Лекция №6: Механика на идеални флуиди Пълната система уравнения. Теоретичното описание на движението на един идеален флуид се основава на следната система уравнения



Дата02.02.2017
Размер163.59 Kb.
#14095
ТипЛекция
Лекция № 6: Механика на идеални флуиди

6.1. Пълната система уравнения. Теоретичното описание на движението на един идеален флуид се основава на следната система уравнения:

(уравнение на Ойлер) (6.1)

(уравнение за непрекъснатост) (6.2)

(термодинамично съотношение) (6.3)

Така например, в случай на газова фаза връзката между и р, ур. 6.3, може да бъде уравнението за състоянието на идеалния газ, т.е. p = ( /M)RT, където М (g/mol) e молекулното тегло; R = 8.3144 J/(Kmol) е универсалната газова константа; a Т е абсолютната температура. В ур. 6.1 сме използвали израза за ускорението, ур. 1.13.

Векторното уравнение 6.1 съдържа в себе си три уравнения съответствуващи на неговите проекции по трите координатни оси. В такъв случай, ур. 6.1–6.3 представляват система от 5 уравнения за определяне на следните 5 неизвестни функции:

(6.4)

В повечето случаи течностите могат да се опишат като несвиваем флуид с известна плътност = const. Тогава отпада от списъка на неизвестнте променливи, а системата уравнения се свежда до ур. 6.1 и 6.2, като последното добива вида v = 0.



6.2. Видове флуиди и течения

(а) Хомогенен флуид. За такъв флуид имаме = const., и тогава уравнението на Ойлер добива вида:

(хомогенен флуид) (6.5)

(б) Изоентропиен флуид. Да разгледаме следната форма на фундаменталното термодинамично уравнение на Гибс записано за единица маса от флуида:

(6.6)

Тук Н и S са, съответно, енталпията и ентропията на единица маса от флуида, а 1/ има смисъл на обем на единица маса. Ако флуидът е изоентропиен (т.е. не се обменя топлина между различните му части), тогава dS = 0, и ур. 6.6 се свежда до:



(6.7)

Като разделим ур. 6.7 на dxi (i = 1, 2, 3), получаваме



(6.8)

Предвид ур. 6.8, уравнението на Ойлер добива вида:



(изоентропиен флуид) (6.9)

(в) Изотермичен флуид. Да разгледаме следната форма на фундаменталното термодинамично уравнение на Гибс записано за единица маса от флуида:

(6.10)

Тук G е свободната енергия на Гибс на единица маса от флуида. Ако флуидът е изотермичен (т.е. обменът на топлина е толкова бърз, че температурата се изравнява), тогава dТ = 0, и ур. 6.10 се свежда до:



(6.11)

Като разделим ур. 6.11 на dxi (i = 1, 2, 3), получаваме



(6.12)

Предвид ур. 6.12, уравнението на Ойлер добива вида:



(изотермичен флуид) (6.13)

(г) Баротропен флуид. Уравнения 6.5, 6.9 и 6.13 могат да се обединят по следния начин:

(баротропен флуид) (6.14)

където:



(хомогенен флуид)

(изоентропиен флуид)

(изотермичен флуид)
(6.15)

По дефиниция, ур. 6.14 е уравнението на Ойлер за баротропен флуид.



(д) Стационарно течение. Ако локалната картина на течението не се изменя с времето (например, движение на течност по тръба с постоянна скорост), тречението се нарича стационарно. (На английски се използват термините „steady-state flow” или „stationary flow”; на руски се използва терминът „установившееся течение”.) В случай на стационарно течение е в сила съотношението:

(6.16)

където f e коя да е величина характеризирща течението. В частност, в лявата страна на ур. 6.14 изчезва локалната производна на скоростта по времето:



(стационарно течение на баротропен флуид) (6.17)

(е) Вектор-вихър и безвихрово (потенциално) течение. За да изразим квадратичния член, vv, ще използваме следната формула от векторния анализ:

(6.17a)

(6.17b)

Ур. 6.17а и 6.17b са две еквивалентни форми на запис на едно и също съотношение; А и В са два произволни вектора. Ако положим А = В = v, ур. 6.17 добива вида:



(6.18)

Векторът на локалната ъглова скорост на флуида, наричан още вектор-вихър, се дефинира както следва:



(6.19)

От ур. 6.18 и 6.19 получаваме:



(6.20)

където сме използвали означението v2 = vv, както и антикомутативността на векторното произведение: . Предвид ур. 6.20, уравнението на Ойлер, ур. 6.14, може да се представи във вида:



