Тема №7: Аналогови модели

В редица случаи информацията за механизма е непълна и не дава възможност да се състави математично описание на сложните процеси, което да стане осно- ва за създаване на теоретични или критериални модели. Същият проблем въз- никва при многобройно и сложно взаимодействие на елементарните процеси в сложния процес. В този случай се използват аналогови модели, в чиято основа стоят механизми, изградени на базата на формални физични аналогии.

Този проблем ще бъде разгледан в примера на абсорбционния процес, но в една извънредно усложнена обстановка на взаимодействие на течността и газа в колона с ненареден пълнеж. Тук очевидно математичното описание на абсорб-цията в стичащ се филм не може да се използва,тъй като взаимодействието меж-ду газа и течността е усложнено от наличието на капки,мехури и струи. Възмож-ни са и допълнителни ефекти като байпаси, застойни или циркулационни зони, а също така и турбулизиране на фазите.

Независимо от сложното взаимодействие на фазите в колонни апарати за аб-сорбция (или екстракция), основните процеси, които протичат са конвективно и дифузионно масопренасяне в ламинарни и/или турбулентни течения и масооб-мен между фазите. Ако предположим добро радиално разпределение на двете фази, т.е. скоростите на фазите не зависят от радиуса на колоната, то концентра-цията на абсорбируемото (екстхируемото) вещество ще се изменя само по

височина на колоната в резултат на сумарно влияние на горепосочените ефекти.

Разпределението на концентрациите с_i (х) на двете фази по височината на ко-лоната може ( на базата на напълно формална аналогия) да се разглежда като ре-зултат от конвективно масопренасяне със скорост u_i , аксиална дифузия с коефициент D_i и междуфазен масообмен с коефициент k ( i = 1,2 ).

Математично описание на така формулирания механизъм може да се получи, ако се разгледа един обем от колоната, в който обемното съотношение на фазите е ε_i (i = 1,2), (задържащата способност на пълнежа по отношение на двете фази), където ε₁ + ε₂ = 1. Материалният баланс на пренасяното вещество в двете фази при така предложения механизъм, в случая на противоточно течение на фазите, води до следното математично описание:

ε_i.u_i (dс_i /dx) = ε_i.D_i(d²с_i /dx²) – (-1)^i-1.k[c₁ – m.c₂] , i = 1,2 , [1.1]

където се предполага, че в масовия баланс на пренасяното вещество във всяка фаза в разглеждания обем ε_i ,наред с дифузионния [ε_i.D_i(d²с_i /dx²)] и конвектив-ния [ε_i.u_i (dс_i /dx)] пренос (i = 1,2), участва и източник (консуматор) на вещество

Математично описание на масопренасянето в колонни апарати се получава, ако към [1.1] се прибавят граничните условия в двата края на колоната. Те изра-зяват разпределението на входящия с всяка фаза конвективен поток вещество между конвективната и дифузионната компонента на масопренасянето във всяка фаза на фазовата граница.На изхода всяка фаза е поела (отдала) основното коли-чество от обменяното вещество между фазите.По този начин за случая на проти-воток граничните условия имат вида:

[1.2]

Във [1.1] и [1.2] е удобно да се въведат безразмерните променливи:

X = x/L , C_i = [c_i /(c₁^(o) + c₂^(o))] , i = 1,2 [1.3]

и математичното описание добива вида:

Pe_i(dC_i/dX) = (d²C_i/dX²) – (-1)^{i -1}.N_i.Pe_i[C₁ – m.C₂] ,

X = i – 1 , Pe_i.[c_i^(o) /(c₁^(o) + c₂^(o))] = Pe_i.C_i + (-1)ⁱ.(dC_i/dX) , [1.4]

∑ (i – k).[dC_k/dX] = 0 , i = 1,2 ,

където c₁^(o) и c₂^(o) са входните концентрации на пренасяното вещество в двете фази, а Pe_i и N_i (i = 1,2) – числата на Пекле и броя на преносните единици:

Pe_i =[(w_i.L)/e_i ], N_i =[(k.L)/ w_i], e_i = ε_i.D_i , w_i = ε_i.u_i , i = 1,2. [1.5]

От [1.4] и [1.5] се вижда, че математичното описание на масопренасянето съдържа четири параметъра (Pe₁, Pe₂, N и m), тъй като N₁ и N₂ са свързани:

N₁ = (w₂/w₁). N₂ = N . [1.6]
1.3. Определяне на параметрите

Коефициентът на фазово равновесие m е термодинамичен параметър и мо-же да се определи независимо и отделно от кинетичните параметри на базата на експериментални данни за фазовото равновесие, предполагайки линеен закон на разпределение на преносимото вещество в двете фази. По този начин моделът съдържа три параметъра (Pe₁, Pe₂ и N), които се определят от експериментал-ни данни за разпределението на концентрациите по височината на колоната:

C₁ = C₁ (X) , C₂ = C₂ (X) [1.7]

Параметрите Pe_i (i = 1,2) имат хидродинамична природа и практически не зависят от вида на “дифундиращото” вещество. Те могат да бъдат определени по отделно, ако се използват две вещества, всяко от които е разтворено само в една от фазите, т.е. от експериментални данни за C₁ (X) се определя Pe₁ и от C₂ (X) – Pe₂ . Параметърът N се определя от C₁(X) и C₂(X), когато се изпол-зва вещество разтворимо и в двете фази.

Аналоговите модели приличат на теоретичните модели по това, че най-често

целевата функция зависи нелинейно от параметрите на модела. Това води до съществени затруднения при статистическия анализ на моделите.

Параметрите Pe_i (i = 1,2) и N могат да се определят само от [1.4] и експе-риментални данни за [1.7], чрез решаване на обратната идентификационна за-дача. Всички други опити за определяне на параметрите са неправомерни, защо-то използваната аналогия прави величините в [1.4] условни.
2. Регресионни модели

Симулирането на конкретен процес е възможно при наличието на модел, т.е. адекватна функционална връзка (по възможност в явен вид) между целевата функция (изходната величина) у, факторите (входните величини) х = х₁,..….,х_m и параметрите на модела b = b₁,……,b_k , т.е.:

където функцията φ трябва да апроксимира по “най-добър начин” експеримен-талната функционална зависимост на у от х.

В зависимост от наличната информация за механизма на сложния процес мо-гат да се използват теоретични, критериални или аналогови модели.

2.1. Моделиране без хипотеза за механизма

Твърде често се налага създаването на модели и при пълна липса на инфор-мация за механизма. В тези случаи се използват регресионни модели (регресии, регресионни уравнения):

където η е условното математично очакване на изходната величина у при зада-дени стойности на факторите х.

Отсъствието на знания за механизма на явлението не дава възможност да се определи вида на функционалната зависимост [2.2]. На практика обаче, тези функции като правило са непрекъснати заедно със своите частни производни в областта на изменение на факторите. Това позволява да се получи Тейлъровия ред на функцията в околността на някаква характерна точка х_о:

_m

η(х) = η(х_о) + ∑ [∂η(х)/ ∂х_i] І_х=хо [х_i – х_io] +

+ ∑ ∑ 1 . [∂²η(х)/ ∂х_i∂х_j] І_х=хо [х_i – х_io].[х_j – х_jo] + …. [2.3]

+ ∑ 1 . [∂²η(х)/ ∂х_i²] І_х=хо [х_i – х_io]² + …. ,

където х_о = х_io, ....., х_mo. Видът на функцията е неизвестен, т.е. производните не могат да се изчислят, но от непрекъснатостта на η и нейните производни следва, че [2.3] може да се представи като :

η(х) = β_o + ∑ β_i х_i + ∑ ∑ β_{i j} х_i х_j + ∑ β_{i i} х_i² + ….. , [2.4]

където коефициентите β са параметри на модела [2.4] и се определят от екс-периментални данни. В този смисъл [2.4] представлява апроксимация на екс-перименталната зависимост:

където у_n и х_in (n = 1,…., N; i = 1,…., m) са експерименталните стойности на

Полиномните модели [2.4] имат голямо приложение, но в регресионните модели могат да се използват и по-сложни функции f_i (x), i = 1, …., k, т.е. :

η(х) = ∑ β_i f_i (x) . [2.6]

Наличието на експериментални данни [2.5] позволява определянето на пара-метрите в регресионните модели [2.6] . Поради експерименталните грешки в определянето на у_n (n = 1,…., N) не могат да се определят точните стойности на параметрите β = β₁ , ...., β_k , а само техните оценки b = b₁,......,b_k . По този начин регресионният модел позволява да се получат изчислени стойности на целевата

функция: ˆ _k

Подборът на регресионен модел ( ако няма специални съображения) започва обикновено с линейни ( по отношение на факторите ) модели: