КОНСПЕКТ
ЗА КАНДИДАТ - ДОКТОРАНТСКИ ИЗПИТ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ
-
Теорема за неявната функция.
-
Подмногообразия в Rn. Условни екстремуми и множители на Лагранж.
-
Криволинейни интеграли. Затворени и точни диференциали.
-
Аналитични функции. Теорема на Коши и теорема за резидуумите.
-
Теорема на Брауер за неподвижната точка. Основна теорема на алгебрата.
-
Лебегова мярка и лебегов интеграл в крайномерни пространства
-
Теореми за граничен преход в лебеговия интеграл.
-
Теореми на Фубини и Тонели.
-
Теорема на Лебег за диференцируемост на монотонна функция.
-
Теорема на Лайбниц – Нютон – Лебег за реални функции на една променлива.
-
Представяне на линейните функционали в C(0,1) и Lp.
-
Хилбертово пространство. Теорема за проекциите. Представяне на ограничените линейни функционали.
-
Ортонормирани системи. Неравенство на Бесел и равенство на Парсевал. Теорема на Рис – Фишер.
-
Компактни оператори. Алтернативи на Фредхолм.
-
Компактни самоспрегнати оператори. Теорема на Хилберт – Шмидт.
-
Комутативни банхови алгебри. Максимални идеали. Теорема на Гелфанд – Мазур.
-
Ограничени самоспрегнати оператори в Хилбертово пространство. Спектър и норма на смоспрегнат оператор. Положителни оператори и квадратен корен от положителен оператор.
-
Спектрална теорема за ограничен самоспрегнат оператор в Хилбертово пространство.
-
Метрични пространства. Пълнота. Теорема на Бер.
-
Компактност в метрични пространства.
-
Пространство C(M). Теореми на Арцела – Асколи и на Вайерщрас – Стоун.
-
Теорема на Хан – Банах и теореми за отделяне.
-
Теорема на Банах – Щайнхауз и теорема за сгъстяване на особеностите.
-
Теореми за отвореното изображение и за затворената графика.
ЛИТЕРАТУРА
Л. Люстерник, В. Соболев, Елементи на функционалния анализ.
У. Рудин, Функциональний анализ.
У. Рудин, Реален и комплексен анализ.
Л. Алфорс, Увод в теорията на аналитичните функции.
В. Илин, В. Садовничий, Бл. Сендов, Математически анализ I и II част.
Сподели с приятели: |