Ранг и дефект на линеен оператор

13. Ранг и дефект на линеен оператор.

Нека V е линейно пространство над полето F;

нека   Hom (V);

Дефинираме:

ще докажем, че Im  е подпространство на V;

нека x, y  Im  и ,   F; тогава съществуват v₁, v₂  V, такива че

 (v₁) = x,  (v₂) = y; в такъв случай .x + .y = . (v₁) + . (v₂) =

=  (.v₁ + .v₂); тъй като V е линейно пространство  .v₁ + .v₂  V   (.v₁ + .v₂)  Im , т.е. .x + .y  Im  

Im  е подпространство на V;

Im  се нарича образ на оператора ;
Ker  = { v  V |  (v) =  }  V; очевидно   Ker ;

ще докажем, че Ker  е подпространство на V;

нека x, y  Ker  и ,   F; тогава  (.x + .y) = . (x) + .  (y) =

= . + . =   .x + .y  Ker   Ker  е подпространство на V;

Дефинираме:

r () = dim Im  - ранг на оператора ;

d () = dim Ker  - дефект на оператора ;

за  = ,  (v) =  за всяко v  V  Im  = {  }, Ker  = V;

за  = ,  (v) = v за всяко v  V  Im  = V, Ker  = {  };

за V = Fn_xn,   Hom (V) дефинирано с  ( А ) = А^t за всяка матрица A  V  Im  = V, Ker  = {  };

Доказателство:

Нека dimV = n; e₁, e₂, …, e_n е базис на V;

нека спрямо този базис  има матрица А;

за всяко v  V съществува единствен запис v = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n;

всеки вектор от Im  има вида  (v) за някое v  V, т.е.

₁. (е₁) + ₂. (е₂) + … + _n. (е_n)  Im  = ℓ ( (е₁),  (е₂), …,  (е_n));

 r () = dim Im  = dim ℓ ( (е₁),  (е₂), …,  (е_n)) =

r ( (е₁),  (е₂), …,  (е_n)) = ранга на матрицата със стълбове координатите на  (е₁),  (е₂), …,  (е_n) = r (A);

по дефиниция числото r () не зависи от никакъв базис  ако

А и А са матрици на оператора  спрямо два базиса

r (A) = r () = r (A), т.е. r (A) = r (A);

r () + d () = dim V;

Доказателство:

Нека d = d (), т.е. d = dim Ker ; нека n = dimV;

избираме базис на Ker : a₁, a₂, …, a_d (ако d > 0);

a₁, a₂, …, a_d – линейно независими вектори  съществуват

a_d+1, a_d+2, …, a_d+n  V, такива че а₁, а₂, …, a_n e базис на V (ако d < n);

Разглеждаме векторите  (a_d+1),  (a_d+2), …,  (a_n);

очевидно  (a_i)  Im  за i = d+1, d+2, …, n; ще докажем, че тези вектори образуват базис на Im ;

нека y  Im   съществува x  V, така че  (x) = y;

тъй като x = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _n.a_n, _i  F 

y =  (x) = ₁. (a₁) + ₂. (a₂) + … + _d. (a_d) + _d+1. (a_d+1) + … + _n. (a_n), но a₁, a₂, …, a_d  Ker    (a₁) =  (a₂) = … =  (a_d) =  

y = _d+1. (a_d+1) + _d+2. (a_d+2) +… + _n. (a_n), т.е.

y  ℓ ( (a_d+1),  (a_d+2), …,  (a_n))  Im  = ℓ ( (a_d+1),  (a_d+2), …,  (a_n)); (1)

Нека _d+1. (a_d+1) + _d+2. (a_d+2) + … + _n. (a_n) = , _i  F;

  (_d+1.a_d+1 + _d+2.a_d+2 + … + _n.a_n) =  

_d+1.a_d+1 + _d+2.a_d+2 + … + _n.a_n  Ker   _d+1.a_d+1 + _d+2.a_d+2 + … + _n.a_n = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _d.a_d, _i  F  ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _d.a_d - _d+1.a_d+1 -

- _d+2.a_d+2 - … - _n.a_n = , но a₁, a₂, …, a_n са линейно независими 

₁ = ₂ = … = _d = _d+1 = _d+2 = … = _n = 0   (a_d+1),  (a_d+2), …,  (a_n) са линейно независими вектори; (2)

от (1) и (2)   (a_d+1),  (a_d+2), …,  (a_n) са базис на Im  

r () = dim Im  = n – d = dimV – d ()  r () + d () = dimV;

 е обратим, ако съществува   Hom (V), такъв че . = . = ;

 се нарича обратен оператор на ;

нека спрямо произволен базис  има матрица А,  има матрица B  . има матрица A.B,  има матрица Е  A.B = B.A = E  A e обратима и B = A^-1; показахме, че необходимо условие за обратимост на оператора  е неговата матрицата А да е неособена; тогава  има матрица А^-1 и е единствен; означаваме обратния оператор на  с ^-1;

1. 
    е обратим;
   
2. 
   матрицата А на  спрямо произволен базис е неособена;
   
3. 
   r () = dimV, т.е. Im  = V;
   
4. 
   d () = 0, т.е. Ker  = {  };
   
5. 
    изпраща кой да е базис на V в друг базис на V;
   

Доказателство: ще проведем доказателството по следната циклична схема от импликации 1)  2)  3)  4)  5)  1);

Нека n = dimV;

1. 
   1)  2): доказано по-горе като необходимо условие;
   
2. 
   2)  3): А е неособена  detA  0  r (A) = n, но r () = r (A)  r () = n = dimV;
   
3. 
   3)  4): от r () = dimV и теорема за ранга и дефекта 
   

4. 
   4)  5): нека d () = 0, т.е Ker  = {  }; нека e₁, e₂, …, e_n е
   

 (₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n) =   ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n  Ker  = {  }  ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n =   ₁ = ₂ = … = = _n = 0, тъй като e₁, e₂, …, e_n са линейно независими вектори   (e₁),  (e₂), …,  (e_n) също са линейно независими и са n на брой   (e₁),  (e₂), …,  (e_n) е базис на V;

5. 
   5)  1): нека e₁, e₂, …, e_n е базис на V; тогава g₁ =  (e₁), g₂ =  (e₂), …, g_n =  (e_n) също е базис на V; от въпрос №11  съществува единствен линеен оператор :  (g_i) = e_i за всяко i = 1, 2, …, n; тъй като (.)(e_i) =  ( (e_i)) =  (g_i) = e_i  (.)(x) = x за всяко x  V  . =  (аналогично . = )   e обратим;