Математическият модел на една и съща система може да бъде различен при различни цели на изследването

Утвърденият математически инструментариум е свързан основно с два вида режими на работа на САР и САУ по отношение на времето , а именно - статичен (статика) и динамичен (динамика).

Количествената зависимост между установените (равновесни) стойности на променливите на системата и външните въздействия се нарича статична характеристика. Тя може да бъде получена когато времето t и да се отнася за отделен елемент, група елементи или за цялата система. В редица производства, особено с непрекъснат характер, се налага поддържане на редица величини без промяна продължително време, т.е. осъществяване на т.н. статични режими. Последните обуславят, в голям брой случаи, икономическия ефект от действието на системата . Поради това е от изключителна важност коректността на модела, по който те се реализират и точността на неговото изпълнение на практика.

Всяка статична характеристика, в голям диапазон на изменение на променливите и на външните въздействия, се оказва нелинейна и се описва в най - общ вид с функционалните зависимости:

y = f(x) (1.1)

при една входна променлива или

(1.2)

при n входни променливи.

Статичната характеристика може да бъде получена експериментално, подавайки на входа на дадения елемент (система) постоянно въздействие и измервайки изходната величина след завършване на преходния процес или чрез съответни пресмятания по формули на статиката. Ако в целия диапазон на изменение на входните променливи съществуват производните f /  x , i= 1,2,....n и те нямат прекъсвания, то статичната характеристика се нарича гладка (непрекъсната). Когато на всяка съвкупност от стойности на входните променливи съответства само една стойност на изходната променлива, статичната характеристика е еднозначна. В противен случай тя е не еднозначна, което най - често се дължи на неотчетени в уравнение (1.2) входни променливи с по - сложен алгоритъм на формиране на функционалната зависимост. За елементи, описвани с уравнение (1.1), статичните характеристики биват симетрични и несиметрични.. Симетричните от своя страна се делят на четни, при които f(-x)=f(x) и нечетни , за които f(x)f(-x). Oсобено удобни за практиката са линейните статични характеристики, описвани със зависимостта

(1.3),

Формулите за определяне на са известните от аналитичната геометрия зависимости за построяване на права през две точки. При повече входни променливи линейната статична характеристика добива вида

Параметрите й се определят от решението на следната система линейни уравнения, записани за (n+1) точки с координати :

Най - прост начин за изучаване на сложните системи, съдържащи различни нелинейни зависимости , е линеаризацията. Същността му се състои в замяна на нелинейната система ( респ. нелинейна характеристика) с еквивалентна линейна. Получава се т.н. линеаризиран модел. Последният не може да замени напълно нелинейната система, но в някои случаи неговото поведение може да бъде почти идентично с поведението на реалната нелинейна система. Известни са няколко подхода за линеаризация: линеаризация в околността на дадена работна точка, хармонична линеаризация (метод на описващата функция), статистическа линеаризация, комбинация от хармонична и статистическа линеаризация. В по - нататъшното изложение ще се спрем основно на първия подход.

Поради непрекъснато действащите смущения върху реалните САР и САУ , както и поради необходимостта често да се сменят стойностите на редица управляващи променливи (задания) , основните режими на работа на автоматичните системи се оказват динамичните.Тъй като всяка реална система се състои от определен брой технически устройства (елементи), то анализът на динамичното поведение на системата налага изучаване на процесите както в самата система, така и в отделните й елементи.

Диференциалните уравнения са класическото математическо средство за описание на динамичните режими. Получаването на диференциалното уравнение на една техническа система се базира на задълбочен анализ на процесите в отделните й елементи, съставяне на техните диференциални уравнения и отчитане на връзките между елементите в конкретни условия. При това се използват общите закони, които са в сила за дадената област на физичните явления и опита, натрупан в други изследвания за аналогични обекти. Прилагането на общите закони носи индивидуален характер, но се използват аналогични форми. Ако инженерът е добре запознат с една от областите на физическите явления, напр. електрическите системи, той може да използва опита си при изследване и проектиране на механични системи, топлотехнически системи и т.н.

За системи с един вход и един изход ( SISO ) най - общата форма на запис на диференциалното уравнение е

Тя дава връзката между входната величина х и изходната величина у и техните производни. Уравнение (1.6) може да бъде линейно или нелинейно. На практика, когато е допустимо, винаги се прибягва до линеаризация, като се получава уравнение на линеаризираната система в следния общ вид

Начините на линеаризация за най - често срещаните на практика случаи ще бъдат разгледани в по - нататъшното изложение.

Диференчните уравнения се използват за описание на динамичните процеси в дискретните системи. Ще бъдат разгледани само особеностите на линейни диференчни уравнения с постоянни параметри. При дискретните системи, понятията “производна” няма смисъл. Вместо него се използва понятието “крайна разлика”, която се дефинира по следния начин:

Знакът отразява т.н. “права разлика”, а знакът - т.н. “обратна разлика”.В математическо отношение е равносилно дали ще се работи с правите или с обратните разлики. Приведените формули отразяват т.н. “първи разлики”, които са аналози на първите производни при непрекъснатите системи. Съществуват и разлики от по- висок ред. Общата формула за намирането на l-та права разлика е

При l=2 напр. се получава

При линейни зависимости между величините се получава линейно диференчно уравнение със следния общ вид

Ако в (1.8) съответните крайни разлики се заместят с техния конкретен формулен вид , определен по приведената обща формула, се получава:

(1.9),

В (1.10) с , респ. са означени комбинациите от (n-i), респ. (m-i)

елемента от (к-i)- ти клас. Броят на комбинациите, напр. за коефициента , се определя по формулата

Диференчното уравнение (1.9) се нарича още рекурентно уравнение и има голямо приложение при изчисляването на преходните процеси. Необходимо е да се отбележи, че за разлика от обикновените линейни диференциални уравнения, не винаги най - висшата разлика в уравнение (1.8) определя реда на уравнението. Напр. ,от уравнението

след заместване на означените крайни разлики се получава следната рекурентна форма

С други думи, редът на диферентното уравнение се определя от рекурентното уравнение и по определение е равен на максималната разлика на аргументите на променливата у, разделена с Т.