(6.21)

Ако векторът-вихър е равен на нула, = 0, течението се нарича безвихрово. За такова течение ур. 6.21 се свежда до:



(безвихрово течение) (6.22)

Нещо повече, от векторния анализ знаем, че ако ротацията на едно векторно поле е равна на нула, то това поле може да се представи като градиент от скаларно поле:



(6.23)

където величината = (r,t) се нарича потенциал на скоростта. Съответно, безвихровото течение се нарича още потенциално. В частния случай на безвихрово течение на несвиваем флуид, уравнението на непрекъснатостта добива вида на уравнение на Лаплас:



(6.24)

където 2   е операторът на Лаплас.



6.3. Пръв интеграл на уравнението на Ойлер; уравнение на Бернули

(a) Случай на стационарно течение. В този случай уравнението на Ойлер (6.21) добива вида:



(6.25)

където и е потенциалът на масовата сила:



(6.26)

В съответствие с ур. 1.12, пресмятаме пълната (лагранжевата) производна на израза в скобите на ур. 6.25



(6.28)

Понеже разглеждаме стационарно течение, първият член в дясната страна на ур. 6.28 е равен на нула. В допълнение към това, заместването на ур. 6.25 в последния член на ур. 6.28 дава:



(6.29)

При последната стъпка използвахме факта, че ако два от векторите в едно смесено произведение (на три вектора) съвпадат, то смесеното произведение е равно на нула. Ур. 6.29 показва, че



(ур. на Бернули за стационарно течение) (6.30)

където константата в дясната страна на ур. 6.30 не зависи от времето, но зависи от лагранжевите координати, , които номерират материалните точки. Ур. 6.30 показва, че за дадена материална точка отговаряща на фиксирани , величината v2/2 + u +  не се променя с времето.



(б) Случай на безвихрово течение. В този случай, = 0, и v = . Toгавa уравнението на Ойлер (6.22) добива вида:

(6.31)

Ур. 6.31 показва, че



(ур. на Бернули за безвихрово течение) (6.32)

Константата в дясната страна на ур. 6.32 не зависи от пространствените координати, т.е. тя е една и съща навсякъде във флуида в даден момент време, но може да се мени с хода на времето.



(в) Случай на стационарно безвихрово течение. В този случай, едновременно са в сила ур. 6.30 и 6.32, което означава, че

(уравнение на Бернули) (6.33)

където в дясната страна стои абсолютна константа, която не зависи нито от положението в пространството нито от момента време. Ур. 6.33 носи името на швейцарския физик и математик Даниел Бернули.

[Има трима известни щвейцарски математици и физици с фамилията Бернули: (1) Jacob Bernoulli (1654–1705), който е известен с числата на Бернули в математиката; (2) Johann Bernoulli (1667–1748), по малък брат на Jacob, който е известен със задачата за „брахистохроната” и е бил учител на Леонард Ойлер;

(3) Daniel Bernoulli (1700–1782), син на Йохан Бернули, е известен със своите трудове по хидродинамика (вкл. ур. 6.33), теория на вероятностите и статистика.]

В случай на течение на идеален несвиваем флуид в гравитационно поле, ур. 6.33 добива вида:

(уравнение на Бернули) (6.34)

Тук g е земното ускорение; заместили сме u = gz и  = р/. От ур. 6.34 се вижда, че при стационарно течение на несвиваема течност (без поле на тежестта) налягането достига най-големи стойности в точките, където скоростта е равна на нула. Такава точка обикновено има върху повърхността на тяло обтичано от флуид (точка О на Фиг. 6.1) и се нарича точка на стагнация (stagnation point). Aкo v0 и р0 са, съответно, скоростта и налягането далече от тялото, то предвид ур. 6.34 налягането в точката на стагнация е:



(6.35)




Фиг. 6.1. Скица на токовите линии при обтичане на твърдо тяло от идеален флуид; О е „точка на стагнация”, в която скоростта е равна на нула.

Лекция № 7: Механика на вискозни флуиди



7.1. Пълната система уравнения за определяне на петте неизвестни функции, vx(r,t), vy(r,t), vz(r,t), p(r,t) и (r,t), е същата като ур. 6.1–6.3, с единственото изключение, че уравнението на Ойлер, ур. 6.1, се заменя с уравнението на Навие-Стокс, ур. 4.15. Във важния частен случай на несвиваем флуид (течност), задачата се свежда до определяне на четирите функции vx(r,t), vy(r,t), vz(r,t) и p(r,t) от уравненията:

(уравнение на Навие-Стокс) (7.1)

(уравнение за непрекъснатост) (7.2)

По долу ще разгледаме решенията на системата от ур. 7.1–7.2 за различни хидродинамични задачи.



7.2. Плоско стационарно течение на несвиваем флуид (плоско течение на Кует). Да разгледаме слой от вискозна течност разположен между две паралелни твърди пластинки на разстояние h една от друга (Фиг. 7.1). Ще предполагаме, че долната пластинка (при у = 0) е неподвижна, докато горната (при у = h) се движи с постоянна скорост v0 по посока на оста х. Ще предполагаме също така, че граничният слой от течността прилепва към твърдата граница и се движи с нейната скорост: гранично условие за прилепване. В нашия случай (Фиг. 7.1) имаме:

(7.3)

При тези гранични условия, ще покажем, че задачата има решение, при което течността се движи на плоски слоеве, паралелни на твърдите стени, като скоростта на движение нараства от 0 за най-долния слой, до v0 = |v0| за най-горния слой. Такова „слоисто” течение се нарича ламинарно. В конкретния случай, то се нарича още плоско течение на Кует в чест на френския физик Морис Кует (Maurice Couette, 1858–1943).




Фиг. 7.1. Ламинарно течение на несвиваем вискозен флуид разположен между две паралелни твърди пластинки на разстояние h една от друга. Долната пластинка е неподвижна, докато горната се движи с постоянна скорост v0 по посока на оста х. Стрелките показват локалната скорост на съответния слой, която нараства линейно с у, вж. ур. 7.11.

Можем да си мислим, че системата е безкрайна по посока на осите х и z (Фиг. 7.1). В такъв случай, течението има транслационна симетрия по осите х и z, което означава, че величините които характеризират течението не зависят от координатите х и z, т.е.



(7.4)

(7.5)

Предвид ур. 7.5, уравнението за непрекъснатост 7.2 е тъждествено удовлетворено:



(7.6)

За члена vv в ур. 7.1 получаваме:



(7.7)

Предвид ур. 7.4, 7.5 и 7.7, уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.1, се свежда до:



(7.8)

Предвид ур. 7.4 и 7.5, ур. 7.8 съдържа в себе си две нетривиални съотношения, които са неговите х и у компоненти:



(7.9)

Последното уравнение означава, че за разглежданото течение налягалето е абсолютна константа, р = const. След двукратно интегриране на първото уравнение 7.9 получаваме:



(7.10)

Където а и b са интеграционни константи. Те се определят от граничните условия, ур. 7.3. Така получаваме:



(7.11)

С други думи, скоростта vx нараства линейно с у, така като е показано на Фиг. 7.1. За ротацията на полето на скоростта намираме:



(7.12)

където използвахме ур. 7.5 и 7.11. Вижда се, че за разглежданото ламинарно течение, в което слоевете от течността се прехлъзват един спрямо друг, ротацията на течността и векторът-вихър (вж. ур. 6.19) са различни от нула и имат една и съща стойност във всяка точка от флуида. По-нататък, като използваме ур. 7.5 и 7.11 намираме:



(7.13)

където а = v0/h, a e тензорът на скоростта на деформация. Силата на триене на единица площ от въображаема площадка разположена перпендикулярно на оста у (успоредно на слоевете на ламинарното течение) е ху = 2Dху = а = v0/h, или предвид ур. 7.11



(закон на Нютон за вискозното триене) (7.14)

където коефициентът (вискозитетът) се предполага че е константа, т.е. не зависи от r и t. Ур. 7.14 е предложено най-напред от Исак Нютон (1643–1727). Флуиди, които се отклоняват от закона на Нютон, ур. 7.14, се наричат ненютонови флуиди.



7.3. Течение на Поазьой (стационарно ламинарно течение по тръба). Taзи задача е наречена в чест на френския лекар-физиолог Jean-Louis Poiseuille (1799–1869), който е установил експериментално закономерностите при стационарно течение на несвиваем вискозен флуид по тръба във връзка с движението на кръвта по кръвоносните съдове. Да разгледаме цилиндрична тръба с радиус R. Oстa z на декартовата координатна система разполагаме по оста на цилиндъра, както е показано на Фиг. 7.2. Поради цилиндричната симетрия на системата, ще търсим скоростта на течността и налягането във вида:

(7.15)





Фиг. 7.2. Стационарно ламинарно течение на несвиваем вискозен флуид по цилиндрична тръба с радиус R. Разстоянието между краищата на тръбата е L, a съответният пад на налягането е р. Стрелките показват локалната скорост, vz(r), която има параболичен профил, вж. ур. 7.26.

Предвид ур. 7.15, уравнението за непрекъснатост добива вида:



(7.16)

С други думи, от уравнението за непрекъснатост следва, че vz може да зависи само от радиалната координата, r, но не и от z. Както преди, ще използваме условието за прилепване на граничния слой от течността към вътрешната повърхност на тръбата, което води до:



(гранично условие) (7.17)

Освен това, предвид ур. 7.15 и 7.16, имаме:



(7.18)

Тогава, уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.1, се свежда до:



(7.19)

Където сме отчели, че течението е стационарно и сме пренебрегнали ефекта от масовата сила. Първите две компоненти на ур. 7.19 водят до извода, че p = p(z):



(7.20)

z-компонентата на ур. 7.19 може да се представи във вида:

(7.21)

Предвид ур. 7.16 и 7.20, лявата страна на ур. 7.21 зависи само от z, докато дясната му страна – само от r. Това може да е изпълнено само ако всяка от двете страни на ур. 7.21 поотделно е равна на константа, която е означена с а. Така, за p(z) получаваме:



(7.22)

където b e интеграционна константа. Константите а и b можем да определим от граничните условия за налягането:



(7.23)

Oт ур. 7.22 и 7.23 получаваме:



(7.24)

От ур. 7.21, за скоростта vz(r) получаваме:



(7.25)

Където с и D са интеграционни константи. Понеже lnr e разходящ върху оста на тръбата, трябва да положим с = 0. константата D опредляме от граничното условие върху стената на тръбата, ур. 7.17



(7.26)

Тук използвахме факта, че а = p/L, виж ур. 7.24. Уравнение 7.26 описва параболично разпределение на скоростите по сечението на тръбата, така както е показано на Фиг. 7.2. Максималната скорост се достога в средата на тръбата (при r = 0):



(7.27)

Обемът течност който преминава през напречното сeчение на тръбата за единица време се нарича дебит (flow rate). Дебитът се пресмята по формулата:



(7.28)

Tук, при последната стъпка заместихме vz от ур. 7.26. След извършване на интегрирането, за дебита получаваме:



(7.29)

Tук, е средната скорост на течение на флуида по тръбата. В исторически план, ур. 7.29 за дебита е било получено експериментално от немския инженер-физик Г. Хаген (Gotthilf Hagen, 1839) и oт френския медик Жан-Луи Поазьой (J.-L. Poiseuille, 1840), като теоретичният извод на ур. 7.29 е даден от Стокс (G. G. Stokes, 1845).

7.4. Oсновните хидроднамични уравнения в цилиндрични и сферични координати. При решаване на хидродинамични задачи често се налага да се използват цилиндрични или сферични координати. За справка, по долу привеждаме уравненията за движение на вискозна несвиваема течност записани за тези два вида ортогонални криволинейни координати.

[Не се очаква тези уравнения да се възпроизвеждат на изпит.]



(а) Цилиндрични координати, r, , z

В цилиндрични координати компонентите на тензора на напреженията изглеждат по следния начин (както обикновено, е динамичният вискозитет):



(7.30)

(7.31)

(7.32)

Трите компоненти на уравнението на Навие-Стокс имат вида ( = / – кинематичен вискозитет):



(7.33)

(7.34)

(7.35)

където операторите "v" и "2" се задават от формулите:



(7.36)

(7.37)

Уравнението за непрекъснатост е:



(7.38)

(б) Сферични координати, r, , 

В сферични координати компонентите на тензора на напреженията изглеждат по следния начин ( е динамичният вискозитет):



, (7.39)

, (7.40)

, (7.41)

Трите компоненти на уравнението на Навие-Стокс имат вида ( = / – кинематичен вискозитет):



(7.42)

(7.43)

(7.44)

където операторите "v" и "2" се задават от формулите:



(7.45)

(7.46)

Уравнението за непрекъснатост е:



(7.47)

7.5. Движение на течност между въртящи се цилиндри. Тук ще разгледаме задачата за стационарното ламинарно течение на несвиваема вискозна течност разположена между два коаксиални въртящи се цилиндъра (Фиг. 7.3). Вътрешният цилиндър има радиус R1 и се върти с ъглова скорост 1, а външният цилиндър има радиус R2 и се върти с ъглова скорост 2. По същество, това е задачата на Кует от т. 7.2, но в цилиндрична геометрия.


