Система от основни понятия и твърдения по геометрия а всяка права има безброй много точки. А



Дата16.10.2018
Размер73.39 Kb.
СИСТЕМА ОТ ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ТВЪРДЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИЯ

А Всяка права има безброй много точки.

А През дне различни точки минава само една права.

Основни понятия: точка, права, равнина

О Ос, лъч, полуравнина

О Отсечка. Дължина на отсечка. Понятието „между“.

О Среда на отсечка. Сбор на отсечки. Разлика на две отсечки.

О Ъгъл. Рамене, връх на ъгъл.

О Изправен ъгъл. Вътрешни точки на ъгъл.

О Мярка на ъгъл – градус, минута, секунда. Сравняване на ъгли.

А Ако два равни ъгъла с общо рамо се нанесат в една полуравнина с контур това общо рамо, вторито им рамене съвпадат

О Сбор на ъгли. Разлика на два ъгъла. Ъглополовяща на ъгъл.

О Съседни ъгли.

Т Сборът на съседните ъгли 180º.

О Прав ъгъл.

Т Съседен ъгъл на прав ъгъл е също прав ъгъл.

Т Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав ъгъл.

О Остър ъгъл. Тъп ъгъл.

О Пресекателни прави. Сливащи се прави. Успоредни прави.

О Противоположни (връхни) ъгли.

Т Всеки два противоположни ъгъла са равни.

О Перпендикулярни прави.

Т През точка, която лежи на дадена права, може да се начертае само една права, перпендикулярна на дадената права.

О Кръстни ъгли. Соътветни ъгли. Прилежащи ъгли.

УСПОРЕДНИ ПРАВИ

А През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.

Т През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.

Следствия:



Т Ако две прави по отделно са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.

Т Ако права пресича едната от две успоредни прави, то тя пресича и другата.

Признаци за успоредност на две прави

Т-признак Ако при (a, b) × c двойка кръсти ъгли са равни, то а ‖ b.

Т-признак Ако при (a, b) × c двойка съответни ъгли са равни, то a ‖ b.

Т-признак Ако при (a, b) × c сборът на двойка прилежащи ъгли е 180º, то a ‖ b.

Т-признак Ако две прави по отделно са перпендикулярни на трета права, то те са успоредни помежду си.

Свойства за успоредност на две прави

Т-свойство Ако (a ‖ b) × c, то:

всички двойки кръсти ъгли са равни;

всички двойки съответни ъгли са равни;

всички двойки прилежащи ъгли се допълват до 180º.

Следствия на теоремите за успоредност на две прави

Т Ако права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Т През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената.

О Разстояние от точка до права.

Т Ако две прави са успоредни, то точките на едната от тях се намират на равни разстояния от другата права.

О Разстояние между две успоредни прави.

ТРИЪГЪЛНИК

О Триъгълник – страни, ъгли.

О Периметър на триъгълник. Вътрешност на триъгълник. Видове триъгълници.

О Височина, ъглополовяща и медиана в триъгълника.

Т Сборът от ъглите на триъгълник е 180º.

Т Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора на двата вътрешни, несъседни нему, ъгли.

Т Всеки външен ъгъл на триъгълник е по-голям от вътрешен, несъседен нему, ъгъл на същия триъгълник.

Еднакви триъгълници

О Еднакви триъгълници. Съответни елементи в еднакви триъгълници.

Т Първи признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и ъгъл между тях съответно равни.

Т Втори признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат страна и два прилежащи ъгъла съответно равни.

Т-следствие Два триъгълника са еднакви, ако имат страна и два ъгъла съответно равни.

Основна задача: В еднаквите триъгълници съответните височини са равни, съответните медиани са равни, съответните ъглополовящи са равни.



Т Трети признак за еднаквост на два триъгълника. Два триъгълника са еднакви, ако имат по три страни съответно равни.

Равнобедрен триъгълник

О Триъгълник, на който две от страните са равни, се нарича равнобедрен.

Т-признак Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, той е равнобедрен.

Т-свойство В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни.

Основна задача: В равнобедрения триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат.

Основна задача: Всеки равнобедрен триъгълник с ъгъл 60º е равностранен.

