Факултет по математика и информатика з а д а ч и п о м а т е м а т и ч е с к и а н а л и з I i ч а с т

Мирослав Христов

Шумен 2013г.

Съдържание

1. 
   Неопределен интеграл…………………………………………………………………....…3
   
   1. 
      Непосредствено интегриране…………………………………………………...……...3
      
   2. 
      Интегриране чрез внасяне под диференциала. Формула за
      

1. 
   Интегриране чрез субституции ………………………………………..…………….11
   
2. 
   Интегриране на функция от вида ………….…………...12
   
3. 
   Биномен диференциал ………………………………………………………………..14
   
4. 
   Субституции на Ойлер………………………………………………………….…….17
   
5. 
   Интегриране на рационални функции на и ……………………………..19
   
6. 
   Задачи за самоподготовка……………………………………………………………..21
   
1. 
   Несобствени интеграли…………………………………………………………………….23
   
   1. 
      Несобствени интеграли от първи и втори род ………………………………………23
      
   2. 
      Ойлерови интеграли………………………………………………………………..….30
      
   3. 
      Задачи за самоподготовка…………………………………………………………..…37
      
2. 
   Редове на Фурие………………………………………………………………………….…39
   
   1. 
      Предварителни бележки…………………………………………………………...…..39
      
   2. 
      Развитие на функция в ред на Фурие…………………………………………………40
      
   3. 
      Разлагане на четна и нечетна функция в ред на Фурие……………………………..49
      
   4. 
      Задачи за самоподготовка…………………………………………………………..…54
      

Ако е примитивна на и c е произволна константа , функцията е също примитивна на .

където пробягва множеството на реалните числа.

Намирането на неопределените интеграли на някои елементарни функции се свежда до следната таблица на основните интеграли:

Таблични интеграли

За решаването на интеграли е необходимо да знаем следните няколко свойства:

1. 
   ;
   

2. 
   , където c е константа различна от 0;
   

3. 
   , където c е константа;
   

4. 
   , където c е константа различна от 0.
   

Под непосредствено интегриране се разбира „изравняване” на величина под знака на диференциала с аргумента на финкцията под интеграла и след това прилаганe на някой от изброените по-горе интеграли в комбинация с посочените свойства.

В таблицата на основните интеграли предполагаме, че е независима променлива. Но тези формули остават в сила и когато променливата формално се замени с функция , където има производна спрямо променливата . Наистина нека е известно, че .

От правилото за диференциране на сложна функция имаме:

Тъй като и , след заместване в горното равенство получаваме:

По такъв начин получаваме следната обобщена таблица.

Обобщена таблица на основните интеграли

Задача 1.1 Да се пресметнат интегралите:

а); е);

б); ж) ;

в); з);

г); и);

д); й).
Решения.
а);

б)

в);

г) ;

д)

е) ;

ж)

з)

и)

й)

1.2 Интегриране чрез внасяне под диференциала.

Формула за интегриране по части
В случаите когато е налице произведение от две или повече функции под знака на интеграла е удачно да използваме познатото ни равенство , където или решаването на интеграла означава по същество да внесем функцията под знака на диференциала т.е. .

Много често при интегрирането се внасят под диференциала основните елементарни функции, затова е необходимо да запомним следните правила:

1. 
   ,;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   ;
   
8. 
   ;
   
9. 
   ;
   
10. 
    .
    

Задача 1.2 Пресметнете интегралите, чрез внасяне под знака на диференциала подходящата функция:

а); д);

б); е);

в); ж);

г); з).

б);

в);

г);

д),резултатът става очевиден, след умножение на диференциа с цислото -1;

е);

ж) Нека положим , а , тогава , след почленно събиране и изваждане получаваме съответно, че и .

Обикновено заедно с внасянето на функция под диференциала се иползва и формулта за интегриране по части:. Най-често се използва за решаване на интеграли от вида:

като първия вид се пресмята черз внасяне на трансцендентна функция под диференциала и интегрираме по части, а втория вид рационалната и отново по части.

а); г);

б); д);

в); е)

б) Различното тук е, че аргумента на експоненциалната функция 2х, не е равен на дифеденциала х затова се налага първо да ги „изравним”, като го умножим с 2 и разделим интеграла на ½.

в) ;

г)

, последният интеграл е решен в задача 1.1. е).

д) Внасяме коя да е от двете функции под дифенциала и интегрираме по части

Приравнявайки най-лявата и най-дясната част на веригата от равенства, получаваме интегралното уравнение

откъдето

е)

1.3 Интегриране чрез субституции

Тогава и т.е. при субституция на практика се пресмята и обратната връзка , която заместваме в решението на интеграла.

а) с помощта на субституцията (а>0);

б) с помощта на субституцията .
Решения:
а) Преди да пристъпим към решаване на интеграла е необходимо да направим някой предварителни пресмятания, а именно и .

Заместваме в изходния интеграл и получаваме:

б) В този случай и . Началният интеграл добива вида:

1.4 Интегриране на функция от вида

а);

б);

в).

а) , за да направим необходимото полагане трябва да намерим НОК(2,3)=6. Полагането ще бъде , и , тогава след заместване получаваме

Последното равенство е получено по следния начин:

Въщаме се към пресмятането на последният интеграл

Окончателно .

б) Интегралът очевидно не e във вида, който решаваме, затова е необходимо да направим следните преобразования . Сега е ясно каква субституция да направим а именно . Тогава и

, замествайки в интеграла получаваме:

и следователно ;

в) Полагаме , , . Тогава

По аналогичен начин както в а), чрез разлагане и разкриване на скоби, стигаме до последния резултат и интегрирането след това ни води до следното

Накрая стигаме до търсения резълтат

1.5 Биномен диференциал

1. 
   Ако p е цяло число правим субституцията , където k е най-малкото общо кратно на знаменателите на m и n;
   
2. 
   Ако е цяло цисло интегралът се свежда до интеграл от рационална функция с помоща на субституцията , където k е знаменателя на p;
   
3. 
   Ако е цяло, добре е първо да преобразуваме интеграла така: и след това напраим полагането , където k е знаменателя на p.
   

a); б); в) .

б) записваме интеграла във вида , тогава - цяло. Следователно налице е първият случай. Полагаме , и .

Сумата се получава След разделяне на полинома на полинома .

Връщаме се към х и .

1.6 Субституции на Ойлер
Интеграли от вида , където R е рационална функция на могат да бъдат приведени към интеграли от рационални функции с помощта на субституциите на Ойлер. Те се прилагат в следните случаи:

1. 
   при може да се положи или ;
   
2. 
   при може да се положи или ;
   
3. 
   когато квадратният тричлен има реални нули и може да се положи
   

Понякога е възможно конкретния интеграл от разглеждания вид да бъде пресметнат с помощта на повече от една от посочените субституции. Обемът на изчисленията зависи от приложените субституции.

а); б) в) ;

а от тук след привеждане под общ знаменател приравняваме числителите

Последователно даваме следните стойности на t, и и получаваме и . Следователно

б) за решаване на този интеграл може да приложим втората субституция на Ойлер. Полагаме и след повдигане в крадрат двете страни може да изразим и съответно . Като заместим в интеграла имаме

Решението на интеграла е .

в)тъй като квадратния тричлен под радикала има реални корени -4 и 1, може да положим

. Субституцията ни дава и и следователно

.

Прилагаме последната стъпка и получаваме .

1.7 Интегриране на рационални функции

на и

1. 
   При , полагаме .
   

2. 
   При , полагаме .
   

3. 
   При , полагаме .
   

Ако не е изпълнени никое от по-горните условия, може да приложим така наречената „универсална субституция”: . Тогава и . Да отбележим, че това полагане понякога води до сложни интеграли от рационални функции.

а);

б);

в);

Откъдето достигаме до резултата;

б) За подинтегралната функция е изпълнено

следователно тук може да положим и интеграла добива вида:

.

Връщаме се към обратната връзка в полагането и ;

Разлагаме в сума от елементарни дроби по следния начин:

Окончателно .

1.8 Задачи за самоподготовка

2.; 17.;

3.; 18.;

4.; 19. ;

5. ; 20.;

6. ; 21.;

7.; 22.;

8.; 23.;

9.; 24.;

10. ; 25.;

11.; 26. ;

12.; 27. ;

13.; 28.;

14.; 29. ;

15.; 30..

&2 НЕСОБСТВЕНИ ИНТЕГРАЛИ
2.1. Несобствени интеграли от първи и втори род
Нека е функция дефинирана в безкрайният интервал и нека при всяко да съществува определеният интеграл .

Д2.1 Ако съществува крайна граница , то тази граница се нарича несобствен интеграл от първи род за функцията върху интервала и се бележи , като в този случай се казва, че е сходящ. В противен случай казваме, че интеграла е разходящ. По аналогичен начин се дефинира и .

Д2.2 Ако е сходящ тогава се нарича абсолютно сходящ.

Д2.3 Ако е сходящ, но не е абсолютно сходящ, то се нарича условно сходящ.
Т2.1 Ако е абсолютно сходящ, тогава е и сходящ.

Т2.2(Признак за сравнение) Нека заимаме . Тогава:

а)Ако е сходящ следва, че и е сходящ;

б)Ако е разходящ следва, че и е разходящ.

Ролята на втори интеграл (този с който сравняваме) се играе най-често от , за който лесно може да се установи, че е сходящ за и разходящ при .

а) ако , то несобствените интеграли и са едновременно сходящи или разходящи;

б) ако , от сходимостта на следва сходимостта на;

в) ако , от разходимостта на следва разходимостта на .

Това понятие може да се разшири в случай на повече от една особени точкаи.

Ако и функцията не е ограничена в никоя околност на тази точка, тогава по дефиниция , където и клонят към 0 независимо едно от друго.

Ще отбележим, че ако е непрекъсната в , - особена точка, то чрез смяна на променливата , несобствения интеграл от втори род се свежда към несобствен интеграл от първи род.

Понятието главна стойност, може да се дефинира и за несобствени интеграли от втори род по аналогичен начин.

Несобствените интеграли могат да бъдат интегрирани по части, когато и са непрекъснато дифернцируеми и . Тогава ако е сходящ поне единият от несобствените интеграли , то е сходящ и другия и е в сила следната формула .

Задача2.1 Изследвайте за сходимост интегралите и ако е възможно намерете стойностите им:

а) ; б) ; в) ;

г) д) .

Решения:

а) Функцията е непрекъсната в и затова е интегруема във всеки негов затворен подинтеграл. Търсим границата:

Според дефиниция 2.1, интегралът е сходящ и .

б) За пресмятаме:

и .

Според дефиниция 2.1, интегралът е сходящ и .

в) Прилагаме дефиницията т.е. търсим . След което пресмятаме определениият интеграл, но преди това представяме подинтегралната функция във вида и съответно

.

Накрая пресмятаме и , защото и .

г) Даденият несобствен интеграл е с две безкрайни интеграционни граници. За да покажем сходимостта му трябва да покажем сходимостта на всеки един от двата несобствени интеграла:

и ,

където е произволно число. Както в а). лесно получаваме, че . Първият интеграл пресмятаме според дефиниция 2.1:

Окончателно получаваме, че даденият интеграл е сходящ и стойността му е равна на:

д) Подинтегралната функция приема в интервала само положителни стойности. Преобразуваме я по следния начин:

защото . Тъй като и

Задача3.2 Докажете, че интеграла е сходящ.

Решение:

Тъй като , то интеграла няма особена точка при , така че вместо , може да разглеждаме . За последният интеграл прилагаме критерия на Дирихле (Т2.3) . Може да считаме, че - непрекъсната функция, и нейната примитивна е ограничена. За е ясно че е монотонна функция при това . Тогава съгласно Т2.3 интеграла е сходящ.

Сходимостта на дадения интеграл може да бъде получена, като се приложи и формулата за интегриране по части, а именно:

Очевидно е следното неравенство за всяко , а от тук и . От по-горе знам , че е сходящ и съгласно признака за сравнение (Т2.2), следва сходимостта на . Тогава след граничен преход в равенството , получаваме че е сходящ.

Задача2.3 Изследвайте за сходимост несобствения интеграл .

Решение:

Преобразуваме подинтегралната функция , която приема в интервала само положителни стойности, по следния начин:

Задача2.4 Намерете за какви стойности на реалния параметър интеграла е сходящ.

Решение.

Нека да представим интеграла като сума от следните два, а именно:

За се вижда, че и интеграла съответно , където константа с ограничава функцията в околност на . Тогава съгласно следствието на признака за сравнение (Сл2.1) е сходящ, когато .

Нека разглеждаме и . Точката е особена. Пресмятаме границата ,

и от тук , където константа с ограничава функцията в околност на нулата. Аналогично на горният интеграл е сходящ за т.е. за .

Окончателно нашият интеграл е сходящ, когато са сходящи и едновременно, т.е при .

2.2 Ойлерови интеграли
Д2.6 Интегралът , който е сходящ при , се нарича гама-функция (Ойлеров интеграл от първи род).

Гама функцията е непрекъсната и притежава непрекъснати производни от произволен ред при , които се намират чрез диференциране по параметъра p, т.е.

Основни свойства:

При

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   , ;
   
4. 
   .
   

5. 
   .
   

Бета-функцията е непрекъсната в областта и притежава непрекъснати частни производни спрямо p и q от произволен ред, които се намират чрез диференциране на горния интеграл по съответният параметър.

6. 
   При е в сила ;
   
7. 
   При е в сила ;
   
8. 
   При е в сила ;
   
9. 
   При е изпълнено .
   
10. 
    Връзката между гама и бета функции е следната .
    

Задача2.5 Като изпозвате свойствата на гама и бета функциите, пресметнете интегралите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

г) ;

е) ;

ж) .
Решения

а) Правим следните преобразования:

б) В интеграла полагаме , пресмятаме . Новите граници в интеграла са: при и при . След заместване в J имаме

в) Привеждаме интеграла в следния вид

г) Полагаме . Пресмятаме и новите граници на интеграла , при , а при . Заместваме в изходния интеграл , тогава и . Използвайки свойства 10, 3 и 5 на Ойлеровите интеграли, получаваме следното

С което интегралът е пресметнат.

д) На пръв поглед и този интеграл не прилича на никой от Ойлеровите. След смяна на променливото и необходимите ни

, граници при и , интеграла придобива вида: . Сега вече сме наясно, че това е бета функция, използваме връзката и с гама функцията:

= защото

,

и

.

е) Нека разгледаме следния интеграл , който очевдино е бета функция и е дифенцируема спрямо p и q=1-p, когато са положителни. Тогава

От друга страна

Следователно .

ж) След като запимем интегралът във вида, полагаме , откъдето и . Пресмятаме

и новите ганици при , .Тогава , защото

.
Задача2.6 Изразете чрез Ойлеровите интеграли следните интеграли и определете областта на сходимост на всеки от тях:
а) ;

б) ;

в) .

Решения:

При , подходяжаме по аналогичен начин, полагаме () , извършваме субституцията и получаваме

Като обединим двата случая, получаваме, че . Тъй като функцията е определена при , то окончателно имаме, чедаденият интеграл е сходящ при .

б) Нека запишен интеграла по следния начин

.

Полагаме , като числото а избираме така, че за някое реално число b. От първото равенство намираме . Като заместим x полученият израз във второто равенство и преобразуваме, получаваме, че при всяко t. След приравняване на коефициентите пред t се оказва, че това е възможно само при , . Следователно

Тогава след като заместим в преработения интеграл получаваме

Следователно съгласно дефиницията за бета функция интегралът е сходящ при и .

в) Полагаме . Съответно и границите на интеграла са при и . Получаваме , .

Налага се да направим още едно полагане за да приведем интеграла до типичната бета функция. Това се прави чрез полагането , очевидно границите на интеграла се запазват, а . Тогава

Следователно даденият интеграл е сходящ при .

2.3 Задачи за самоподготовка

1. Изследвайте за сходимост интегралите и ако е възможоно пресменетнете стойностите им:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1. Като изпозвате свойствата на гама и бета функциите, пресметнете интегралите:

а) ;

Упътване: Чрез субситуцията докажете, че

б) ;

Упътване: Направете субституцията .

в) ;

Упътване: Направете субституцията .

г) ;

Упътване: Положете и изпозвайте задача3.5 е).

а) ;

Упътване: Положете и покажете, че .

б) ;

Упътване: Направете субституцията и .

в) .