Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
януари 14. Смяна на базиса
Изтегляне 2.43 Mb.
|
7 януари14. Смяна на базиса.Нека V е линейно пространство над полето F, dimV = n < ; Нека E = { e1, e2, …, en } и F = { f1, f2, …, fn } са базиси във V;
f1 = 11.e1 + 21.e2 + … + n1.en f2 = 12.e1 + 22.e2 + … + n2.en … fn = 1n.e1 + 2n.e2 + … + nn.en, където ij F; Разглеждаме матрицата T = (ij) Fnxn, т.е. в j-тият стълб на T стоят координатите на вектор fj спрямо базиса E за j = 1, 2, …, n; T
се нарича матрица на прехода от базиса Е към базиса F; oзначение E F; матрицата T е неособена (detT 0), тъй като в противен случай съществува линейна зависимост между стълбовете на T векторите f1, f2, …, fn са линейно зависими, но това е невъзможно, тъй като те образуват базис; Обратно: Всяка неособена матрица T Fnxn е матрица на прехода от един базис на V към друг базис на V; Доказателство: Нека T = (ij) Fnxn; нека E = { e1, e2, …, en } е базис на V; разглеждаме векторите F = { f1, f2, …, fn}: f1 = 11.e1 + 21.e2 + … + n1.en f2 = 12.e1 + 22.e2 + … + n2.en … fn = 1n.e1 + 2n.e2 + … + nn.en т T ъй като матрицата T е неособена, тогава векторите f1, f2, …, fn са линейно независими и са n на брой образуват базис, т.е. E F; от въпрос №11 – съществува единствен линеен оператор Hom (V), такъв че (ej) = fj за всяко j = 1, 2, …, n, т.е. (ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en има матрица T спрямо базиса E; от въпрос №13 – T е неособена матрица е обратим оператор; (ej) = fj -1(fj) = ej за всяко j = 1, 2, …, n; спрямо базиса E -1 има матрица T-1 = (ij) Fnxn; това означава, че: -1(ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en ( -1(ej)) = (1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en) ej = 1j. (e1) + 2j. (e2) + … + nj. (en) e
j = 1j.f1 + 2j.f2 + … + nj.fn за всяко j = 1, 2, …, n, което означава, че матрицата на прехода от базиса F към базиса E e T-1 ( F E ); Т T върдение 1: Нека x V; x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en, x = 1.f1 + 2.f2 + … + n.fn; E F; ако:   1 1
= = 2 2 … …
n n в сила е матричното равенство: = T.; Доказателство: 1.e1 + 2.e2 + … + n.en = x = 1.f1 + 2.f2 + … + n.fn = 1.(11.e1 + 21.e2 + + … + n1.en) + 2.(12.e1 + 22.e2 + … + n2.en) + … + n.(1n.e1 + 2n.e2 + … + nn.en) = (11.1 + 12.2 + … + 1n.n).e1 + (21.1 + 22.2 + … + 2n.n).e2 + … + (n1.1+ n2.2 + … + nn.n).en, но координатите на вектора x спрямо Е са единствени 1 = 11.1 + 12.2 + … + 1n.n; 2 = 21.1 + 22.2 + … + 1n.n; … n = n1.1 + n2.2 + … + nn.n; в матричен запис - = T.; Твърдение 2: Нека Hom (V), има матрица А = (ij) Fnxn в базиса E; нека x V, x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; y = (x) = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; ако 1 1
= = 2 2 … …
n n в сила е матричното равенство: = A.; Доказателство: 1.e1 + 2.e2 + … + n.en = y = (x) = (1.e1 + 2.e2 + … + n.en) = 1. (e1) + 2. (e2) + … + n. (en) = 1. (11.e1 + 21.e2 + … + n1.en) + 2. (12.e1 + 22.e2 + … + n2.en) + … + n. (1n.e1 + 2n.e2 + … + nn.en) = (11.1 + + 12.2 + … + 1n.n).e1 + (21.1 + 22.2 + … + 2n.n).e2 + … + (n1.1 + + n2.2 + … + nn.n).en, но координатите на вектора y са единствени спрямо базиса E 1 = 11.1 + 12.2 + … + 1n.n; 2 = 21.1 + 22.2 + … + 2n.n; … 1 = n1.1 + n2.2 + … + nn.n; в матричен запис - = А.; Т T върдение 3: Нека Hom (V) и нека има матрица А спрямо базиса E и матрица B спрямо базиса F; ако E F, тогава в сила е матричното равенство: B = T-1.A.T; Доказателство: Нека A = (ij) Fnxn, B = (ij) Fnxn; за всяко j = 1, 2, …, n: (fj) = 1j.f1 + 2j.f2 + … + nj.fn; съществува единствен линеен оператор , такъв че (ej) = fj за всяко j = 1, 2, …, n; по-горе показахме, че е обратим, -1 (fj) = ej за всяко j = 1, 2, …, n; -1.. (ej) = -1 ( ( (ej))) = -1 ( (fj)) = -1 (1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en) = 1j.-1 (f1) + 2j.-1 (f2) + … + nj.-1 (fn) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en; операторът -1.. има матрица B спрямо базиса Е; (1) по-горе показахме, че -1 има матрица T-1 в базиса E, има матрица T в базиса E, освен това има матрица A в базиса E спрямо базиса Е операторът -1.. има матрица T-1.A.T (въпрос №12); (2) от (1), (2) и еднозначното определяне на матрицата на оператора спрямо базиса Е B = T-1.A.T; Определение: Нека A, B Fnxn; казваме, че B е подобна на A, ако съществува неособена матрица T Fnxn, такава че B = T-1.A.T; означаваме B ~ A; Свойства: Рефлексивност: А ~ A за всяко A Fnxn; Доказателство: A = E-1.A.E, E – неособена A ~ A; Комутативност: Ако B ~ A, то A ~ B; Доказателство: B ~ A съществува неособена матрица T Fnxn, такава че B = T-1.A.T; след умножаване отляво по T и отдясно по T-1 получаваме: A = T.B.T-1 = (T-1)-1.B.T-1, T-1 – неособена A ~ B; Транзитивност: Ако B ~ A, C ~ B, то C ~ A; Доказателство: B ~ A съществува неособена матрица T Fnxn, такава че B = T-1.A.T; C ~ B съществува неособена матрица Q Fnxn, такава че C = Q-1.B.Q C = Q-1.T-1.A.T.Q = (T.Q)-1.A.(T.Q); използвали сме асоциативност на умножението на матрици и едно известно свойство за обратна матрица на произведение на матрици; T.Q – неособена, тъй като T и Q са неособени C ~ A; тези три свойства обуславят подобността на матрици като релация на еквивалентност; Твърдение 4: Нека A и B Fnxn са подобни матрици; тогава:
Доказателство:
B = T-1.A.T detB = det (T-1.A.T) = detT-1.detA.detT = (1/detT).detA.detT = detA;
B = T-1.A.T; нека V е n-мерно пространство над полето F и E = { e1, e2, …, en } е базис на V; тогава съществува единствен линеен оператор , който спрямо базиса E има матрица А; Т – нeoсобена T се реализира като матрица на прехода от базиса E към друг базис F = { f1, f2, …, fn } (показано по-горе); от твърдение 3 спрямо базиса F операторът има матрица T-1.A.T = B; от въпрос №13 матрицата на един линеен оператор спрямо кой да е базис има един и същи ранг, равен на ранга на оператора, т.е. r (A) = r () = r (B);
Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 2.43 Mb. Сподели с приятели:
|