Специалност: Математика; изпит: ДИС 1
Курс 1, I семестър; хорариум 4+4
Анотация: курсът има задача да запознае студентите с дефинициите и свойствата на: сходящите редици и редове, непрекъснатите функции, производни на функция, формулата на Тейлър и приложенията и.
Примерен списък на темите:
-
Полета на рационалните и реални числа. Принцип за непрекъснатост.
-
Сходящи редици – дефиниция и основни свойства. Сходимост на монотонни редици.
-
Граничен преход в аритметични операции и неравенства. Лема за милиционерите
-
Точки на сгъстяване и подредици. Теорема на Болцано – Вайерщрас.
-
Принцип на Коши за сходимост на редици и редове.
-
Сходящи редове. Принцип за сравняване на редове с положителни членове.
-
Критерии на Коши, Даламбер, Раабе – Дюамел.
-
Абсолютно и условно сходящи редове. Критерий на Лайбниц.
-
Неперово число – дефиниция и свойства.
-
Граници на функции и непрекъснатост – дефиниции на Хайне и Коши. Принцип на Коши за функции.
-
Аритметични действия с непрекъснати функции. Непрекъснатост на суперпозиция от функции. Съществуване и непрекъснатост на обратна функция.
-
Някои основни граници на функции. Сравняване на безкрайно малки и безкрайно големи величини. Непрекъснатост на елементарните функции.
-
Теореми на Вайерщрас за непрекъснати функции в компактен интервал. Теорема за междинните стойности.
-
Производна – геометричен и физичен смисъл. Диференциране на аритметични действия.
-
Производна на сложна и обратна функция. Диференциране на елементарните функции.
-
Основни теореми на диференциалното смятане: теореми на Ферма, Рол, теорема за крайните нараствания и обобщена теорема за крайните нараствания.
-
Теореми на Лопитал.
-
Необходими и достатъчни условия за локален екстремум.
-
Производни от по-висок ред. Формула на Лайбниц.
-
Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано.
-
Формули на Лагранж и Коши за остатъчния член. Развитие на някои елементарни функции в ред на Тейлър.
-
Формула на Стирлинг.
-
Изпъкнали функции – дефиниция и основни свойства.
-
Инфлексни точки. Неравенство на Йенсен и приложения.
-
Асимптоти. Изследване на функции.
-
Примитивна функция – дефиниция и свойства. Теореми за интегриране по части и смяна на променливите.
-
Интегриране на рационални функции.
-
Интегриране на тригонометрични функции
-
Интегриране на ирационални функции. Биномен диференциал. Субституции на Ойлер
Литература
С. Троянски и др. Диференциално и интегрално смятане: функции на една променлива
Илин, Садовничий, Сендов: Математически анализ.
Я. Тагамлицки: Диференциално и интегрално смятане.
Д. Дойчинов: Математически анализ.
Сподели с приятели: |