Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра


Матрица на линеен оператор. Действия с линейни оператори



Изтегляне 2.43 Mb.
страница20/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24

12. Матрица на линеен оператор. Действия с линейни оператори.

Нека V – линейно пространство над полето F; n = dimV (< );

(понякога линейните оператори се наричат хомоморфизми);

съвкупността от всички линейни оператори на V (: VV)

означаваме с Hom (V);
Нека e1, e2, …, en е базис на V; нека Hom (V);

за всяко x  V съществува единственo изразяване на x чрез базиса, т.е. x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en (iF);

за всяко x  V имаме (x) = 1. (e1) + 2. (e2) + … + n. (en), това изразяване е единствено  операторът еднозначно се определя от образите (e1), (e2), …, (en) на базисните вектори е1, e2, …, en;

ако Hom (V) и (ei) = (ei) за всяко i = 1, 2, …, n  (x) = (x) за всяко x  V = ;

за всяко j = 1, 2, …, n съществува единствено изразяване на (ej) чрез базиса, т.е. (ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en (kjF);

Нека

11 12 …1j …1n

2122 …2j …2n

A = ………………………

………………………

n1n2 …nj …nn
A  Fnxn; координатите на (ej) стоят в j-тия стълб на матрицата А;

матрицата А се нарича матрица на линейния оператор спрямо базиса e1, e2, …, en; тази матрица определя еднозначно оператора;

Примери:

за , (x) =  за всяко x  V; матрицата на оператора е О  Fnxn;

за = id, (x) = x за всяко x  V; матрицата на оператора е E  Fnxn;

нека V = R3[x]; dimV = 3 и един базис е 1, x, x2;

нека Hom (V) с ( f (x) ) = f  (x);

тогава (1) = 0 = 0.1 + 0.x + 0.x2;

(x) = 1 = 1.1 + 0.x + 0.x2;

(x2) = 2.x = 0.1 + 2.x + 0.x2;

матрицата А на оператора e:

0 1 0

A = 0 0 2

0 0 0
Разглеждаме множеството Hom (V); в него дефинираме следните операции:


  • ако Hom (V) и   F, дефинираме изображението (.), такова че (.)(x) = . (x); (.): VV; лесно се проверява, че (.) също е линеен оператор, т.е. (.)  Hom (V);

  • ако , Hom (V), дефинираме изображението ( + ), такова че ( + )(x) = (x) + (x); ( + ): VV; лесно се проверява, че

( + ) също е линеен оператор, т.е. ( + )  Hom (V);
Относно въведените операции събиране на оператори и умножаване на оператор с число, множеството Hom (V) e линейно пространство над полето F; проверката се осъществява в това да се проверят дали са изпълнени осемте аксиоми за линейно пространство;
(1) Ако Hom (V) има матрица A (спрямо базис е1, е2, ..., еn) и   F, то . има матрица .A (спрямо същия базис);

(2) Ако , Hom (V) имат матрици A и B (спрямо базис е1, е2, ..., еn), то oператорът + има матрица A+B (спрямо същия базис);

Проверка на (2): Нека A = (ij)  Fnxn, B = (ij)  Fnxn;

за всяко j = 1, 2, …, n имаме:

 (ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en;

 (ej) = 1j.e1 + 2j.e2 + … + nj.en;

( + )(ej) = (ej) + (ej) = (1j + 1j).e1 + (2j + 2j).e2 + … + (nj + nj).en

 матрицата на + e (ij + ij)  Fnxn, т.е. тя е A + B;



14 декември – семинарни занятия

Намиране на базис на сума на две подпространства U и W;

ако U = ℓ (a1, a2, …, an), W = ℓ (b1, b2, …, bk), тогава

U + W = ℓ (a1, a2, …, an, b1, b2, …, bk), т.е. базис на U + W e всяка максимална линейно независима подсистема на системата вектори

a1, a2, …, an, b1, b2, …, bk;


Намиране на базис на сечение на две подпространства U и W – един начин е следният:

намираме хомогенна система S1, която има за решение пространството U, и намираме хомогенна система S2, която има за решение пространството W; базисът на U W е ФСР на системата, получена от уравненията на S1 и уравненията на S2;


Примери за линейни оператори:

    1. id: VV; id (x) = x – линеен оператор (единичен);

    2. : VV; (x) =  - линеен оператор (нулев);

    3. A: VV; A (x) = a – линеен оператор единствено за

a = ;

    1. V има базис e1, e2, …, en; A: VFn;

A (x1.e1 + x2.e2 + …xn.en) = (x1, x2, …, xn);

A – изоморфизъм;

    1. V1 – множеството от всички диференцируеми функции на една променлива x; V2 – множеството от всички функции на променливата x; D: V1V2; D (f) = f  - линейно изображение; например D: Fr+1[x]Fr[x];

U – множеството от всички функции a.sinx + b.cosx, където a и b са произволни реални числа; D: UU дори е обратим;

    1. V = Fnxn ; : VV; (A) = At – линеен оператор;

    2. V = Fnxn ; : VV; (X) = A.X.B, където A, B – фиксирани, е линеен оператор;

    3. V = Fnxn ; : VV; (X) = X + A – линеен оператор, тогава и само тогава, когато A = O;

    4. V – линейното пространството от геометричните вектори; хомотетията ( x  a.x, където а е фиксирано число  R) e линейно изображение; ротацията ( x  y, получен чрез ротация на фиксиран ъгъл ) е линейно изображение; симетрия относно ос ( x   (x) спрямо фиксирана ос g) е линейно изображение; проектирането (успоредно или ортогонално) също е линейно изображение;

    5. V – линейно пространство с базис e1, e2, …, en; k – фиксирано число 1  k  n; : VV; (x1.e1 + x2.e2 + … + xk.ek + xk+1.ek+1 + … + xn.en) = x1.e1 + x2.e2 + … + xk.ek

- xk+1.ek+1 - … - xn.en;

p : VV; p (x1.e1 + x2.e2 + … + xk.ek + … + xn.en) = x1.e1 + x2.e2 + … + xk.ek ; , p са линейни изображения;

Нека V = UW;

тогава нека x = u + w e произволен вектор от V,

u  U, w  W (представянето е единствено);

: VV; (u + w) = u – w е линейно изображение (симетрия във V);

p: VV; p (u + w) = u е линейно изображение (проекция на V върху U);

Нека V е тримерно линейно пространство с базис e1, e2, e3;

Нека 1, 2, 3 са линейни оператори на V;

1 (1.e1 + 2.e2 + 3.e3) = (1 – 2.2 + 3).e1 + (2.1 - 3).e2 + (2.2 - 3).e3;

2 (1.e1 + 2.e2 + 3.e3) = (2.1 + 22 + 3).e1 + (1 + 2 + 3).e2 +

(1 - 2 + 4.3);

3 (1.e1 + 2.e2 + 3.e3) = (2.1 + 2 + 3).e1 + (1 - 2 + 4.3).e2 +

(5.2 – 4).e3;

1 – линеен оператор; 2 не е линеен оператор, тъй като съдържа координата на квадрат; 3 не е линеен оператор, тъй като съдържа фиксирани числа;



Изтегляне 2.43 Mb.

Сподели с приятели:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24



©obuch.info 2024
отнасят до администрацията
    Начална страница
Автореферат
Анализ
Бизнес-план
Биография
Глава
Диплом
Доклад
Задача
Закон
Занятие
Заседание