4. 1 Активност: Понятията производна и допирателна Съдържание на активността

Чрез такива въпроси можем да укажем условия, при които функцията няма производна в дадена точка, като например, когато лявата или дясната граница на диференчното частно нямат граница, когато те съществуват, но не са реални числа, когато функцията не е непрекъсната в точката (за повече детайли разгледайте следващите работни листове).

Въпросът се разглежда отначало в символен контекст (алгебрично). Иска се от учениците да изследват за кои стойности на параметрите b и c функцията е диференцируема в точката за всяка стойност на реалното число a. Те първо изследват непрекъснатостта на функцията в точката x=a, а след това диференцируемостта в тази точка. Може да се очаква появата на известно неразбиране и объркване, свързано с представата за производна, като например изпускане на проверката за непрекъснатост в а и пресмятане на производната в а чрез заместване с пресметнатите лява и дясна производни за x и x>а съответно.

Правилният отговор на В1 е b=5 и c=1. Ако учениците са отговорили погрешно, учителят не им предоставя верния отговор, а преминава към следващата стъпка, където въпросът се изследва визуално в софтуерна среда. Това изследване има за цел да изясни неяснотите и заблужденията (каквито и да са те) и да предложи алтернативно визуално представяне на процесите, извършвани символно. След това учениците могат да се върнат към В1, за да докажат символно (алгебрично) своите предположения. Ако всички ученици отговарят правилно на В1, те могат да проверят (визуално) своя отговор в електронна среда.

Отворете EucliDraw файла 4.1.2.activity.euc , с който се изчертава горната функция. Проверете верността на вашите резултати, като променяте стойностите на параметрите. Запишете след това вашите наблюдения.

, за всяка стойност на реалното число , когато

където и c са реални числа и c≠1.

В2: В средата, създадена от софтуера, изследвайте дали съществува стойност на такава, че функцията f е диференцируема независимо от стойността на c.

В средата EucliDraw (файл 4.1.3.activity.euc) са начертани графиката, допирателната Κ към нея в точката и правата L с наклон s. С инструмента за мащабиране можем да увеличим близка област около Α , увеличавайки мащабиращия коефициент k. Големината на h се променя в зависимост от стойностите на мащабиращия коефициент, понеже, когато той се увеличава, областта, представена в мащабиращия прозорец, и h намаляват.

За всяка стойност на h можем да пресметнем разликите: и , както и частните: и за правите L и K съответно. Извършвайки тези пресмятания, учениците получават възможност да сравняват резултатите, когато стойностите на h стават все по-малки и по-малки.

Нека е зададена функция с формулата , в която а, b и c са реални числа. Нека е точка от графиката на тази функция, а L е права през A с наклон s.

Напишете уравнението на правата L:



Покажете, че .

Допирателна ли е правата L?

Ако ДА, защо? ... Един възможен отговор би бил, че това е така, защото разликата между f и L клони към нула. Както е известно това не е достатъчно, защото през A минават безбройно много прави с наклон, различен от , които не са допирателни. Следващата активност ще изясни разликата. …

Ако НЕ, защо? …Учениците може да отговорят НЕ и следващата активност ще помогне за изясняването на разликата между двете прави (L и K)…

Можете ли да намерите правилната формула за уравнението на допирателната: K(x)=… …

Отворете EucliDraw файла 4.1.3.activity.euc) , с който се изчертава графиката на функцията f. Можете да мените наклона s на правата L и софтуерът ще прес­мя­та разликите и диференчните частни във всеки разглеждан случай. Опитайте раз­лични стойности на мащабиращия коефициент и записвайте наблюденията си.

За целта разглеждаме две различни графики – на функциите и . Оста () има с двете графики само една обща точка O(0,0)), но е допирателна в тази точка само за първата графика. Разликата между двете графики по отношение на правата е следната: при първата графика граничното положение на секущите полуправи OB и OC е една и съща права, докато при втората това са различните полуправи OD и OE. За първата функция е в сила равенството при x₀=0, докато за втората не е в сила.

Нека функциите f и h са зададени с формулите: и , за .Отворете EucliDraw файла 4.1.4.activity.euc , с който се начертават графиките на функциите f и h. Пре-местете точката A по-близо до началото O.

Наклоните на OB, OC клонят към нула, докато тези на OD, OE остават постоянни (равни на 1 и -1, съответно).

В2: Какво установявате за производните на f и h в точката ?

Щракнете червеното квадратче на Ratios (Частни), за да проследите как се менят частните и . Червените и зелените отсечки съответстват на стойностите на f(x) и h(x), съответно. Преместете точката A по-близо до началото O.

1. 
   частните?
   

Чрез второто уравнение учениците биха могли да формулират предположения за това колко бързо функцията f клони към нула, сравнено с променливата x (f клони към нула “колкото пъти искаме” по-бързо от x).

В2: Ако O(0,0) и , h>0, какво наблюдавате за полуправата ΟB когато h се приближава към нула?

Прекарвайки допирателните към графиките на дадената функция и на нейната обратна установяваме, че те са симетрични относно ъглополовящата на първия квадрант.

Учениците могат да направят всички конструкции с помощта на софтуера (EucliDraw). Ако те не владеят софтуера могат да използват файла 4.1.6.activity.euc.

Разглеждаме функцията f , зададена с формулата: .

В1: Докажете, че обратната функция f ^-1 съществува.

(Упътване: Проверете дали f е 1-1 съответствие в дефиниционната си област)_.

На учениците се възлага да проверят дали функцията има обратна функция, като проверят дали тя е 1-1.

С нов EucliDraw файл, начертайте графиките на функциите и .

(Упътване: За построяването на графиката на начертайте правата и използвайте Reflection (Отражение (симетрия)) на графиката f относно правата . Ако срещнете затруднения с построението можете да използвате предварително подготвения файл: 4.1.6.activity.en.euc.)

Графиката на обратната функция се конструира геометрично в няколко стъпки: начертаваме правата , избираме точка A от графиката на f, нанасяме точката B , симетрична на A спрямо , и построяваме геометричното място на B , когато A описва графиката на f.

Начертайте допирателните към графиките C_f и в точките A(x, f(x)) и B(f(x), x), съответно (или щракнете червеното квадратче на tangent line (допирателна права)).

В2: Какво забелязвате за наклоните на допирателните към двете криви? Обосновете отговора си.

Произведението на наклоните е равно на 1. Това може да се обоснове с аргументи от Математическия анализ или от Геометрията. Аналитичните аргументи се основават на равенството: , когато всички частни са дефинирани, както е отбелязано по-горе. Колкото до геометричните аргументи учениците лесно се убеждават, че ъглите, сключени от тези прави с абсцисната ос, са допълнителни (сумата им е 90^o) и следователно наклоните им са реципрочни числа.

Учителят може да обърне внимание на учениците, че двете допирателни (към C_f и ) или пресичат правата в една и съща точка C(a,a) или са успоредни на тази права. В първия случай едната допирателна е правата CA, а другата е правата CB. Ако CA или CB не е успоредна на x΄x , то произведението на техните наклони е равно на 1. Произведението на наклоните е равно на 1 и във втория случай, защото тогава и двата наклона са равни на1.

Следващи разглеждания

1. Нека е функция, дефинирана с формулата: ,

и n е естествено число.

Съществува ли допирателна права към графиката на f в точката за различни стойности на n?

2. Нека за всяко xÎR означим с C_x кръгът с център (x, 0) и радиус 1. Пресметнете лицето на сечението на двата кръга C_x и C₀. Как се мени това лице за различни стойности на x?

4.1.1 Работен лист

Въведение в понятието производна
ПЪРВА СТЪПКА : “Допирателна към окръжност”

В “Елементите” Евклид твърди, че ако разглеждаме окръжност и допирателната в една нейна точка Α, не съществува полуправа Αx, която лежи между допирателната и окръжността.

Да проверим верността на това твърдение.

В нов EucliDraw файл начертайте окръжност с център O, нанесете точка A върху нея и права l през A , перпендикулярна на OA, която е допирателна към окръжността в точката Α.

(Упътване: прекарайте права през A и, ако е необходимо, “увеличете” областта , съдържаща частта от фигурата около A като използвате мащабиращия инструмент, за да проверите дали правата, която сте прекарали притежава исканото свойство. Пробвайте различни положения на правата xx΄, като ги проверявате всеки път в мащабиращия прозорец.)

В3: Колко общи точки с окръжността има правата xx΄ , която не съвпада с ?

Ако xx΄ е права през точката A, различна от l, означете с B другата обща точка на тази права с окръжността. Местете точката B, така че да се приближава към точката Α.

На фигурата по-долу е начертана графиката на функцията

Опитайте се да отговорите на следните въпроси:

Отворете EucliDraw файла 4.1.1.b.activity.en.euc, който изчертава графиката на функцията , както е показано на фигурата. Щракнете червеното квадратче на мащабиращия бутон. Ще забележите върху графиката точките B(x₀+h, f(x₀+h)) и C(x₀-h, f(x₀-h)). Можете да мените h , за да местите тези точки. Когато h намалява мащабиращият коефициент расте. Намалете h , за да преместите точките B C по-близо до A и наблюдавайте какво се променя в конструкцията. Записвайте вашите наблюдения.

Щракнете червеното квадратче на бутона secant lines (секущи прави), за да се появят секущите AB и AC точките B(x₀-h, f(x₀-h)) и C(x₀+h, f(x₀+h)) на кривата. Намалявайте h (абсолютната стойност) и наблюдавайте какво става с тези прави.