Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия

Взаимно положение на две равнини

Нека са дадени:

₁ : A₁.x + B₁.y + C₁.z + D₁ = 0

₂ : A₂.x + B₂.y + C₂.z + D₂ = 0

₁ е успоредна на ₂, ако за всеки вектор p (, , )

от p е колинеарен с ₁  p е колинеарен с ₂;

освен това, ако съществува точка M₀ (x₀, y₀, z₀), която принадлежи и на двете равнини  те съвпадат, в противен случай те са успоредни;

по-точно системата

А₁. + B₁. + C₁. = 0

A₂. + B₂. + C₂. = 0

се удоволетворява за всички , ,   A₁ = k.A₂; B₁ = k.B₂; C₁ = k.C₂;

М₀  ₁  D₁ = –A₁.x₀ – B₁.y₀ – C₁.z₀;

М₀  ₂  D₂ = –A₂.x₀ – B₂.y₀ – C₂.z₀;

 D₁ = - k.(A₂.x₀ + B₂.y₀ + C₂) = - k.(- D₂) = k.D₂;

₁ е успоредна на ₂ тогава и само тогава, когато:

A₁ = k.A₂; B₁ = k.B₂; C₁ = k.C₂; D₁  k.D₂;

₁ съвпада с ₂ тогава и само тогава, когато:

A₁ = k.A₂; B₁ = k.B₂; C₁ = k.C₂; D₁ = k.D₂;

1. Уравнение на равнина през три точки

За да е определена равнината, трите точки трябва да не лежат на една права.

Нека са дадени M₁ (x₁, y₁, z₁), M₂ (x₂, y₂, z₂), M₃ (x₃, y₃, z₃);

M₁, M₂, M₃  1 права;

тогава  = { M₁, M₁M₂, M₁M₃ } е определена, защото векторите M₁M₂ и

M₁M₃ не са колинеарни; тогава по горната схема получаваме:

 : x₂ – x₁ y₂ – y₁ z₂ – z₁ = 0;

x₃ – x₁ y₃ – y₁ z₃ – z₁



x y z 1

= 0;

x₂ y₂ z₂ 1

x₃ y₃ z₃ 1

1. Нормално уравнение на равнина

Фиксирана е ортонормирана координатна система K = { O, e₁, e₂, е₃ } ;

Нека  е равнина;

 : A.x + B.y + C.z + D = 0; (A, B, C)  (0, 0, 0);

Нека p (, , ) е ненулев вектор, колинеарен с 

 A. + B. + C. = 0;

ако фиксираме векторът N (A, B, C), N  O;

 p . N = 0  N  p  N  , тъй като p е ненулев вектор и е колинеарен с ;

Ако координатната система е ортонормирана, коефициентите

(A, B, C)  (0, 0, 0) са координати на вектор, който е перпендикулярен на равнината; той се нарича нормален вектор на ;

Нека N₀ = N / |N|, т.е.

N₀ ( A /  A² + B² + C², B /  A² + B² + C², C /  A² + B² + C² ), |N₀| = 1;

1. Разстояние от точка до равнина

Нека равнината  има нормално уравнение:

 : А*.x + B*.y+ C*.z + D* = 0;

Векторът N₀ (A*, B*, C*) е единичен;

ако M₀ е петата на перпендикуляра, спуснат от M₁ към , тогава:

М₁

|M₁, | = |M₀M₁|;

M₀


N₀

M₀M₁  , N₀    M₀M₁ е колинеарен с N₀  M₀M₁ = . N₀

 |M₀M₁| = ||.|N₀|  |M₀M₁| = ||, т.е. |M₁, | = ||;
Нека M₀ (x₀, y₀, z₀);

M₀M₁ (x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀), M₀M₁ е колинеарен с N₀ 

x₁ – x₀ = .A*; y₁ – y₀ = .B*; z₁ – z₀ = .C*; 

x₀ = x₁ - .A*; y₀ = y₁ - .B*; z₀ = z₁ - .C*; 

A*.(x₁ - .A*) + B*.(y₁ - .B*) + C*.(z₁ - .C*) + D* = 0 

A*.x₁ + B*.y₁ + C*.z₁ + D* - . (A*² + B*² + C*²) = 0 

A*.x₁ + B*.y₁ + C*.z₁ = , тъй като N₀ (A*, B*, C*) е единичен;

|| = |A*.x₁ + B*.y₁ + C*.z₁|;

ако  е зададена с произволно уравнение:

|M₁, | = |(A.x₁ + B.y₁ + C.z₁ + D ) /  A² + B² + C² |;

 се нарича ориентирано разстояние от точката M₁ до равнината ;

 > 0  M₁ и вектор N₀ са в едно полупространство спрямо ;

 < 0  M₁ и вектор N₀ са в различни полупространства спрямо ;