Т В триъгълника срещу равни страни лежат равни ъгли и обратно.

Симетрала на отсечка

О Права, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата ѝ.

Основна задача: В равнобедрения триъгълник ABC (AC = BC)

hc = mc = lc = SAB.

Т Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.

Т Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.

Правоъгълен триъгълник

Т Сборът на острите ъгли в правоъгълен триъгълник е 90º.

Основна задача: Правоъгълният равнобедрен триъгълник има остри ъгли по 45º.



Т Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат катет и хипотенуза съответно равни (приемаме за четвърти признак).

Т Свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30º: В правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е 30º тогава и само тогава, когато катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата.

Т Свойство на правоъгълен триъгълник: В правоъгълния триъгълник медианата към хипотенузата е половината от хипотенузата.

Т Ако в триъгълник медианата към една страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. триъгълникът е правоъгълен.

Ъглополовяща на ъгъл

О Ъглополовяща на ъгъл.

Т Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл е на равни разстояния от раменете на този ъгъл.

Т Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на този ъгъл.


Неравенства в триъгълника

Т В триъгълника срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

Т В триъгълника срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

Т-следствие В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки катет.

Т-следствие Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена.

Т В триъгълника всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Т Ако всяка от три дадени отсечки a, b, c е по-малка от сбора на другите две, то има триъгълник със страни a, b, c.

ОКРЪЖНОСТ

О Окръжност – център, радиус, хорда, диаметър, дъга, централен ъгъл.

Т Ако в две окръжности с равни радиуси две хорди са равни, то и съответните им централни ъгли са равни.

ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ

Основни построения:

• точка, права, окръжност;

• пресечна точка на две прави;

• пресечна точка на права и окръжност;

• пресечна точка на две окръжности;

• пренасяне на отсечки;

пренасяне на ъгъл;

• симетрала на отсечка;

• перпендикуляр от точка към права;

• ъглополовяща на ъгъл



Построяване на триъгълник

по две страни и ъгъл между тях;

• по страна и два прилежащи ъгъла;

• по три страни;



• построяване на ъгли, равни на 60º, 30º, 45º, 90º.

ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Т Сборът от ъглите на четириъгълника е 360º.

УСПОРЕДНИК

О Четириъгълник, на който срещуположните двойки страни са успоредни, е успоредник.

Т-признак Четириъгълник, на който срещуположните двойки страни са равни, е успоредник.

Т-признак Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник.

Т-признак Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник.

Т-свойство В успоредника срещуположните двойки страни са равни.

Т-свойство В успоредника срещуположните ъгли са равни.

Т-свойство В успоредника сборът от прилежащите на коя да е страна ъгли е 180º.

Т-свойство В успоредника диагоналите взаимно се разполовяват.

Правоъгълник

О Успоредник с прав ъгъл е правоъгълник.

Т-признак Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.

Т-признак Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.

Т-свойство В правоъгълника диагоналите са равни.

Ромб

О Успоредник с равни съседни страни е ромб.

Т-признак Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендигулярни, е ромб.

Т-свойство В ромба диагоналите са взаимно перпендигулярни.

Т-свойство В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.

Квадрат

О Правоъгълник с равни съседни страни е квадрат.

О Ромб с прав ъгъл е квадрат.

ТРАПЕЦ

О Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни, се начира трапец.

Елементи: основи, бедра, височини, диагонали.

Равнобедрен трапец

О Трапец с равни бедра се нарича равнобедрен трапец.

Т-признак Ако в един трапец ъглите при основата са равни, той е равнобедрен.

Т-свойство Ако един трапец е равнобедрен, то ъглите при основата са равни.

Т-свойство В равнобедрения трапец диагоналите са равни.

Правоъгълен трапец

О Трапец, на който едното бедро е перпендикулярно на основата, се нарича правоъгълен трапец.


ЛИЦА НА ФИГУРИ

Триъгълник: S = aha : 2 = bhb : 2 = chc : 2

Успоредник: S = aha = bhb

Правоъгълник: S = ab

Ромб: S = aha = d1d2 : 2

Квадрат: S = a2 = d2 : 2

Делтоид: S = d1d2 : 2

Трапец: S = (a + b) : 2 . h


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница