Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
Изтегляне 2.43 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- . ; .
- . ). = . ( . ); ( + ). = . + .
- Hom ( V )
17 декемвриТеорема: Нека V е n-мерно линейно пространство над полето F; тогава Hom (V) Fnxn; Доказателство: Фиксираме базис e1, e2, …, en във V; всеки оператор Hom (V) има матрица A Fnxn спрямо базиса e1, e2, …, en; разглеждаме изображението f : Hom (V) Fnxn дефинирано с f () = A за всеки оператор Hom (V); нека Hom (V), F; тогава f (.) = .A = .f () от (1); (*) нека , Hom (V) и нека f () = A, f () = B; тогава f ( + ) = A + B = f () + f () от (2); (**) от (*) и (**) f е линейно изображение; Нека A = (ij) Fnxn; разглеждаме векторите g1, g2, …, gn V, където gj = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en; от твърдение по-горе (въпрос №11) съществува единствен линеен оператор Hom (V), такъв че (ej) = gj за j = 1, 2, …, n; матрицата на има в стълбовете си координатите на (ej), j = 1, 2, …, n, т.е. на gj или това е точно матрицата А; по този начин показахме, че за всяка матрица А Fnxn съществува линеен оператор Hom (V), такъв че f () = A; (1) нека Hom (V), f () = A; матрицата А е еднозначно определена от оператора ; нека Hom (V) и f () = A (ei)= (ei) за всяко i = 1, 2, …, n; нека x V същетсвува единствено изразяване x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en (x) = 1. (e1) + 2. (e2) + … + n. (en); (x) = 1. (e1) + 2. (e2) + … + n. (en); (x) = (x), тъй като (ei)= (ei) за всяко i = 1, 2, …, n = ; по този начин показахме, че от f () = f () = ; (2) от (1) и (2) f е биекция и тъй като f е линейно изображение f – изоморфизъм Hom (V) Fnxn; Нека V – линейно пространство над полето F; нека , Hom (V); дефинираме . като изображение: .: V V с (.)(x) = ( (x)) за всяко x V; в общия случай . .; . се нарича композиция на и ;
Доказателство: Нека x, y V, , F; тогава (.)(.x + .y) = ( (.x + .y)) = ( . (x) + . (y)) = . ( (x)) + . ( (y)) = .(.)(x) + .(.)(y);
Доказателство: Нека A = (ij) Fnxn , B = (ij) Fnxn; з
а j = 1, 2, …, n имаме:
(ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en = kj.ek;
i=1 (ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en = ij.ei;
з i=1 а j = 1, 2, …, n разглеждаме (.)(еj) = ( (ej)) = ( ij.ei) =
n n n n =
i=1 k=1 k=1 i=1 ij. (ei) = ij. ki.ek = . ( ki.ij).ek ;
i=1 матрицата на . има елемент ki.ij в ред k и стълб j, но това е точно матрицата A.B; Свойства на композицията на линейни изображения:
за всеки , , Hom (V); Доказателство: следва директно от изоморфизма между Hom (V) и Fnxn и асоциативност , лява дистрибутивност и дясна дистрибутивност на действията с матрици; Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 2.43 Mb. Сподели с приятели:
|