1. Полупространства

Нека K = { O, e₁, e₂, е₃ } е произволна афинна координатна система;

 : l (x, y, z) = А.x + B.y + C.z + D = 0;

точките M₁ (x₁, y₁, z₁), M₂ (x₂, y₂, z₂)  ;

oтносно   l (M₁) . l (M₂) < 0;

M₁

Доказателство:



M₀

M₂



Нека М₀ е пресечната точка на правата M₁M₂ с 

както при прави получаваме:  < 0  l (M₁). l (M₂) < 0;

 задава две полупространства:

 : A.x + B.y + C.z + D > 0;

 : A.x + B.y + C.z + D < 0;

1. Представяне на права чрез две равнини

Нека K = { O, e₁, e₂, е₃ } е произволна афинна координатна система;

g е права, g = ₁  ₂;

₁ : l₁ (x, y, z) = A₁.x + B₁.y + C₁.z + D₁ = 0;

₂ : l₂ (x, y, z) = A₂.x + B₂.y + C₂.z + D₂ = 0;

 g : l₁ (x, y, z) = l₂ (x, y, z) = 0;

(A₁, B₁, C₁)  .(A₂, B₂, C₂);

1. Твърдение: Всяка равнина с уравнение .l₁ (x, y, z) + .l₂ (x, y, z) = 0, (, )  (0, 0) минава през правата g;

.l₁ (x, y, z) + .l₂ (x, y, z) = 0 

(.A₁ + .A₂).x + (.B₁ + .B₂).y + (.C₁ + .C₂).z + .D₁ + .D₂ = 0;

това е уравнение на равнина, ако коефициентите пред x, y и z не са едновременно нули;

да допуснем, че това е така, т.е.:

.A₁ + .A₂ = 0

.B₁ + .B₂ = 0

.C₁ + .C₂ = 0

(, )  (0, 0)  A₁ = k.A₂; B₁ = k.B₂; C₁ = k.C₂

 ₁ е успоредна на ₂ – противоречие  допускането не е вярно

 .l₁ (x, y, z) + .l₂ (x, y, z) = 0 наистина е уравнение на равнина;

очевидно за всяка точка M₀ (x₀, y₀, z₀)  g  l₁ (M₀) = 0; l₂ (M₀) = 0

 .l₁(M₀) + .l₂(M₀) = 0  g   : .l₁ (x, y, z) + .l₂ (x, y, z) = 0;

1. Канонично представяне на права чрез двойка равнини

Нека за определеност B₁.C₂ – B₂.C₁  0 (равнините ₁ и ₂ не са успоредни);   = B₁ C₁  0  (C₁, C₂)  (0, 0); (B₁, B₂)  (0, 0);

B₂ C₂

Нека (, ) = (C₂, -C₁);

 : A.x + .y + D = 0;
Нека (, ) = (B₂, -B₁);

 : A.x + .z + D = 0;

g : { y = a.x + b; z = c.x + d } – канонично представяне на правата g чрез две равнини;

1. Конични сечения

В равнината имаме фиксирана права g и точка F  g. Да се намери геометричното място от точките M за които |MF| / |M, g| = e = const;

Това геометрично място се нарича конично сечение.

М

g

О

е₁

Нека правата g е такава, че g минава през F и g  g;

Фиксираме ортонормирана координатна система К = { O, e₁, e₂ },

където O = g  g, e₁ е колинеарен с g, e₂ е колинеарен с g;

освен това OF е еднопосочен с e₁;

Спрямо K:

F (p, 0) (p > 0), g: x = 0, M (x, y);

 |MF| =  (x - p)² + y² ; |M, g| = |x|;

  (x - p)² + y² / |x| = e  (x - p)² + y ² = e².x ²

 x ² – 2.p.x + p² + y ² = e².x ²  (1 – e²).x ² – 2.p.x + y ² = 0

Нека К – ортонормирана, К = { O, e₁, e₂ } ;

K  K : { x = x + , y = y }  e₁ = e₁, e₂ = e₂, O  O;

(1 – e²).x² + ( 2..(1 – e²) – 2.p ).x + y² + (1 – e²).² – 2.p. + p² = 0;

1. 
   1 – e² = 0  e = 1 (e > 0);
   

y² = 2.p.x – уравнение на парабола;

1. 
   1 – е²  0, е  1; нека вземем  = p / (1 – e²); получаваме:
   

x² / ( p².e² / (1 – e²)² ) + y² / ( p².e² / (1 – e²) ) = 1;

2.1. 1 - e² < 0  e < 1; полагаме a = p.e / (1 – e²), b = p.e / 1 – e²;

получаваме: x²/a² + y²/b² = 1 – уравнение на елипса;

2.2. 1 - е² > 0  е > 1; полагаме a = p.e / (e² – 1), b = p.e / e² – 1;

получаваме: x²/a² – y²/b² = 1 – уравнение на хипербола;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: