СИСТЕМА ОТ ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ТВЪРДЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИЯ
А Всяка права има безброй много точки.
А През дне различни точки минава само една права.
Основни понятия: точка, права, равнина
О Ос, лъч, полуравнина
О Отсечка. Дължина на отсечка. Понятието „между“.
О Среда на отсечка. Сбор на отсечки. Разлика на две отсечки.
О Ъгъл. Рамене, връх на ъгъл.
О Изправен ъгъл. Вътрешни точки на ъгъл.
О Мярка на ъгъл – градус, минута, секунда. Сравняване на ъгли.
А Ако два равни ъгъла с общо рамо се нанесат в една полуравнина с контур това общо рамо, вторито им рамене съвпадат
О Сбор на ъгли. Разлика на два ъгъла. Ъглополовяща на ъгъл.
О Съседни ъгли.
Т Сборът на съседните ъгли 180º.
О Прав ъгъл.
Т Съседен ъгъл на прав ъгъл е също прав ъгъл.
Т Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав ъгъл.
О Остър ъгъл. Тъп ъгъл.
О Пресекателни прави. Сливащи се прави. Успоредни прави.
О Противоположни (връхни) ъгли.
Т Всеки два противоположни ъгъла са равни.
О Перпендикулярни прави.
Т През точка, която лежи на дадена права, може да се начертае само една права, перпендикулярна на дадената права.
О Кръстни ъгли. Соътветни ъгли. Прилежащи ъгли.
УСПОРЕДНИ ПРАВИ
А През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.
Т През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.
Следствия:
Т Ако две прави по отделно са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.
Т Ако права пресича едната от две успоредни прави, то тя пресича и другата.
Признаци за успоредност на две прави
Т-признак Ако при (a, b) × c двойка кръсти ъгли са равни, то а ‖ b.
Т-признак Ако при (a, b) × c двойка съответни ъгли са равни, то a ‖ b.
Т-признак Ако при (a, b) × c сборът на двойка прилежащи ъгли е 180º, то a ‖ b.
Т-признак Ако две прави по отделно са перпендикулярни на трета права, то те са успоредни помежду си.
Свойства за успоредност на две прави
Т-свойство Ако (a ‖ b) × c, то:
• всички двойки кръсти ъгли са равни;
• всички двойки съответни ъгли са равни;
• всички двойки прилежащи ъгли се допълват до 180º.
Следствия на теоремите за успоредност на две прави
Т Ако права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата.
Т През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената.
О Разстояние от точка до права.
Т Ако две прави са успоредни, то точките на едната от тях се намират на равни разстояния от другата права.
О Разстояние между две успоредни прави.
ТРИЪГЪЛНИК
О Триъгълник – страни, ъгли.
О Периметър на триъгълник. Вътрешност на триъгълник. Видове триъгълници.
О Височина, ъглополовяща и медиана в триъгълника.
Т Сборът от ъглите на триъгълник е 180º.
Т Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора на двата вътрешни, несъседни нему, ъгли.
Т Всеки външен ъгъл на триъгълник е по-голям от вътрешен, несъседен нему, ъгъл на същия триъгълник.
Еднакви триъгълници
О Еднакви триъгълници. Съответни елементи в еднакви триъгълници.
Т Първи признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и ъгъл между тях съответно равни.
Т Втори признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат страна и два прилежащи ъгъла съответно равни.
Т-следствие Два триъгълника са еднакви, ако имат страна и два ъгъла съответно равни.
• Основна задача: В еднаквите триъгълници съответните височини са равни, съответните медиани са равни, съответните ъглополовящи са равни.
Т Трети признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат по три страни съответно равни.
Равнобедрен триъгълник
О Триъгълник, на който две от страните са равни, се нарича равнобедрен.
Т-признак Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, той е равнобедрен.
Т-свойство В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни.
• Основна задача: В равнобедрения триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат.
• Основна задача: Всеки равнобедрен триъгълник с ъгъл 60º е равностранен.
Т В триъгълника срещу равни страни лежат равни ъгли и обратно.
Симетрала на отсечка
О Права, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата ѝ.
• Основна задача: В равнобедрения триъгълник ABC (AC = BC)
hc = mc = lc = SAB.
Т Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.
Т Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.
Правоъгълен триъгълник
Т Сборът на острите ъгли в правоъгълен триъгълник е 90º.
• Основна задача: Правоъгълният равнобедрен триъгълник има остри ъгли по 45º.
Т Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат катет и хипотенуза съответно равни (приемаме за четвърти признак).
Т Свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30º: В правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е 30º тогава и само тогава, когато катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата.
Т Свойство на правоъгълен триъгълник: В правоъгълния триъгълник медианата към хипотенузата е половината от хипотенузата.
Т Ако в триъгълник медианата към една страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. триъгълникът е правоъгълен.
Ъглополовяща на ъгъл
О Ъглополовяща на ъгъл.
Т Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл е на равни разстояния от раменете на този ъгъл.
Т Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на този ъгъл.
Неравенства в триъгълника
Т В триъгълника срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.
Т В триъгълника срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
Т-следствие В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки катет.
Т-следствие Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена.
Т В триъгълника всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.
Т Ако всяка от три дадени отсечки a, b, c е по-малка от сбора на другите две, то има триъгълник със страни a, b, c.
ОКРЪЖНОСТ
О Окръжност – център, радиус, хорда, диаметър, дъга, централен ъгъл.
Т Ако в две окръжности с равни радиуси две хорди са равни, то и съответните им централни ъгли са равни.
ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ
Основни построения:
• точка, права, окръжност;
• пресечна точка на две прави;
• пресечна точка на права и окръжност;
• пресечна точка на две окръжности;
• пренасяне на отсечки;
• пренасяне на ъгъл;
• симетрала на отсечка;
• перпендикуляр от точка към права;
• ъглополовяща на ъгъл
Построяване на триъгълник
• по две страни и ъгъл между тях;
• по страна и два прилежащи ъгъла;
• по три страни;
• построяване на ъгли, равни на 60º, 30º, 45º, 90º.
ЧЕТИРИЪГЪЛНИК
Т Сборът от ъглите на четириъгълника е 360º.
УСПОРЕДНИК
О Четириъгълник, на който срещуположните двойки страни са успоредни, е успоредник.
Т-признак Четириъгълник, на който срещуположните двойки страни са равни, е успоредник.
Т-признак Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник.
Т-признак Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник.
Т-свойство В успоредника срещуположните двойки страни са равни.
Т-свойство В успоредника срещуположните ъгли са равни.
Т-свойство В успоредника сборът от прилежащите на коя да е страна ъгли е 180º.
Т-свойство В успоредника диагоналите взаимно се разполовяват.
Правоъгълник
О Успоредник с прав ъгъл е правоъгълник.
Т-признак Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.
Т-признак Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.
Т-свойство В правоъгълника диагоналите са равни.
Ромб
О Успоредник с равни съседни страни е ромб.
Т-признак Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендигулярни, е ромб.
Т-свойство В ромба диагоналите са взаимно перпендигулярни.
Т-свойство В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.
Квадрат
О Правоъгълник с равни съседни страни е квадрат.
О Ромб с прав ъгъл е квадрат.
ТРАПЕЦ
О Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни, се начира трапец.
Елементи: основи, бедра, височини, диагонали.
Равнобедрен трапец
О Трапец с равни бедра се нарича равнобедрен трапец.
Т-признак Ако в един трапец ъглите при основата са равни, той е равнобедрен.
Т-свойство Ако един трапец е равнобедрен, то ъглите при основата са равни.
Т-свойство В равнобедрения трапец диагоналите са равни.
Правоъгълен трапец
О Трапец, на който едното бедро е перпендикулярно на основата, се нарича правоъгълен трапец.
ЛИЦА НА ФИГУРИ
Триъгълник: S = aha : 2 = bhb : 2 = chc : 2
Успоредник: S = aha = bhb
Правоъгълник: S = ab
Ромб: S = aha = d1d2 : 2
Квадрат: S = a2 = d2 : 2
Делтоид: S = d1d2 : 2
Трапец: S = (a + b) : 2 . h
Сподели с приятели: |