010
25	-	1	150	199	1,000	1,000	0,000

Резултатите от последната колона показват, че най-голямата разлика между емпирическите функции и е 0,247.

По табл. 6.4 при зададено ниво  = 0,05 се намира критичната стойност на -разпределението – _ = 1,358. Тъй като   = 1,914 > _ = 1,358 не трябва да се приеме изказаната хипотеза, че погрешността при изработване на елементите в указания период от време се описва с една и съща функция на разпределение. Полученият резултат показва, че процесът на производство в дадения случай не е устойчив във времето.

Всяка точкова оценка, даже ако удовлетворява всички критерии за качество, притежава съществен недостатък – тя представлява само частна стойност на случайната величина. Точковата оценка не позволява да се отговори на въпроса каква е грешката, когато вместо точната стойност на неизвестния показател се приема някаква приблизителна стойност .

Ясно е, че колкото разликата е по-малка, толкова оценката е по-точна, т.е. точността може да се характеризира с някакво положително число : . Статистическите методи не позволяват категорично да се определи каква е точността при даден обем на извадката. Може само да се определи вероятността, с която това неравенство се изпълнява. Във връзка с това в практиката се използва интервална оценка, основана на определяне на някакъв интервал, в който с определена вероятност се намира неизвестната стойност на изследвания параметър на надеждността.

Вероятността за изпълнение на неравенството в математическата статистика е наречена доверителна вероятност.

Доверителната вероятност на оценката се задава предварително. Обикновено, .

Интервалът , в който се намира неизвестната стойност на изследвания параметър на надеждността с определена доверителна вероятност е наречен доверителен интервал.

При фиксирана точност (големина на доверителния интервал) доверителната вероятност ще нараства с увеличаване на броя на опитите. При фиксиран брой опити не може да се повиши доверителната вероятност, без да се намали точността на оценката, т.е. не разширявайки доверителния интервал, и обратно, не може да се увеличи точността на оценката, ако не се намали при това доверителната вероятност.

Ако е известен видът на функцията на разпределение на оценката, то доверителните интервали обикновено се изчисляват така: долна граница – на ниво, горна граница – на ниво .