Факултет по математика и информатика з а д а ч и п о м а т е м а т и ч е с к и а н а л и з I i ч а с т

се нарича тригонометричен ред на Фурие или за краткост ред на Фурие за функцията . Реалните числа и се начичат коефициенти на реда и са съответно равни на:

.

Ако вместо интервала разгледаме интервала , тогава ред на Фурие се нарича редът:

където

Теорията на редовете на Фурие е свързана с възможността за представяне на една -периодична функция във вид на тригонометричен ред.

(при това сходимостта е равномерна във всяка отсечка, лежаща вътре в участъка на гладкост на ).

3.2 Развитие на функция в ред на Фурие

Предвид теоремата на Дирихле, може да се заключи, че ако е непрекъсната в интервала , частично гладка в него и . Тогава редът на Фурие за е равномерно сходящ в и има за сума .

Нека е непрекъсната, нека е непрекъсната и и . Тогава редът на Фурие за производната се получава от рда на Фурие за функцията чрез почленно диференциране. Ще отбележим също, че редът на Фурие за абсолютно интегруема в интервала функция може да се интегрира почленно в този интервал.

Задача 3.1 Нека функцията е продължена периодично върху интервала . Развийте в ред на Фурие в интервала .

Решение:

Очевидно продължената функция е непрекъсната за всяко (рис 3.1). Производната и за и за е определена и непрекъсната освен в точките , защото .

Рис 3.1

Сменяйки границите и считайки, че в първия интеграл достигаме до следната сума

Тъй като , окончателно можем да запишем, че .

По аналогичен начин пресмятаме и останалите коефициенти на реда на Фурие,







,т.е

или .

Тогава за развитието на получаваме:

Задача 3.2 Нека е- периодична функция определена по следниия начин

Решение: Функцията е частично гладка, при което има прекъсване от първи род само в точките ,защото и . Веднага може да заключим(Т3.1), че в тези точки редът на Фурие има за сума . Остава да пресметнем сумата му за всички останали реални числа. Следвайки формулите за коефициентите имаме:

Очевидно и тук , тогава за реда на Фурие намираме

Ако положим ще получим следното интересно равенство

На следващатата рисунка е дадена графиката на заедно с графиката на частичните суми на реда при n=5 и n=21. Вижда се че с увеличаването на броя на членовете осцилациите на реда намаляват и дой се доближава до стойностите на функцията в точките на непрекъснатост. Около точките на прекъсване осцилациите са най-устойчиви, и апроксимирането на функцията е най-лошо отколкото в точките на непрекъснатост. Това явление се нарича феномен на Гибс. Той е общо правило и в известен смисъл е цената, която плащаме за развитието в ред на функции, които не са непрекъснати.

Рис. 3.2

Решение: Дадената функция е частично гладка с изключение на точките , Съгласно теорема на Дирихле за всяко тригонометричния ред на Фурие е скодящ и има за сума величината равна на полусбора от лявата и дясната граници на функцията в тази точка. За точките в които имаме прекъсване

Продължаваме с пресмятанията на реда за всички останали х. Тук вместо интервала имаме , предвид и свойство на определения интеграл за периодична функция с период l : пресмятаме коефициентите на Фурие,

За внасяме косинуса под диференциала и интегрираме по части:

За получаваме .

Окончателно . По аналогичен начин пресмятеме и ,

.

От сега знаем, че вторият интеграл е нула (виж в по-горе), тогава за имаме:

Интеграла от косинус е нула, видяхме го по-горе в пресмятането на . Следователно за имаме .

Развитието на в ред на Фурие е:

за всяко

Задача3.4 Да се развие в ред на Фурие функцията в интервала .

Решение: Очевидно функцията е дефинирана в интервал неудобен за изчисленията ни, затова полагаме и трансформираме във функцията , която може да се продължи до периодична, непрекъсната и частично гладка функция върху цялата реална права при това . Тогава редът на Фурие ще е сходящ за всяко х и сумата му ще е , респективно. Периодът на функцията е равен на дължината на интерва в който първоначално тя е дефинрана и откъдето и . Вече може да започнем пресмятането на коефициентите на реда. Нека започнем с ,

За , както при примерите по-горе ще внесем косинус под диференциала и след това ще използваме формулата за интегрина по-части:

Предвид обема на формулите ще пресметнем двата интеграла поотделно;

Окончателно за получаваме .

