октомври 1. Детерминанти

8 октомври

1. Детерминанти

1. 
   a + b  F
   
2. 
   a – b  F
   
3. 
   a . b  F
   
4. 
   a / b  F, при условие, че b  0
   

Доказателство: Нека a  F;

съгласно условие 2  а – а  F, т.е. 0  F, но |F|  2  съществува a  F и а  0; съгласно условие 4  а / а  F, т.е. 1  F;

1  F  1 + 1  F, т.е. 2  F; за всяко n  N, 1 + 1 ....(n пъти).. 1  F, т.е. n  F;

0, n  F  0 - n  F, т.е. - n  F  за всяко n  Z, n  F;

Нека r  Q, т.е. r = m / n, където m, n  Z, n  0, но m, n  F  m / n  F (n  0), т.е. r  F  за всяко r  Q, r  F  Q  F

Матрица

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

A = ………………… A = (a_ij) i - ти ред и j - ти стълб

………………… i = 1..m, j = 1..n (a_ij  F)

a_m1 a_m2 ……a_mn
Fm_xn – множество от всички матрици с m реда и n стълба с елементи от полето F.
Матрицата А е квадратна, ако: m = n.
В такъв случай елементите а₁₁, а₂₂ ... а_nn образуват главния диагонал на матрицата, а елементите a_1n, a_2n-1, a_3n-2 ... a_n1 образуват втория диагонал.
Цел: На всяка квадратна матрица А  Fn_xn (n  N) да се съпостави по някакъв начин число от самото поле F (число, характеризиращо матрицата) и това число ще го наричаме детерминанта на матрицата А.
n = 2

Решаваме следната система от уравнения

a₂₁.x₁ + a₂₂.x₂ = b₂

a₂₁ a₂₂ се нарича матрица на системата

Получаваме:

(а₁₁.а₂₂ – а₁₂.а₂₁) . x₁ = b₁.a₂₂ – b₂.a₁₂
Умножаваме първото уравнение с -a₂₁, второто с а₁₁ и ги събираме.

Получаваме:

(а₁₁.а₂₂ – а₁₂.а₂₁) . x₂ = -b₁.a₂₁ + b₂.a₁₁
Коефициентите пред x₁ и x₂ са едни и същи;
Числото (а₁₁.а₂₂ – а₁₂.а₂₁) наричаме детерминанта на матрицата А.
Означения: detA, a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Нека b₁.a₂₂ – b₂.a₁₂ = ₁  ₁ = b₁ a₁₂

b₂ a₂₂

Нека -b₁.a₂₁ + b₂.a₁₁ = ₂  ₂ = а₁₁ b₁

а₂₁ b₂
Това може да се провери чрез дефиницията  x₁ = ₁; x₂ = ₂
Ако   0, то системата има единствено решение x₁ = ₁/; x₂ = ₂/ (прави се проверка в условието)
₁ се получава от , като първият стълб се замени със свободните членове.

₂ се получава от , като вторият стълб се замени със свободните членове.

Решаваме следната система от уравнения

a₂₁.x₁ + a₂₂.x₂ + a₂₃.x₃ = b₂

a₃₁.x₁ + a₃₂.x₂ + a₃₃.x₃ = b₃

a₁₁ a₁₂ а₁₃

A = a₂₁ a₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃ се нарича матрица на системата

(а_ij, b_k)  F
Умножаваме първото уравнение с a₂₂.a₃₃ – a₂₃.a₃₂, второто с – а₁₂.a₃₃ + a₁₃.a₃₂, третото с a₁₂.a₂₃ – a₁₃.a₂₂ и ги събираме.
Получаваме:

(а₁₁.а₂₂.а₃₃ – а₁₁.а₂₃.а₃₂ – а₁₂.а₂₁.а₃₃ + а₁₃.а₂₁.а₃₂

+ а₁₂.а₂₃.а₃₁ – а₁₃.а₂₂.а₃₁) . x₁ = b₁.a₂₂.а₃₃ – b₁.a₂₃.а₃₂ – b₂.a₁₂.a₃₃ + b₂.a₁₃.a₃₂ + b₃.a₁₂.a₂₃ – b₃.a₁₃.a₂₂
Числото (а₁₁.а₂₂.а₃₃ – а₁₁.а₂₃.а₃₂ – а₁₂.а₂₁.а₃₃ + а₁₃.а₂₁.а₃₂ + а₁₂.а₂₃.а₃₁ – а₁₃.а₂₂.а₃₁) наричаме детерминанта на матрицата А.
Нека detA = 

Означаваме дясната страна на горното равенство с ₁; имаме x₁ = ₁

Аналогично, получаваме x₂ = ₂; x₃ = ₃; където с ₂ и ₃ сме означили десните страни на равенствата за x₂ и x₃, които са аналогични на равенството за x₁.
Не е трудно да се установи чрез проверка (по дефиниция за детерминанта от трети ред), че _i (i=1,2,3) се получава от  като заменим i – тият стълб със стълба от свободните членове, т.е.

