Критериални модели. Модел на адсорбция в колона с нареден пълнеж. Обобщени променливи. Обобщен индивидуален случай-подобие. Критериални уравнения. Анализ на измеренията. Математична структура на критериалните модели



Дата25.10.2018
Размер178 Kb.
#98337
Критериални модели.Модел на адсорбция в колона с нареден пълнеж.Обобщени променливи.Обобщен индивидуален случай-подобие.Критериални уравнения.Анализ на измеренията.Математична структура на критериалните модели.Определяне на критериите за подобие.Определящи и определяеми комплекси.Обобщен анализ.Някои грешки при критериалните модели.

Усложняването на механизма на процесите изисква и усложняване на моделите. Това води до два основни проблема. От една страна не винаги е възможно да се състави математично описание, което да съответства достатъчно точно на реалния механизъм. Ако това все пак се реализира, възниква втория проблем-решаването на уравненията на така усложненото математично описание в процеса на моделирането и стимулирането. Един от сполучливите изходи в тези случаи е създаването на критериални модели.


1. Модел на абсорбция в колона с нареден пламък.
Протича абсорбция на слабо разтворим газ в колона с нареден пълнеж. При абсорбция на слабо разтворими газове масообмена между газа и течността се лимитира от масопренасянето в течната фаза.

В случай на правоточно течение на газ и течност математичното описание има вида:


/1/

2. Обобщени променливи.
Числените стойности на променливите в граничните условия могат да се използват като характерни мащаби на променливите в уравненията така, че да се получат обобщени /безразмерни/ променливи. По този начин се получават следните обобщени променливи:

/2/
Въвеждането на /2/ и /1/ води до математично описание в обобщени променливи /обобщени уравнени на процеса/:
/3/

където:
/4/
са числата на Рейнолдс, Фруд и Пекле.

От /3/ се вижда непосредствено, че математичното описание съдържа шест безразмерни параметра:



/5/
от които първите четири са комплексни /от размерни величини/, а последните два-симплекси /отношения на величини с еднакви измерения/.

Скоростта на процеса абсорбция /десорбция/ в разгледания случай има вида:


/6/

откъдето се получава непосредствено и числото на Шервуд


/7/
3. Обобщени индивидуални случай-подобие.
При зададени стойности на Аi(i=1………, 6) уравнения /3/ представляват математично описание на обобщен индивидуален случай. Той е обобщен, защото съдържа съвкупност от процеси, които имат еднакво математично описание /3/ в обобщени променливи, и е индивидуален, защото съдържа само тези процеси, които имат еднакви стойности на безизмерните параметри Аi(i=1………, 6).

Всички процеси, които влизат в обобщен индивидуален случай са подобни помежду си, т.е. всеки от тях може да бъде физичен модел на останалите. Критерий за това подобие е равенството на безизмерните параметри в математичното описание, представено в обобщени променливи.

От /3/ и /7/ се вижда, че могат да се определят стойностите на безразмерните числа Аi(i=1………, 6) и Sh за даден процес използван като физичен модел.

Подходът на обобщените променливи позволява да се създават модели, които по същество не се различават от теоретичните. Така например от /3/ следва че:


/8/

или /7/ добива вида:



4. Критериални уравнения.
Функцията F се представя най-често като:
/9/
където bi(i=0,1,……..,6) са параметри в модела /9/. Параметрите bi(i=0,1,……..,6) се определят въз основа на експериментални данни, в резултат на което се получава и критериалният модел /9/. За целта се логаритмува /9/:
/10/
и параметрите в /10/ се определят както при регресионните модели.

Направеният анализ на критериалните модели показва, че многократното използване на физичното моделиране при различни стойности на критериите за подобие Аi(i=1,……..,6) води до получаване на критериални уравнения /модели/, които по същество са математични модели.


6. Анализ на измеренията.
Да предположим, че от наличната информация е известно, че целевата функция на конкретен процес зависи от n физични променливи:

/11/
В /11/ променливите х1(i=1,……,m) са първични величини, тоест съответстващите им числа са резултат на пряко измерване /дължина, време, маса и други/. Променливите yj(j=1,……r) са вторични величини и числените им стойности са получават от числените стойности на първичните величини.
/12/
Величините могат да имат символи и измерения. Ако с L, T и М означим символите за първичните величини дължина, време и маса, а [L], [T] и [М]-техните измерения, то очевидно при първичните величини те са равни.
/13/
Вторичните величини има измерения, които се получават от определителните уравнения. Така например за скоростта V и силата F може да се напише:
/14/
Проблемът за създаването на критериален метод на процеса /11/ води до необходимостта от решаване на три основни задачи-да се определи наборът от n променливи, да се определят безразмерните комплекси, които са критерии на подобие и да се определи структурата на уравнението, свързващо тези критерии.


6. Математична структура на критериалните модели.
Да предположим, че уравнението на модела има най-общ вид:
/15/
За да бъде /15/ инвариантно по отношение на подобни преобразувания
/16/
е необходимо f да бъде хомогенна функция
/17/
т.е.
/18/
В /18/ може да се използва съкратен запис

и трябва да се намери видът на функцията f, за целта се диференцира /18/ по к1:
/19/
От лявата част в /19/ и /16/ се получава:
/20/
или
/21/
Уравнение /21/ е вярно за всяко кi, включително и за к1=1 (i=1,…..,m). От /16/ следва (i=1,…..,m) и /21/ добива вида:
/22/
където константата b представлява
/23/
следва
/24/
тоест
/25/
Повтарянето на горните операции за х2,.........xm води до
/26/
тоест функцията е хомогенна ако представлява степенен комплекс /26/ и при това условие е инвариантна по отношение на подобни /метрични/ преобразувания. Полученият резултат /26/ представлява обосновка за използване на степенните комплекси като математични структури в критериалните модели, тъй като те са инвариантни към подобни преобразувания.
7. Определяне на критериите за подобие.
Използването на анализа на измеренията за съставянето на критериите на подобие е свързано с въвеждането на степенни комплекси, които са инварианти по отношение на подобни преобразования. За целта /11/ трябва да се представи като степенен комплекс.
/27/
От определението на величината  се получава
/28/
и ако  е безизмерна k=1, т.е.
/29/

/30/
което е вярно ако 1=0 (i=1…..m), т.е.

/31/
Този резултат е известен като “-теорема” на Бъкингам.

Решаването на /31/ се решава значително по-просто ако се получат приведените комплекси (за всяка вторична величина).


/32/
които са и търсените безразмерни комплекси.
8. Обобщен анализ.
Да разгледаме променливите x и y(x), които се изменят в интермалите и , където и . Въвеждането на обобщени променливи
/33/
води до тяхното изменение в интервалите и . Ако и очевидно за характерен мащаб се използват максималните стойности х2 и y2. В случаите когато не са известни минималните и максималните стойности на функциите за мащаб се използват средните стойности :
/34/
При всички гореразгледани случаи се предполага монотонност, ограниченост и непрекъснатост на функциите. Това е особено важно при определяне на производните в обобщени променливи.
/35/
от условието следва
/36/
т.е. y(x) трябва да има ограничена първа производна.
9. Някои грешки при критериалните модели.
Примера на топломасопренасяне между твърди частици и стената на апарат с кипящ слой. Разполага се с данни за коефициента на топлопренасяне при различни диаметри на частиците d и скорости на газа u. От тези данни се получават стойностите на числата на Рейнолдс и Нуселт.
/37/
където , и са плътността, вискозитета и топлопреносимостта на газа.
/38/
Възможно е използването на друг модел предвид наличието на газови мехури в кипящия слой, които зависят от повърхностната енергия. В този случай числото на Рейнолдс може да се замени с числото на Вебер (We):
/39/
където  е условно повърхностно напрежение на повърхността на газовите мехури в кипящия слой, което може да се определи в модела така, че да се осигури най-добро съвпадение с експерименталните данни. Освен това може да се очаква, че основната част от топлообмена се реализира по конвективен път, т.е. числото на Нуселт може да се замени с числото на Стентон (St):
/40/
където ср е специфичната топлина при постоянно налягане.
/41/


/42/


където Fr и Gr са числата на Фруд и Грасхоф, g-земното ускорение, D-диаметъра на апарата, -коефициент на термично разширение, -температурна разлика. Всички тези модели показват добро съвпадение с експерименталните данни.

На практика става когато в определяемия и определящия комплекс има еднакви величини. Така например в горепосочените модели се използват корелациите:


/43/
Като се има в предвид, че в /43/ променливи са само k, u и d, то от /43/ следва, че действитерно се търсят по прости корелации:
/44/
От /44/ се вижда, че ако между k, u и d няма корелация то между kd и ud има такава, защото и двете зависят от d. Тази зависимост между и ud се осъществява чрез u. този ефект може да се усили между и u2d или да смени характера си между и . Корелацията между kd и d3 , kd2 и d3 , и u4 е още по-силна. Това е и основната причина да се стига до прилични корелации между величини за които е доказано (получени чрез генератор на случайни числа), че корелация не съществува. По този начин се показва макар и твърде драстично, че използването на критериални модели (и особено на метода на измерението при тяхното получаване) трябва да се прави при наличието на достатъчно физични основания за това, т.е. да са налице предпоставките, които лежат в основата на тези методи.
Каталог: www systems engineerig laboratory -> Distance learning systmeng -> Distance Course 6 -> Lekcii Course 6 -> Lekcii Course 6 DOC
Lekcii Course 6 DOC -> Качествен анализ на модели
Distance learning systmeng -> Планиране в екологията и реновация на пристанищата в България
Distance learning systmeng -> Инструменти за екологичен мениджмънт на пристанищни райони
Lekcii Course 6 DOC -> Топлинни процеси. Основни уравнения. Скорост на топлопренасяне I. Дифузионни процеси
Lekcii Course 6 DOC -> Курсова задача по Съвременни методи в инженерната химия Тема: Механизъм и математично описание
Lekcii Course 6 DOC -> Тема №7: Аналогови модели
Lekcii Course 6 DOC -> Статистически анализ на модели
Lekcii Course 6 DOC -> Проверка на хипотези. Правила за проверка. Равенство за проверка. Еднократност за дисперсия. Критерй за откриване на грешка. Дисперсионен анализ


Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница