Тема 16.Средна хронологична величина

За статистическите динамични (временни) редове осредняваната величина у е значението на променящия се във времето признак, оценката за средното значение показва какъв би бил обемът на изследваното явление за всеки от наблюдаваните подпериоди средно.

Видове: когато данните се отнасят за отделни периоди, се прилага аритметично осредняване за динамични редове и получената средна стойност е т.нар. средна хронологична периодна величина. Когато данните се отнасят за моментни динамични редове, получената средна стойност чрез осреднителната процедура е средна хронологична моментна величина. В зависимост от вида на данните средната хронологична величина бива непретеглена и претеглена. Основание за определяне числената стойност на теглото е интервалът от време между два съседни момента.

За периодни динамични статистични редове оценката на средното значение се получава чрез аритметично осредняване:

• 
  За случаите, когато между отделните подпериоди от време интервалите са еднакви, се прилага аритметично осредняване на негрупирани данни от динамичен ред. Получената величина е непретеглена средна хронологична периодна;
  
• 
  За случаите, когато има повтаряемост за отделните подпериоди, оценката на средното значение се получава, като значенията за всеки подпериод се претеглят с тегла, съответстващи на броя на подпериодите с еднакви значения. Получената величина е претеглена средна хронологична периодна.
  
• 
  За моментни динамични редове се прилага също аритметично осредняване, но подходът за оценяване на средното значение е съобразно с особеностите на моментните съвкупности.
  
• 
  - При еднаква продължителност на подпериодите чрез хронологично осредняване оценката на средното значение за целия период ще се определи, като се оценят верижно средни значения за два съседни момента и общата средна ще бъде отношението на тези средни стойности към техния брой.Оттук следва, че ако интервалите от време между два съседни момента са еднакви, се изчислява непретеглена средна величина, а когато са различни по продължителност – претеглена средна величина.
  
• 
  При различна продължителност на подпериодите се прилага претеглената моментна средна величина, получена чрез хронологично осредняване.
  

Средното геометрично осредняване се прилага в случаите, когато е необходимо да се получи оценка за средното значение на признака от значение за членовете на динамичния ред, представени в относителен израз. От икономическата практика това са случаите, когато се търси средно относително изменение – среден темп. В този случай осредняваната величина представлява относителния израз на динамиката на изследваното явление за отделните периоди. Това са така наречените динамични индекси, изразени в коефициенти, изчислени спрямо предшестващия период.

Когато интервалите от време между два съседни подпериода са равни, данните се осредняват като непретеглена геометрична величина.

Когато не се разполага с изчислителна техника, математическите процедура са на основата на математическите действия – логаритмуване и антилогаритмуване. Получената оценка се нарича среден темп на растеж. Средно значение на признака, получено чрез претеглено средно геометрично осредняване се изчислява, когато за изследвания период има два и повече относителни измерители с еднакъв размер по формула.

При анализа на разпределението на единиците от една статистическа съвкупност се прилагат и други осреднителни процедури, при които не участват всичките единици от съвкупността. Това е така, защото върху оценката на средната стойност, изчислена чрез аритметично осредняване влияят екстремалните значения на признака и в този случай тя не отразява типичния среден размер за единиците от изследваната съвкупност. Например чрез аритметично осредняване от разпределението в пет групи на 32 работника от една фирма по размер на тяхното индивидуално месечно възнаграждение е получена следната оценка на месечния размер на трудовото възнаграждение:

Месечна заплата (лв.) 160 170 190 200 860

Брой работници 5 10 7 6 4

Средната оценка на месечния размер на трудовото възнаграждение е равна на 264.69 лв. Така изчисленият среден размер е силно повлиян от екстремалната стойност на четиримата работника с месечно възнаграждение 860 лв. Поради това трудно бихме приели, че 264.69 лв. е типичен размер за съвкупността от 32 работника, тъй като делът на най-високо платените работници е 12,5%, а останалите 87,5% са в границите от 160до 200 лв.

Мода е най-често срещащото се значение на признака, т.е. значението, застъпено с най-голям брой единици (случаи) от съвкупността. Например при изучаване на цените на една стока на кооперативния пазар, продавана от различни производители, мода ще бъде тази цена, по която се продават най-големи количества от дадена стока.

Медиана е значението на признака на статистическата единица, която заема централно положение, когато всички единици на съвкупността са подредени възходящо или низходящо по значенията на признака.

Тема 19.Методи за оценяване на статистическо разсейване

Средната величина дава обобщаваща характеристика на цялата съвкупност по изучавания признак, но не показва как се разполагат около нея единиците по значенията на този признак, т.е. колко голямо е разсейването (вариацията). Чрез статистическите характеристики на разсейване (на вариация) се измерват различията между значенията на признака или средната степен на отклонението около средното им значение в съвкупността.

Видове: измерители на статистическото разсейване са: размах на разсейването, средноаритметично отклонение, средноквадратично отклонение, дисперсия, коефициент на вариация и др.

• 
  Размах на разсейването – това е най-елементарният измерител на разсейването. В абсолютен израз то представлява разликата между максималното и минималното значение на признака в съвкупността.
  
• 
  Средноаритметично (линейно) отклонение – при неговото изчисляване се вземат предвид всички отклонения на отделните индивидуални значения на признака за единиците от съвкупността от тяхната средна аритметична величина. То е средна аритметична величина от абсолютните стойности на тези отклонения.
  
• 
  Средноквадратично (стандартно)отклонение – изчислява се като средна квадратична величина от разликите на отделните индивидуални значения на признака за единиците от съвкупността от тяхната средна аритметична величина.
  
• 
  Дисперсия е квадратът на средноквадратичното отклонение.
  
• 
  Коефициент на вариация – това е относителен измерител на разсейването. Изчислява се като отношение на средноквадратичното отклонение към средната аритметична величина в %.
  

Много често при статистическите изучавания се налага да се работи с категорийни признаци на единиците в съвкупността, т.е. с признаци, които не са метрирани и значенията им са алтернативи. Това са двете значения на признака, по които са разпределени единиците Например при изучаване на качеството на продукцията тя би могла да се раздели на качествена и некачествена. За да се приведат във вид, подходящ за статистически анализ тези значения на признаците от категорийни условно се превръщат във вариационни.

• 
  Средна аритметична величина. При алтернативни значения на признака, средната аритметична величина се изчислява, като се изхожда от основната формула за вариационен статистически ред при групирани данни, където осредняваните величини се претеглят с относителните честоти. Следователно средната аритметична е равна на относителния дял на единиците, които притежават изучавания признак.
  
• 
  Средноквадратично отклонение. За извеждане на формулата за средноквадратично отклонение при алтернативно значение на признака се изхожда от основната формула за вариационен статистически ред при групирани данни. Отделните индивидуални значения на признака се заместват с метрираните значения.
  

При статистическото изследване на структурата на съвкупности е особено целесъобразно оценяването на степента на нейната неравномерност като цяло към даден период или момент. Тези оценки играят голяма роля както при анализа на ефекти, свързани със структурата в статичен аспект, така и при сравнения и анализи на структури на едни и същи съвкупности, които обаче се различават по време или по територия.

За оценяване на степента на неравномерност на структурата на изследваната съвкупност към даден период или време може да се използва формула:
G = корен квадратен на отношението:_сумата от разликата между относителния дял на дадена подсъвкупност в общия обем на изследваната съвкупност –средния относителен дял на обемите на подсъвкупностите, изчислен като непретеглена средна аритметична величина, разделена на броя на случаите.

Тема 22.Статистическа асиметрия и ексцес

При анализа на масово проявяващите се явления и процеси в много случаи възниква необходимост да се характеризира формата на разпределение на единиците в съвкупността спрямо нормалното разпределение. За целта се използват статистическите характеристики асиметрия и ексцес. От съществено значение за изясняване на същността на статистическата асиметрия и ексцес са свойствата на нормалното разпределение. Едно от най-важните свойства е, че графиката му е разположено изцяло над абсцисната ос и нормалната крива е симетрична по отношение на т.нар. център на разпределение, или средната аритметична величина.. Отклонението от нормалното разпределение се разглежда в две направления. Едното е по отношение на страничната изтегленост на полигона на разпределението спрямо центъра на нормалната крива и другото – по отношение на връхната източеност на кривата на емпиричното разпределение от нормалното симетрично разпределение.

Асиметрията характеризира отклонението на изследваното разпределение от нормалното (симетрично) разпределение по отношение на неговата странична изтегленост. Ексцесът характеризира отклонението на изследваното разпределение от нормалното по отношение на неговата връхна източеност.
Тема 23. Извадково статистическо изследване. Същност и сфери на приложение

Същност и сфери на приложение – Известно е, че статистическите изследвания според обхвата на съставляващите ги единици биват изчерпателни и неизчерпателни (извадкови). Изчерпателните статистически изучавания обхващат всички единици на интересуващите ни съвкупности, като получените обобщения и оценки са валидни за цялата съвкупност. Поради редица причини – ограничено време и ресурси, в много случаи е трудно, а понякога, и невъзможно да се провеждат такъв вид изучавания. .Например изучаване мнението на гласоподавателите, относно бъдещи избори, мнението на населението относно даден проблем и др. е невъзможно, а и неефективно да се приложат изчерпателните статистически изучавания.

Извадкови статистически изследвания са тези, при които на наблюдение, обработка и анализ се подлагат признаци и сведения за една най-често малка част от единиците в изследваната съвкупност, която се нарича извадка. Такова статистическо изучаване се нарича представително (репрезентативно). При репрезентативните изучавания интересуващите ни свойства на съвкупността се характеризират чрез стохастична извадка. Това е причина получената оценка да се отклонява от оценявания параметър на съответната съвкупност, т.е. оценката е съпроводена с определена грешка. Затова тя се нарича още стохастична. Точкови са оценките, получени на основата на обобщаване на статистически данни от извадката, представени като конкретни числови характеристики, без да се определя отклонението на оценката от параметъра. За определяне на интервалната оценка изследователят трябва да разполага с точкова оценка на параметъра и оценка на стохастичната й грешка.

Предимства:

• 
  икономия на време
  
• 
  икономия на финансови средства
  
• 
  възможност за по-задълбочени изследвания
  
• 
  единствена възможност за проверка на качеството в случаи, където се налага да се унищожат единиците, върху които ще се прави изследването – консерви, лекарства и др.
  

В практиката се използват различни модели извадки, формирани от двата типа извадки – представителни и непредставителни.

Непредставителният тип извадки са:

• 
  Извадка според отзовалите се;
  
• 
  Типологична извадка – единиците се подбират на основата на типични представители на отделни категории в съвкупността;
  
• 
  Извадка чрез квота.
  

На практика се използват различни модели на репрезентативни извадки самостоятелно или в комбинация с други модели. Те са:

• 
  Проста случайна извадка (прост случаен подбор);
  
• 
  Районирана извадка;
  
• 
  Гнездова извадка.
  

• 
  - определяне на правила за излъчване на представителна извадка и избор на модел на извадка;
  
• 
  изготвяне на изчерпателен списък на съвкупността, от която ще се формира извадката;
  
• 
  определяне на необходимия брой единици в извадката;
  
• 
  избор на начини за формиране на извадката.
  

Систематичният случаен подбор се прилага в случаите, когато има изготвени списъци на единиците в генералната съвкупност. Определя се крачка от подбора, т.е. числото, което изразява интервала между номерата на единиците, които ще попаднат в извадката.

При репрезентативните изучавания, ако извадката е формирана на принципа на простия случаен подбор, стохастичната грешката е тази, която произтича от обстоятелството, че между характеристиката на параметъра от генералната съвкупност и неговата оценка при равни други условия има разлика. Това отклонение е стохастичната грешка; тя показва с колко абсолютни единици средно се отклонява оценката от извадката от истинската характеристика на генералната съвкупност.

Да се определи средната стохастична грешка на оценката означава да се определи средният размер на възможното отклонение между средното значение в извадката и средното значение на признака (свойството) в генералната съвкупност.

Максимално допустимият размер на стохастичната грешка при характеристики, имащи формата на средни величини, се изчислява като произведение на гаранционния множител, съответстващ на определена вероятност за сигурност и изчисления размер на стохастичната грешка при прост случаен (повторен)или безвъзвратен подбор.

Доверителният интервал се определя на основата на изчислената средна величина за извадката и абсолютния размер на максимално допустимата грешка.

Средна и максимална стохастична грешка на оценки, имащи формата на относителен дял – в много случаи се налага да се установи относителният дял на дадена група (подсъвкупност) в цялата съвкупност – например относителният дял на недоволните работници от режима на работа, относителният дял на желаещите да сменят местоработата си и др. За изчисляването на стохастичната грешка се използват познатите ни формули за средна аритметична и за средно квадратично отклонение при алтернативни значения на признака.

Необходимост. Осигуряването на необходимия брой на единиците в извадката е съществено условие за получаване на надеждни оценки. При планиране на изследването с оглед повишаване познавателните възможности на репрезентативните статистически изучавания се определя предварително обемът на извадката, като се изхожда от формула за максималната стохастична грешка.

При определяне обема на извадката при оценки, имащи формата на средна аритметична величина и при оценки, имащи формата на относителен дял се използват формули

Практическото формиране на извадката се извършва в етапа на цялостната подготовка за изследване. След като са направени необходимите изчисления за определяне обема на извадката, както вече е известно се набавят списъци за единиците от съвкупността, която е обект на изследване. За формиране на извадката се избира подходящ модел. След окончателното приключване на процедурата по формиране на извадката се съставя списък на попадналите единици в нея.

Същност – Информацията, необходима за анализа на развитието на явленията, обикновено се представя в динамични (хронологични)редове. Динамичният ред се състои от последователни числови значения за изучаваните явления и процеси, които изразяват тяхното изменение във времето.

Познавателните цели и задачи на изследването на развитието на явленията и процесите са свързани със:

• 
  определяне на показатели за измерване на скоростта на развитието;
  
• 
  измерване на трайната тенденция и общата закономерност в развитието;
  
• 
  измерване на сезонни колебания;
  
• 
  определяне на темповете на икономическия растеж;
  
• 
  анализиране на факторите и причините, при които е протичало развитието и при определени условия с подходящи подходи и модели да се предвиди изменението в перспектива.
  

• 
  трайно действуващи причини – напр. непрекъснатата механизация в селското стопанство за повишаване на средните добиви от дадена земеделска култура;
  
• 
  временно действащи причини – най-често се проявяват като отклонения от определената тенденция на развитие, която е резултат на трайно действащите причини.
  

• 
  Описателен анализ;
  
• 
  Диагностичен анализ
  
• 
  Прогностичен анализ;
  
• 
  Законоустановяващ анализ.
  

• 
  да се осигури съпоставимост на данните по време;
  
• 
  да се осигури и съпоставимост на данните по място;
  
• 
  да се осигури съпоставимост на данните по отношение на обхвата на съвкупността;
  
• 
  да се осигури съпоставимост на данните по мащаб на измерване;
  
• 
  да се осигури съпоставимост на данните, изразени в стойностно изражение.
  

За анализиране на скоростта на развитието на обществено-икономическите явления и процеси се изчисляват показатели, които определят абсолютния и относителния

В теорията на статистиката са разработени различни видове показатели за анализ на динамиката. При определяне на показателите за динамика се сравняват фактическите размери за всеки член от динамичния ред спрямо началното или предходното значение. Ако сравненията са спрямо началното значение, тези показатели са базисни, а когато се проследява динамиката спрямо предходния член, те са верижни. Освен това статистическите показатели за динамика могат да бъдат в абсолютен и в относителен израз Абсолютните показатели се получават като разлика, а относителните – чрез деление на сравняваното значение спрямо приетото за база на сравнение. Когато са изчислени в относителен израз при база 1.00 се наричат коефициенти, а при база 100 – в процентно изражение.

Измерители на скоростта на развитие:

1. 
   Абсолютен прираст – това е разликата между фактическия размер на величината, изразяваща съответния период, и значението на величината, изразявана периода, приет за база на сравнение.
   
2. 
   . Темп на растеж - това е относителен показател за динамика, чрез който се характеризира интензивността на процеса на развитие на изучаваните явления и процеси.
   
3. 
   Темп на прираст – чрез този показател се характеризира относителният прираст на изучаваното явление в статистическия динамичен ред.
   
4. 
   Абсолютен размер на 1 прираст – той показва какъв абсолютен прираст съответства на 1 от относителния прираст..
   

При анализа на динамични редове освен посочените описателни статистически характеристики на динамика се определят и други характеристики. Те са обобщаващи характеристики на динамика, които дават представа за типичното състояние на анализираната статистическа съвкупност.

Видове обобщаващи характеристики за динамика:

1. 
   Среден размер. Това е характеристика, която се отнася за съвкупността като цяло и показва типичното значение на изследвания признак за дадения период.
   
2. 
   Среден абсолютен прираст. Показва с колко абсолютни единици се изменя изучаваното явление средно за целия статистически ред.
   
3. 
   Среден темп на растеж. Той показва средната относителна скорост на развитие за изследвания период, т.е. какво е средното относително нарастване (намаление) за периода. Следователно за оценяване на средния темп чрез средногеометрично осредняване от абсолютните значения се прилага произведението на верижните темпове на растеж или последния базисен темп на растеж за изследвания динамичен статистически ред.
   

Същност При тяхното конструиране се налагат известни особености, произтичащи от същността и съдържанието на масовите явления, т.е. тогава, когато дадена общност от единици има качества и свойства, които се отнасят за съвкупността като цяло, а не за отделните единици, които я съставляват. Такива са случаите, когато е поставена задача да се измери динамиката на продажбите, на цените и на обема на две и повече стоки едновременно. Специфичното е това, че пряко не могат да се сумират количества и цени на различни стоки, които са измерени с различни мерни единици. Тази особеност се преодолява, като се прилагат т.нар. съизмерители. Например, общият стойностен обем на продажби за три стоки ще бъде изразен като сума от произведенията на количествата продажби за всяка стока, съизмерени със съответните цени.

Индексът е измерител, който характеризира измененията във времето или различията по територия и по същество на обобщаващите характеристики на изследваните съвкупности. Например чрез индексите в икономиката се определя изменението в обема на брутния вътрешен продукт, в обема на продукцията, в равнището на производителността на труда. Всеки индекс се получава като частно от две величини – делимо и делител, съпоставени в индексно отношение.В делимото се поставя величината, за която се установява относителното различие във времето или по територия. Тя се нарича индексна величина. В делителя се поставя величината, спрямо която се сравнява. Тя се нарича базисна величина. Периодът, за който се определя индексната величина, се нарича индексиран период, а този на базисната величина – базисен период.Получените конкретни относителни величини при измерване на измененията във времето или на различията на територията се нарича индексни числа. Те имат формата на коефициенти или на процентни величини, наречени темпове на растеж или темпове на прираст.

Видове индекси:

• 
  Множествените индекси измерват относителните изменения или различия на обобщаващите характеристики на изследваното явление или процес като цяло, т.е. на цялата изследвана съвкупност.
  
• 
  Единични индекси измерват относителни изменения или различия на отделни единици (елементи) на изследваното явление.
  
• 
  Индекси на обеми – за измерване измененията в обема на изследваните съвкупности.
  
• 
  Индекси на равнища.
  
• 
  Индекси на маси.
  

Според конкретното им съдържание индексите се разграничават на: индекси на цените на стоките; индекси на физическия обем на продукцията; индекси на средната работна заплата, на средната производителност на труда, на печалбата и т.н.