Фиг. 7.3. Стационарно ламинарно движение на несвиваем вискозен флуид в пространството между два въртящи се коаксиални цилиндъра. Радиусът и ъгловата скорост на вътрешния цилиндър са R1 и 1, а за външния цилиндър те са съответно R2 и 2; оста z е насочена по оста на цилиндрите, a е азимуталният ъгъл.

Можем да си мислим, че системата е безкрайна по посока на оста z (Фиг. 7.3). Поради симетрията на течението, въвеждаме цилиндрични координати, rz; налягането и скоростта могат да зависят само от r:



(7.48)

(7.49)

където е е съответният единичен вектор от физическия базис в цилиндрични координати. Предвид ур. 7.38 и 7.49, уравнението за непрекъснатост 7.2 е тъждествено удовлетворено:



(7.50)

Предвид ур. 7.49, r-компонентата на уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.33, представлява уравнение за определяне на налягането при известно v(r):



(7.51)

С помощта на ур. 7.36, за члена vv в ур. 7.34 получаваме:



(7.52)

Тогава, предвид ур. 7.48, 7.49 и 7.52, -компонентата на уравненнието на Навие-Стокс, ур. 7.34, се свежда до:



(7.53)

Като заместим 2 от ур. 7.37 в ур. 7.53, получаваме:



(7.54)

Последното обикновено диференциално уравнение е от ойлеров тип; неговото общо решение има вида



(7.55)

което лесно се проверява чрез заместване на ур. 7.55 в ур. 7.54. За да определим интеграционните константи а и b, ще използваме граничните условия за скоростта върху двата цилиндъра:



(7.56)

Заместването на ур. 7.55 в ур. 7.56 дава две уравнения за определяне на константите а и b:



(7.57)

(7.58)

От ур. 7.57 и 7.58 намираме:



(7.59)

(7.60)

(a) Частен случай 1 = 2 = a = , b = 0. С други думи, ако двата цилиндъра се въртят с еднаква ъглова скорост, то стационарното движение на флуида е въртене със същата ъглова скорост, , като твърдо тяло.

(б) Частен случай 2 = 0 и R2    a = 0, b = 1R12. С други думи, ако един цилиндър с радиус R1 се върти с ъглова скорост 1 в безкраен флуид (R2  ), то породеното от този цилиндър джижение на течността е със скорост v = 1R12/r; виж ур. 7.55.

В общия случай, интересно е, че скоростта v не зависи от вискозитета, ; виж ур. 7.55, 7.59 и 7.60. Обаче, както ще видим по-долу, въртящият момент, който действува на всеки от двата цилиндъра (Фиг. 7.3) поради вискозното триене с флуида, е пропорционален на .

Да намерим въртящия момент М, който действува на вътрешния цилиндър с радиус R1. Нормалата към този цилиндър съвпада с единичния вектор в радиална посока, er, докато силата на триене на цилиндъра с вискозния флуид е насочена тангенциално към неговата повърхност, т.е. по посока на единичния базисен вектор е.. Тогава, силата на триене на единица площ от повърхността на този цилиндър се задава от компонентата r на тензора на напреженията. От ур. 7.30 за разглеждания цилиндър (r = R1) намираме:

(7.61)

По нататък, като заместим ур. 7.55 в ур. 7.61, получаваме:



(7.62)

Силата на триене, която действува на разглеждания цилиндър ще получим като умножим напрежението, r , по площта на околната повърхност на цилиндъра, 2R1L, къдетo L e дължината на цилиндъра. Момента М ще получим, като умножим силата по рамото на силата, което има дължина R1:



(7.63)

където използвахме ур. 7.62 и после ур. 7.60.



За измерване на вискозитет на течности се използва цилиндър с радиус R1, който виси на платинена нишка с известен коефициент на еластичност при усукване (торзионен коефициент), . Част от този цилиндър, с дължина L, e потопена в течност, която се съдържа в цилиндричен съд с радиус R2. Съдът се върти с постоянна ъглова скорост 2 и увлича течността във въртеливо движение. На свой ред, триенето с въртящата се течност поражда завъртане на потопения цилиндър с радиус R1 на определен ъгъл , при който усукващият момент на нишката балансира вискозния момент на течността. От измерения ъгъл на усукване и коефициента на торзионна еластичност на нишката, , се определя моментът, М = , а после от ур. 7.63 (с 1 = 0) се определя вискозитетът на течността:

(7.64)






Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница