5. Основни закони и аксиоми на алгебрата на логиката. Могат да се формулират няколко аксиоми и закони, отразяващи основните съотношения в алгебрата на логиката. Доказателства на законите в това пособие няма да бъдат правени, но те винаги могат да бъдат проверени, ако се зададат конкретни стойности на аргументите.
Тази таблица илюстрира дуалността (двойствеността) на логическите функции - всяко равенство от колонка А (Б) може да се получи от съответното му равенство от колонка Б (А), като операцията дизюнкция се замени с конюнкция и обратно, а 1 с 0 и обратно.
Таблицата може да бъде допълнена с теоремата на Шенон, която се явява приложение на закона на де Морган върху n аргумента и гласи следното:
- Логическото отрицание на произведението от n аргумента е равно на логическата сума от отрицанията на аргументите, т.е. ;
- Логическото отрицание на сумата от n аргумента е равно на логическото произведение от отрицанията на аргументите, т.е. .
6. Примери за прилагане на основните закони на алгебрата на логиката. 6.1. Да се преобразуват логическите изрази:
1).
След традиционното разкриване на скобите се получава:
Ако добре се владеят законите и аксиомите на булевата алгебра, функцията би могла да се опрости много по-бързо:
За израза в първите скоби се прилага законът за съкращаване, а към получения израз - законът за поглъщане.
2).
Изразите във втората и третата двойки скоби са еднакви, следователно може да бъде приложен законът за повторението. Получава се:
Следва разкриване на скобите:
3).
След прилагане на законите на де Морган се получава:
Kъм получения израз се прилага законът за поглъщане:
Функцията зависи от 3 аргумента - A, B и C. Следователно таблицата на истинност ще има 8 реда - толкова, колкото са наборите за функция на 3 аргумента.
