Закон за абсолютно сходящи редове. Теорема на Коши за произведение на абсолютно сходящи редове. Умножаване на степенни редове. Теорема на Абел

Спец. Математика, втори курс, първи семестър.

КОНСПЕКТ

1. 
   Равномерна сходимост на редици от функции. Непрекъснатост на граничната функция. Почленно интегриране и диференциране.
   
2. 
   Равномерно сходящи редове от функции. Принцип на Коши за сходимост. Критерий на Вайерщрас.
   
3. 
   Критерии на Абел и Дирихле за равномерна сходимост.
   
4. 
   Степенни редове. Радиус на сходимост. Формула на Адамар.
   
5. 
   Почленно диференциране и интегриране на степенни редове. Теорема за единственост на степенни редове.
   
6. 
   Теорема на Абел за сходимост в гранична точка на интервала на сходимост.
   
7. 
   Двойни числови редове. Изчерпващи системи от множества в N². Сходимост на двойни числови редове. Комутативен закон за абсолютно сходящи редове.
   
8. 
   Теорема на Коши за произведение на абсолютно сходящи редове. Умножаване на степенни редове. Теорема на Абел.
   
9. 
   Заместване на степенен ред в степенен ред. Деление на степенни редове.
   
10. 
    Собствени интеграли, зависещи от параметър. Теореми за непрекъснатост и диференцируемост.
    
11. 
    Несобствени интеграли, зависещи от параметър. Критерий на Коши за сходимост. Теорема за диференциране под знака на интеграла.
    
12. 
    Абсолютна и условна сходимост. Критерий на Вайерщрас. Пример на условно сходящ интеграл.
    
13. 
    Критерии на Абел и Дирихле за равномерна сходимост.
    
14. 
    Гама-функция на Ойлер. Основни свойства. Аксиоматична характеризация.
    
15. 
    Ред на Фурие на периодична функция – реална и комплексна форма. Основни свойства.
    
16. 
    Лема на Риман
    
17. 
    Изразяване на частичните суми на реда на Фурие чрез ядрото на Дирихле. Теорема за локалност.
    
18. 
    Критерии на Дини и Липшиц за поточкова и равномерна сходимост на реда на Фурие.
    
19. 
    Ред на Фурие на функцията Sign x . Ефект на Гибс.
    
20. 
    Суми и ядро на Фейер. Теорема за делта-образните редици от функции. Равномерна сходимост на сумите на Фейер.
    
21. 
    Теореми на Вайерщрас за апроксимация на непрекъснати функции с алгебраични и тригонометрични полиноми.
    
22. 
    Пространства със скаларно произведение – определение и основни свойства. Теорема на Питагор. Неравенство на Коши – Шварц – Буняковски. Теорема за проекцията.
    
23. 
    Теорема за базата в пространства със скаларно произведение. Теорема на Рис – Фишер за средноквадратична сходимост на редовете на Фурие.
    
24. 
    Мярка на Пеано – Жордан в равнината – елементарни множества, измерими множества, критерий за измеримост.
    
25. 
    Измеримост на криволинеен трапец в R² и на криволинеен цилиндър в R³.
    
26. 
    Дефиниции на многомерен интеграл – обща и специална дефиниция, дефиниции на Риман и Дарбу. Теорема на Дарбу (незадължително). Еквивалентност на дефинициите.
    
27. 
    Критерий на Дарбу за интегруемост. Класове интегруеми функции. Интегруемост на произведение на две интегруеми функции и на модул на интегруема функция.
    
28. 
    Основни свойства на многомерния интеграл.
    
29. 
    Свеждане на многомерния интеграл към многократен.
    
30. 
    Приложения на двойния и тройния интеграл – лице и център на тежестта на криволинеен трапец, обем на криволинеен цилиндър, принцип на Кавалиери.
    
31. 
    Лице на повърхнина, зададена като графика на гладка функция.
    
32. 
    Формула за смяна на променливите в многомерните интеграли.
    
33. 
    Полярни и сферични координати.
    

БИБЛИОГРАФИЯ

Спец. Математика, втори курс, първи семестър.

1. 
   Д. Дойчинов, Математически анализ в крайномерни пространства, Наука и изкуство, София, 1989
   
2. 
   В. А. Илин, В. А. Садовничи, Б. Х. Сендов, Математически анализ 2, Наука и изкуство, София, 1989;
   

Сборници със задачи:

1. 
   И. Проданов, Н. Хаджииванов, И. Чобанов, Сборник от задачи по диференциално и интегрално смятане, II издание, Ун. И-во “Св. Кл. Охридски”, 1992.
   
2. 
   Е. Любенова, П. Недевски, К. Николов, Л. Николова, В. Попов, Ръководство по математически анализ, Първа част, Ун. И-во “Св. Кл. Охридски”, 1991.
   
3. 
   Е. Любенова, П. Недевски, К. Николов, Л. Николова, В. Попов, Ръководство по математически анализ, Втора част, Ун. И-во “Св. Кл. Охридски”, 1994.