По аналогичен начин пресмятаме и :





,



.

Следователно .

Реда на Фурие за е следния:

, за всяко t,

да не забравим да се върнем към променливото x, съответно и към , посредством направеното полагане , тогава окончателно получаваме

Лесно може да се покаже, че:

• 
  Ако една функция е четна редът на Фурие има вида , т.е и ,
  
• 
  Ако функцията е нечетна редът на Фурие има вида т.е. и ,
  

Задача 3.5 Развийте в тригонометричен ред функцията по косинуси.

Решение: За да получим развитието на функцията по косинуси (в интервала ), ще трябва най-напред да продължим до четна функция, т.е. за . След това можем да продължим до периодично въху цялата реална ос, при това . Функцията е непрекъсната навсякъде и частично гладка, следователно редът на Фурие за тази функция е сходящ навсякъде и има за сума . Кофициентите на реда са следните :

, ,

т.е. .

Тогава за получаваме равенството , интересен резултат би се получил ако положим , а именно:

Задача 3.6 Да се развие в ред на Фурие само по синуси следната функция:

Решение: За да развием функцията по синуси трябва да е додефинираме като нечетна функция т.е за всяко , а геометрично това означава графиката на новата функцията да е централно симетрична . По-долу е визуалиция на (дадената функция Рис. 3.3) и на допълващата нечетна в интервала (Рис. 3.4).

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Централно симетричната очевидно ще се дефинира по следния начин:

.

Сега вече е лесно да дефинираме на която ще търсим развитие в ред на Фурие:

Трябва да направим развитие по синуси, тогава и са нули, изчисляваме само . На пръв поглед не ни е необходима за пресмятана на коефициентите, но трябва да я напишем за да сме сигурни, че тя съществува, защото ако не е налице периодично продължение, няма да съществува и ред на Фурие.

Имаме два интеграла нека започнем с първия, като внесем синуса под диференциала и интегрираме по части.

Пресмятаме и .

Следователно за получаваме:

.

Развитието на функцията в ред на Фурие е следното:

Задачата е решена, но може да направим някои допълнителни пресмятания. Ако n е четно число , тогава , и реда добива вида:

Съответно ако n е нечетно число , то , и

Окончателно може да представим във вида .

Задача 3.7 Да се развие в ред на Фурие в интервала по косинуси функцията ( тук a, не е цяло число).
Решение: Функцията е четна, така че за Пресмятаме

Нека . Тогава

От тук за развитието на функцията получаваме следното:

3.4 Задачи за самоподготовка

1. 
   Да се развие в ред на Фурие функцията в интервала .
   

2. 
   Да се развие в ред на Фурие по коцинуси за функцията .
   
3. 
   Представете в тригонометричен ред на Фурие функцията: , в итервала .
   

4. 
   Представете в тригонометричен ред на Фурие функцията, в итервала .
   

5. 
   Развийте в тригонометричен ред следните периодични функции:
   

б).

6. 
   Развийте функцията по синуси в интервала .
   

7. 
   Намерете сумите на следните тригонометрични редове:
   

б) .

1. 
   Проданов И., Хаджииванов Н., Чобанов И., Сборник от задачи по диференциално и интгрално смятане, Наука и изкуство, София 1976.
   
2. 
   Любенова Е., Недевски П. и др., Ръководство по математически анализ – първа и втора част, УИ „Св. Климент Охридски”, София 1994.
   
3. 
   Витанов А., Димова В., Караджов Г. и др., Методическо руководство за решаване на задачи по висша математика, Техника, София 1968.
   
4. 
   Фихтенгольц Г., Курс дифференциального и интегрального исчисления, Наука, Москва 1966.
   
5. 
   Станков Д. Математически анализ за студенти по икономика, Faber, Велико Търново, 2007.
   
6. 
   Тагамлицки Я., Диференциално и интегрално смятане, Наука и изкуство, София 1954.