b₁ a₁₂ а₁₃ a₁₁ b₁ а₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁

₁ = b₂ a₂₂ а₂₃ ₂ = a₂₁ b₂ а₂₃ ₃ = a₂₁ a₂₂ b₂

b₃ а₃₂ а₃₃ a₃₁ b₃ а₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃

a₁₁ a₁₂ а₁₃ a₁₁ a₁₂ а₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂ а₃₃

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

A = …………………  Fn_xn, F – поле, n  N

…………………

detA е сумата на всички произведения от вида: а_1i1a_2i2, където i₁ и i₂ са измежду 1 и 2 и са различни; по отношение за знака – половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”

detA е сумата на всички произведения от вида: а_1i1a_2i2a_3i3, където i₁, i₂, i₃  {1,2,3} и са две по две различни; по отношение за знака – половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”

i₁, i_2, … i_n  { 1,2, …n } и са две по две различни; половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”

Казваме, че i_k и i_l образуват инверсия, ако k < l и i_k > i_l

 e четна (нечетна), ако [] е четно (нечетно).

Тогава казваме, че е извършена транспозиция (i_k <-> i_l).

(i <-> j); получаваме  = …j…i…

т.е.  = …ij…;  = …ji…

Очевидно [] = [] + 1 при i < j и [] = [] - 1 при i > j, защото позицията на i и j спрямо останалите елементи не се променя  [] и [] са с различна четност  транспозицията на съседни елементи променя четността на пермутацията
В общия случай: i и j са произволно разположени
 = …ik₁k₂…k_t j…

 = …jk₁k₂…k_t i…

i <-> k₂,… i <-> k_t; получаваме  = …k₁k₂…k_t ij…; при това четността на  е променена t пъти.

След това извършваме транспозицията : i <-> j и получаваме

 = …k₁k₂…k_t ji…; при това четността на  е променена 1 път.

j <-> k_t, j <-> k_t-1, …j <-> k₁; получаваме

 = …jk₁k₂…k_t i…= ; при това четността на  е променена t пъти
При преобразуването на  в  четността е променена общо 2t +1 пъти, но 2t +1 – нечетно   и  имат различна четност
Следствие: При n  2 броят на четните пермутации е равен на броя на нечетните пермутации (= n!/2); при n = 1 не може да се говори за инверсии
Доказателство:

Означаваме с r и s броят съответно на четните и нечетните пермутации.

Върху всяка четна пермутация извършваме една фиксирана транспозиция (например 1 <-> 2). Получаваме като резултат r различни нечетни пермутации  s  r (1)

Върху всяка нечетна пермутация извършваме една фиксирана транспозиция (например 1 <-> 2). Получаваме като резултат s различни четни пермутации  r  s (2)

От (1) и (2)  r = s, т.е. броят на четните пермутации е равен на броя на нечетните пермутации
Разглеждаме детерминантата от втори ред:
a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂ = а₁₁.а₂₂ – а₁₂.а₂₁

Разглеждаме пермутацията i₁, i₂ и забелязваме, че когато тя е четна събираемото е със знак “+”, а когато е нечетна – със знак “–”

1 2 e четна (има 0 инверсии) – а₁₁.а₂₂ е със знак “+”

2 1 e нечетна (има 1 инверсия) – а₁₂.а₂₁ е със знак “–”

a₁₁ a₁₂ а₁₃

a₂₁ a₂₂ а₂₃

a₃₁ a₃₂ а₃₃ = (а₁₁.а₂₂.а₃₃ – а₁₁.а₂₃.а₃₂ – а₁₂.а₂₁.а₃₃ + а₁₃.а₂₁.а₃₂ +

a₁₂.а₂₃.а₃₁ – а₁₃.а₂₂.а₃₁)
В отделните събираеми сме сортирали елементите а_ij по i (на първо място стои а_1i1, на второ място – a_2i2, на трето място – a_3i3);

Разглеждаме пермутацията i₁, i₂, i₃ и забелязваме отново, че когато тя е четна събираемото е със знак “+”, а когато е нечетна – със знак “-“

1 2 3 e четна (има 0 инверсии) - а₁₁.а₂₂.а₃₃ е със знак “+”

1 3 2 е нечетна (има 1 инверсия) - а₁₁.а₂₃.а₃₂ е със знак ”–“

2 1 3 е нечетна (има 1 инверсия) - а₁₂.а₂₁.а₃₃ е със знак “–”

2 3 1 е четна (има 2 инверсии) - а₁₂.а₂₃.а₃₁ е със знак “+”

3 1 2 е четна (има 2 инверсии) - а₁₃.а₂₁.а₃₂ е със знак “+”

3 2 1 е нечетна (има 3 инверсии) - а₁₃.а₂₂.а₃₁ е със знак “–”

от n-ти ред сме сортирали елементите а_ij по i (на първо място стои а_1i1, на второ място – a_2i2, ... на n-то място - a_nin), тогава знакът пред събираемото е “+”, ако пермутацията i₁, i_2, …i_n е четна и “–“, ако тя е нечетна; т.е. знакът пред а_1i1a_2i2... a_nin е (-1)^{[ i1, i2,…in ]}