Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

6. Линейни пространства.

Нека F е поле, V – множество ( V   );

(a, b, c  V; , ,   F)

1. 
   a + b = b + a;
   
2. 
   (a + b) + c = a + (b+c);
   
3. 
   съществува   V: a +  = a за всяко а  V;
   
4. 
   за всяко а  V съществува -а, такъв че a + (-a) = ;
   

5. 
   1.a = a за всяко a  V;
   
6. 
   ( + ).a = .a + .a;
   
7. 
    (a + b)= .a + .b;
   
8. 
   .(.a) = (.).a;
   

полето F;

Нека n  N; тогава Fⁿ⁺¹[x] e множеството на всички полиноми f (x) с коефициенти от F и степени ненадминаващи n; това се прави, тъй като събирането на полиноми може да унищожи степени (включително и старшата);
F [x], Fⁿ⁺¹[x] са линейни пространства над полето F относно операциите събиране на полиноми и умножение на полином с число;
Нека n  N; означаваме с Fⁿ множеството на всички наредени

n-торки числа от полето F ( (а₁, а₂,…, a_n); a_i F за 1  i  n );

за a = (а₁, а₂,…, a_n)  Fⁿ, за b = (b₁, b₂,…, b_n)  Fⁿ и за   F дефинираме:

.a = (.а₁, .а₂,…, .a_n)  Fⁿ;

a + b = (а₁+b₁, а₂+b₂,…, a_n+b_n)  Fⁿ;

F
n броя
ⁿ е линейно пространство над полето F относно дефинираните операции; нулев вектор е  = (0, 0, …, 0), -a = (-a₁, -a₂, …, -a_n);

Следствия от аксиомите:

от аксиома 2  ако a₁, a₂, …, a_k  V, a₁+a₂+…+a_k е еднозначно определен вектор  V;

1. 
   нулевият вектор е единствен; доказателство: нека   V и
   

oт аксиома 1   +  =  +    = ;

2. 
   за всяко a  V, -a е единствен;
   
3. 
   за всяко a  V e в сила: 0.a = ; доказателство:
   

a + 0.a + (-a) = a + (-a)  0.a + (a + (-a)) = a + (-a); приложили сме аксиоми 1, 2; 0.a +  =   0.a =  (oт аксиома 3);

4. 
   . =  за всяко   F; доказателство: прилагаме аксиома 8 при =0: .(0.) = (.0)., т.е. . = ;
   
5. 
   (-1).a = -a за всяко a  V;
   
6. 
   Дефинираме разлика на вектора a – b като a + (-b), т.е. разликата на два вектора е първият вектор, събран с противоположния на втория вектор; от аксиоми 7 и 8 и от следствие e) получаваме: .(a – b) = .(a + (-b)) = .a + .(-b)
   

7. 
   за всяко a  V и всяко   F е в сила: .a =    = 0 или a = ; доказателство: ако  = 0, то от следствие c) равенството е изпълнено; ако   0  1/.(.а) = 1/., от аксиома 8 и следствие d)  1.a =   a = 
   

Нека V е линейно пространство над полето F; нека U  V ( U   )

.a  U и a + b  U, т.е. U е затворено относно двете операции, дефинирани във V;

.a + .b  U ( това е еквивалентна дефиниция);

a + (-a)  U    U и аксиомите 1..8 са изпълнени в U 

Нека a, b  V₁  V₂, ,   F  a, b  V₁ и .a + .b  V₁

 a, b  V₂ и .a + .b  V₂

 .a + .b  V₁  V₂  V₁  V₂  V;