Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
Изтегляне 2.89 Mb.
|
4 декемвриАналитично задаване на криви в равнината Фиксирана е афинна координатна система K = { O, e1, e2 } ; Нека е дадена елипса : x2/a2 + y2/b2 = 1 b2.x2 + a2.y2 – a2.b2 = f (x, y) = 0; Известно е, че множеството от точките M(x, y) за които f (x, y) = 0 образуват елипсата ; По-общо:
Нека е дадена функцията f (x, y); казваме, че е зададена равнинна крива линия К: f (x, y) = 0, ако K e множеството от всички точки M (x, y), такива че f (x, y) = 0; Пример: f (x, y) = A.x + B.y + C; тогава l : f (x, y) = 0 задава права; известно е, че всяка права освен общо има и скаларно параметрично уравнение в равнината (за определеност B 0); l : x = - B.s, y = - C/B + A.s, където s (-, +); По-общо: една равнинна крива може да бъде зададена и чрез скаларно параметрично уравнение: K: x = (t), y = (t);
например: не съществува реална крива с уравнение f (x, y) = x2 + y2 + 1 = 0; уравнението f (x, y) = x2 + y2 = 0 задава крива, която се състои точно от една точка – началото на координатната система; Алгебрични криви Едночлен на променливите x1, x2, …xn се нарича израз от вида A.x11.x22…xnn, където А R, 1, 2, …, n N0; степен на едночлен е сумата 1 + 2 + … + n; Полином е сбор от краен брой едночлени на едни и същи променливи; степен на полинома е максималната степен на едночлените, които го образуват; Пример: 5.x.y – 2.x.y.z.t + 4.x.t6 е полином от степен 7;
S e множеството от всички точки M (x, y, z), такива че (x, y, z) = 0; Eдна повърхнина може да бъде зададена и чрез скаларно параметрично уравнение: S: x = 1 (u, v), y = 2 (u, v), z = 3 (u, v); Двата вида уравнения не са еквивалентни; Алгебрична повърхнина от степен n (n N) е повърхнина S, зададена с полином на променливите x, y и z от степен n: (x, y, z) = 0; Пример: Алгебричните повърхнини от първа степен ( ( x, y, z ) = A.x +B.y + C.z + D ) са равнини;
като пресечница на две повърхнини: C : 1 (x, y, z) = 0, 2 (x, y, z) = 0; със скаларно параметрично уравнение: C : x = 1 (t), y = 2 (t), z = 3 (t);
: { M l: l l0, l C } ; всяка такава права l се нарича образуваща на цилиндричната повърхнина, C се нарича управителна крива на цилиндричната повърхнина; Фиксираме афинна координатна система K = { O, e1, e2, e3 } ; Кривата C : (x, y, z) = 0, (x, y, z) = 0; Нека l0 p0 (a, b, 1); a, b – фиксирани l0 не е успоредна на Oe1e2; всяка образувателна l има уравнение: l : x = x0 + a., y = y0 + b., z = z0 + = z – z0 l : x = x0 + a.(z – z0), y = y0 + b.(z – z0) l : x = p + a.z, y = q + b.z; a, b са фиксирани; p, q се менят; търсим p и q такива, че l C (p – a.z, q – b.z, z) = 0 (p – a.z, q – b.z, z) = 0 елиминираме z, като го изразим от първото уравнение и го заместим във второто (или обратното); Важно: тази елиминация не винаги може да се реализира по прост начин (това зависи от функциите и ); получаваме връзка между p и q: (p, q) = 0 – това е необходимо и достатъчно условие l C ;
ако : l e3 (0, 0, 1) уравнението придобива вида (x, y) = 0; C l0 Пример: уравнение на цилиндрична повърхнина; управителната крива е окръжност с радиус R и център върху Oe3, успоредна на Oe1e2; образувателната е успоредна на Oe3: x2 + y2 = R2;
: { M l: l Z Q, l C } ; всяка такава права l се нарича образуваща на коничната повърхнина, C се нарича управителна крива на коничната повърхнина; т. Q се нарича връх на коничната повърхнина; Фиксираме афинна координатна система K = { O, e1, e2, e3 } ; Кривата C : (x, y, z) = 0, (x, y, z) = 0; т. Q (x0, y0, z0); Нека l не е успоредна на Oe1e2 l p (a, b, 1) l : x = x0 + a.(z – z0), y = y0 + b.(z – z0); x0, y0, z0 са фиксирани; a, b се менят; търсим a и b такива, че l C (x0 + a.(z – z0), y0 + b.(z – z0), z) = 0 (x0 + a.(z – z0), y0 + b.(z – z0), z) = 0 елиминираме z, като го изразим от първото уравнение и го заместим във второто (или обратното); получаваме връзка между a и b: (a, b) = 0 – това е необходимо и достатъчно условие l C ; a = (x – x0)/(z – z0), b = (y – y0)/(z – z0) : ( (x – x0)/(z – z0), (y – y0)/(z – z0) ) = 0 – уравнение на конична повърхнина; ако Q (0, 0, 0) уравнението придобива вида (x/z, y/z) = 0; Q
C
Дефиниция: В пространството е дадена произволна крива C0, която лежи в равнина и права l, която лежи в същата равнина; ротационна повърхнина е множеството от точки : { M Z C, където C са образите на C0, получени при въртенето на около правата l } ; l C
C0 M M M ZM M минава през т. М и M l, M l = ZM M = окръжност kM с център ZM; всяка такава окръжност се нарича паралел на ротационната повърхнина; = C - всеки образ C на кривата C0, получен при въртенето на се нарича меридиан на ротационната повърхнина; правата l се нарича ос на ротационната повърхнина; Фиксираме ортонормирана координатна система K = { O, e1, e2, e3 } ; C0 M0 z M x l O M ZM y Нека правата l Oe3, Oe2e3, M0 е произволна точка от C0; Нека C0: (x, y, z) = 0, y = 0; т.е. C0: (x, z) = 0, y = 0; Нека M0 (x0, y0, z0), M0 C0 y0 = 0, (x0, z0) = 0; |ZMM0| = |ZMM| = |x0|, тъй като ZM е център на паралела през т. M0, освен това M0ZM Oe3 |M0ZM| = x0; Нека M (x, y, z) z = z0, тъй като равнината на паралела през т.M0 е успоредна на Oe1e2; освен това, ако M (x, y, z) е проекцията на т.M върху Oe1e2, тогава |OM| = |ZMM|= |x0|, x = x, y = y, z = 0; по питагорова теорема получаваме, че x02 = x2 + y2; Окончателно получаваме, че М (x0, z0) = 0 ( x2 + y2, z ) = 0 – уравнение на ротационнa повърхнина; Примери:
Дадена е следната крива: : { x2/a2 + z2/b2 = 1, y = 0 }; правата l Oe3; получаваме ротационна повърхнина : x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1; при a > b получаваме сплеснат ротационен елипсоид; при а < b получаваме продълговат ротационен елипсоид; при a = b получаваме сфера;
l0 : { a.x + b.z = 0, y = 0 }; правата l Oe3; (x, z) = a.x +b.z ; : ( x2 + y2, z ) = 0 a. x2 + y2 + b.z = 0 a2.(x2 + y2) = b2.z2 a2/b2.(x2/z2 + y2/z2) – 1 = 0 – ротационната повърхнина в този случай е конична с връх т.О (0, 0, 0) - (x/z, y/z) = 0;
|