ноември – семинарни занятия

26 ноември

Казваме, че линейното пространство V е сума на двете подпространства V₁  V и V₂  V, ако за всяко v  V,

съществуват v₁  V₁ и v₂  V₂, такива че v = v₁ + v₂;

Ако за всяко v  V, съществуват единствени v₁  V₁ и v₂  V₂, такива че v = v₁ + v₂, казваме че V е директна сума на V₁ и V₂;

означение: V = V₁  V₂;
Твърдение: V – линейно пространство над полето F;

V₁  V, V₂  V; тогава V = V₁  V₂  (1) V = V₁ + V₂; (2) V₁  V₂ = {  };

Доказателство:

Нека V = V₁  V₂. Toгава (1) очевидно е изпълнено.

Нека v  V₁  V₂.

v = v + , където v  V₁,   V₂;

v =  + v, където   V₁, v  V₂;

 v  V и от единственост на представянето  v = 

 V₁  V₂ = {  }, т.е. (2) е изпълнено;

Нека (1) и (2) са изпълнени.

Нека v  V;

от (1)  съществуват v₁  V₁, v₂  V₂, такива че v = v₁ + v₂;

да допуснем, че съществуват v₁  V₁, v₂  V₂, такива че v = v₁ + v₂;

 v₁ + v₂ = v₁ + v₂  v₁ – v₁ = v₂ - v₂, но v₁ – v₁  V₁, тъй като V₁ е линейно пространство, v₂ – v₂  V₂, тъй като V₂ е линейно пространство  v₁ – v₁ = v₂ - v₂  V₁  V₂;

от (2)  v₁ – v₁ = v₂ - v₂ =   v₁ = v₁, v₂ = v₂  представянето на v е единствено  V = V₁  V₂;

тогава V = V₁  V₂  dimV = dimV₁ + dimV₂;

Доказателство:

от теоремата по-горе  dim(V₁  V₂) = dimV₁ + dimV₂ – dim(V₁ + V₂);

Щом V = V₁ + V₂, то от горното твърдение 

V = V₁  V₂  V₁  V₂ = {  }  dim(V₁  V₂) = 0 

dimV₁ + dimV₂ – dim(V₁ + V₂) = 0  dimV₁ + dimV₂ = dimV;

нека e₁, e₂, …, e_n – базис на V; ако 1  k  n-1, k  N и

Доказателство:

Нека v  V  v = ₁.e₁ + … + _k.e_k + _k+1.e_k+1 + … + _n.e_n, _i  F;

Нека v₁ = ₁.e₁ + … + _k.e_k  v₁  V₁;

Нека v₂ = _k+1.e_k+1 + … + _n.e_n  v₂  V₂;

 v = v₁ + v₂, където v₁  V₁, v₂  V₂  V = V₁ + V₂;

Нека v  V₁  V₂.

v  V₁  v = ₁.e₁ + … + _k.e_k, _i  F;

v  V₂  v = _k+1.e_k+1 + … + _n.e_n, _i  F;

 ₁.e₁ + … + _k.e_k - _k+1.e_k+1 … - _n.e_n = ,

но векторите e₁, e₂, …, e_n са линейно независими 

₁ = …= _k = _k+1 = …= _n = 0  v =   V₁  V₂ = {  }  V = V₁  V₂;

 съществува W  V, такова че V = U  W;

Доказателство:

Ако U = {  }, W = V и U  W = V;

Ако U = V, W = {  } и U  W = V;

Нека U – нетривиално подпространство на V;

Избираме базис u₁, u₂, …, u_k на U  U = ℓ (u₁, u₂, …, u_k);

u₁, u₂, …, u_k – линейно независими,

u₁, u₂, …, u_k  V  съществуват u_k+1, u_k+2, …, u_n, такива че

u₁, …, u_k, u_k+1, …, u_n образуват базис на V;

нека W = ℓ (u_k+1, u_k+2, …, u_n);

oт предното твърдение  V = U  W;

изучаването на линейното пространство V, може да се сведе до изучаването на неговите подпространства V₁ и V₂;

Нека

 V₁  V, V₂  V; ще докажем, че V₁  V₂ = V;

1. 
   за всяко A  V, A = 1/2.(A + A^t) + 1/2.(A – A^t), но
   

тъй като (1/2.(A + A^t))^t = 1/2.(A^t + (A^t)^t) = 1/2.(A + A^t);

1/2.(A - A^t)  V₂,

тъй като (1/2.(A - A^t))^t = 1/2.(A^t - (A^t)^t) = 1/2.(A^t - A) = - 1/2.(A – A^t)

 V = V₁ + V₂;

2. 
   нека A  V₁  V₂  A^t = A, A^t = -A  A = - A  A = O
   

от (1) и (2)  V₁  V₂ = V;

казваме, че V е директна сума на V₁, V₂, …, V_s, ако за всяко v  V съществува единствено представяне: v = v₁ + v₂ + … + v_s, където

v_i  V_i за i = 1, 2, …, s

означаваме V = V₁  V₂  …  V_s;

(1) V = V₁ + V₂ + … + V_s; (2) V_i  ( V₁ + … + V_i-1 + V_i+1 + … + V_s) = {  } за всяко i = 1, 2, …, s;